푸리에 해석 정의·정리

반지름이 $r$인 원에서, 길이가 $s$인 호가 중심에서 벌리는 각의 크기를

직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각을 $\theta$라 합시다. 직각의 맞은편 변을 빗변($c$), $\theta$의 맞은편 변을 높이($a$), $\theta$에 붙어 있는 나머지 변을 밑변($b$)이라 할 때

원점이 중심이고 반지름이 1인 원을 단위원(unit circle)이라 합니다. 점 $(1, 0)$에서 출발하여 단위원을 따라 반시계 방향으로 각 $\theta$만큼 간 점을 $P$라 할 때

모든 실수 $\theta$에 대해 다음이 성립합니다.

1. $-1 \le \cos\theta \le 1$, $\quad -1 \le \sin\theta \le 1$
2. $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ (여기서 $\cos^2\theta$는 $(\cos\theta)^2$을 뜻하는 표기입니다)
3. (주기성) $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$, $\quad \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$
4. (대칭) $\cos(-\theta) = \cos\theta$, $\quad \sin(-\theta) = -\sin\theta$
5. (반 바퀴) $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$, $\quad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$
6. (1/4 바퀴) $\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta$, $\quad \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta$
7. (여각) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$, $\quad \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$

$\cos\theta \ne 0$일 때

실수 $m$에 대해 $\arctan m$은 $\tan\theta = m$이고 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$인 각 $\theta$입니다.

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ (단 $h$의 단위는 라디안).

$x$의 $t$에서의 미분계수(순간 변화율)는

$x$, $y$가 미분가능하고 $\alpha$, $\beta$가 상수일 때 다음이 성립합니다.

1. (선형성) $(\alpha x + \beta y)' = \alpha x' + \beta y'$
2. (곱) $(xy)' = x'y + xy'$
3. (몫) $(x/y)' = (x'y - xy')/y^2$
4. (연쇄법칙) $\frac{d}{dt} x(g(t)) = x'(g(t))\, g'(t)$

구간 $[a, b]$를 $N$등분하여 $\Delta t = (b - a)/N$, $t_i = a + i\Delta t$라 합시다. 정적분은

1. (선형성) $\int_a^b (\alpha x + \beta y)\, dt = \alpha \int_a^b x\, dt + \beta \int_a^b y\, dt$
2. (구간 가법성) $\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c$, 그리고 $\int_b^a = -\int_a^b$
3. (삼각부등식) $\left|\int_a^b x(t)\, dt\right| \le \int_a^b |x(t)|\, dt$ ($a < b$)
4. (대칭 구간) $x$가 기함수이면 $\int_{-a}^{a} x\, dt = 0$, 우함수이면 $\int_{-a}^{a} x\, dt = 2\int_0^a x\, dt$
5. (주기함수) $x$의 주기가 $T$이면 임의의 $a$에 대해 $\int_a^{a+T} x\, dt = \int_0^T x\, dt$

$x$가 연속일 때 다음이 성립합니다.

1. $\displaystyle\frac{d}{dt} \int_a^t x(s)\, ds = x(t)$
2. $F' = x$인 함수 $F$(원시함수)에 대해 $\displaystyle\int_a^b x(t)\, dt = F(b) - F(a) = \Big[F(t)\Big]_a^b$

$u = g(t)$이면 $du = g'(t)\, dt$이고

$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|\, dt < \infty$이면 $x$는 절대적분가능(absolutely integrable)하다고 하고 $x \in L^1$로 씁니다. $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\, dt < \infty$이면 제곱적분가능(유한 에너지)이라 하고 $x \in L^2$로 씁니다.

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\, dt = \sqrt{\pi}$입니다. 따라서 $a > 0$에 대해 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-at^2}\, dt = \sqrt{\pi/a}$입니다.

복소수 $r \ne 1$과 자연수 $N$에 대해

모든 실수 $t$에 대해

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\!\int_{-\infty}^{\infty} |f(t, \tau)|\, dt\, d\tau < \infty$이면

$f(t, \omega)$와 $\partial f / \partial\omega$가 연속이고, $\omega$에 무관한 절대적분가능 함수 $g(t)$가 있어 $|\partial f / \partial\omega| \le g(t)$이면

$a\cos\omega t + b\sin\omega t = A\cos(\omega t + \phi)$입니다. 여기서 $A = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos\phi = a/A$, $\sin\phi = -b/A$입니다.

복소수 $z$에 대해 $\displaystyle e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$으로 정의합니다.

모든 실수 $\theta$에 대해

복소수 $s$에 대해 $\frac{d}{dt} e^{st} = se^{st}$입니다. 특히 $\frac{d}{dt} e^{j\omega t} = j\omega\, e^{j\omega t}$입니다.

크로네커 델타(Kronecker delta)는 $\delta_{km} = 1$ ($k = m$), $\delta_{km} = 0$ ($k \ne m$)입니다.

$T > 0$, $\omega_0 = 2\pi/T$, 정수 $k$에 대해

양의 정수 $k$, $m$에 대해

집합 $V$에 덧셈 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in V$와 스칼라배 $c\mathbf{x} \in V$ ($c \in \mathbb{C}$)가 정의되어 다음을 만족하면 $V$를 (복소) 벡터공간(vector space)이라 합니다.

벡터 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_K$와 수 $c_1, \ldots, c_K$에 대해 $c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_K\mathbf{v}_K$를 선형결합이라 합니다. 선형결합으로 만들 수 있는 벡터 전체를 $\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_K\}$라 씁니다.

$c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_K\mathbf{v}_K = \mathbf{0}$이 되는 경우가 $c_1 = \cdots = c_K = 0$뿐이면 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_K$는 일차독립(linearly independent)이라 합니다.

$V$의 벡터들 $\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n$이 (i) 일차독립이고 (ii) $V$ 전체를 생성하면($\operatorname{span} = V$) $V$의 기저(basis)라 합니다. 기저의 벡터 개수 $n$을 $V$의 차원(dimension)이라 합니다.

$\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n$이 기저이면 모든 $\mathbf{x} \in V$는 $\mathbf{x} = c_1\mathbf{b}_1 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n$으로 단 한 가지 방법으로 쓸 수 있습니다. 수 $c_1, \ldots, c_n$을 이 기저에 대한 $\mathbf{x}$의 좌표(coordinates)라 합니다.

$m$행 $n$열로 수를 늘어놓은 것을 $m \times n$ 행렬(matrix)이라 합니다. 행렬 $A$의 열을 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n$이라 할 때, 행렬과 벡터의 곱은

함수 $L : V \to W$가 $L(a\mathbf{x} + b\mathbf{y}) = aL(\mathbf{x}) + bL(\mathbf{y})$를 만족하면 선형변환(선형 연산자)이라 합니다.

$\mathbb{C}^N$의 (표준) 내적(inner product)과 노름(norm)은

$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$이면 $\lVert\mathbf{x} + \mathbf{y}\rVert^2 = \lVert\mathbf{x}\rVert^2 + \lVert\mathbf{y}\rVert^2$입니다.

$|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle| \le \lVert\mathbf{x}\rVert\lVert\mathbf{y}\rVert$입니다. 등호는 한 벡터가 다른 벡터의 상수배일 때만 성립합니다.

$\lVert\mathbf{x} + \mathbf{y}\rVert \le \lVert\mathbf{x}\rVert + \lVert\mathbf{y}\rVert$입니다.

증명. $\lVert\mathbf{x} + \mathbf{y}\rVert^2 = \lVert\mathbf{x}\rVert^2 + 2\operatorname{Re}\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \lVert\mathbf{y}\rVert^2 \le \lVert\mathbf{x}\rVert^2 + 2\lVert\mathbf{x}\rVert\lVert\mathbf{y}\rVert + \lVert\mathbf{y}\rVert^2 = (\lVert\mathbf{x}\rVert + \lVert\mathbf{y}\rVert)^2$입니다. $\blacksquare$

$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$이면 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$는 직교(orthogonal)한다고 합니다. 벡터들 $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n$이 $\langle \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_m \rangle = \delta_{km}$을 만족하면(서로 직교하고 길이가 각각 1) 정규직교(orthonormal)라 하고, 이들이 기저이면 정규직교기저(orthonormal basis)라 합니다.

$\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n$이 정규직교기저이면 모든 $\mathbf{x}$에 대해

$\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n$이 서로 직교하는(길이는 1이 아니어도 되는) 기저이면 $c_k = \dfrac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{b}_k \rangle}{\lVert\mathbf{b}_k\rVert^2}$입니다.

영벡터가 아닌 서로 직교하는 벡터들은 일차독립입니다. 따라서 $n$차원 공간에서 서로 직교하는 영 아닌 벡터 $n$개는 자동으로 기저입니다.

정규직교기저에 대한 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$의 좌표를 $c_k$, $d_k$라 하면

정규직교 벡터 $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_K$가 생성하는 부분공간을 $W$라 합시다. $\mathbf{x}$의 $W$ 위로의 정사영(orthogonal projection)은

1. 오차 $\mathbf{x} - P\mathbf{x}$는 $W$의 모든 벡터와 직교합니다.
2. $W$의 벡터 중 $\mathbf{x}$에 가장 가까운 것은 $P\mathbf{x}$ 하나뿐입니다. 모든 $\mathbf{w} \in W$에 대해 $\lVert\mathbf{x} - P\mathbf{x}\rVert \le \lVert\mathbf{x} - \mathbf{w}\rVert$입니다.
3. $\lVert\mathbf{x}\rVert^2 = \lVert P\mathbf{x}\rVert^2 + \lVert\mathbf{x} - P\mathbf{x}\rVert^2$입니다. 따라서 $\sum_{k=1}^K |\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_k \rangle|^2 \le \lVert\mathbf{x}\rVert^2$입니다(베셀 부등식(Bessel's inequality)).

행렬 $A$의 행과 열을 바꾸고 각 성분에 켤레를 취한 행렬을 켤레전치(conjugate transpose) $A^H$라 합니다: $(A^H)_{ik} = A_{ki}^*$.

정사각행렬 $U$가 $U^HU = I$를 만족하면 유니터리 행렬(unitary matrix)이라 합니다(실수 행렬이면 직교행렬이라 합니다).

$U$가 유니터리이면 (1) $U^{-1} = U^H$이고, (2) $\langle U\mathbf{x}, U\mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$, 특히 $\lVert U\mathbf{x}\rVert = \lVert\mathbf{x}\rVert$입니다.

정사각행렬(또는 선형 연산자) $A$에 대해 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$인 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$을 고유벡터(eigenvector), 수 $\lambda$를 고윳값(eigenvalue)이라 합니다.

$AS = SA$이고, $S\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$인 고유벡터가 상수배를 제외하고 $\mathbf{v}$ 하나뿐이면, $\mathbf{v}$는 $A$의 고유벡터이기도 합니다.

구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $x$, $y$의 내적과 노름은

$k = 0, 1, \ldots, N - 1$에 대해 벡터 $\mathbf{u}_k \in \mathbb{C}^N$을

$x[n]$이 모두 실수이면 $X[N - k] = X[k]^*$입니다.

증명. $X[N - k] = \sum_n x[n]e^{-j2\pi(N - k)n/N} = \sum_n x[n]e^{j2\pi kn/N} = \left(\sum_n x[n]e^{-j2\pi kn/N}\right)^*$입니다. 마지막 등호에서 $x[n]$이 실수임을 썼습니다. $\blacksquare$

순환 이동 연산자 $S$는 신호를 한 칸 늦춥니다: $(S\mathbf{x})[n] = x[(n - 1) \bmod N]$. 맨 끝 성분은 맨 앞으로 돌아옵니다.

푸리에 기저 벡터는 순환 이동의 고유벡터입니다:

$y[n] = x[(n - m) \bmod N]$이면 $Y[k] = e^{-j2\pi km/N}X[k]$입니다.

$\mathbf{x}, \mathbf{h} \in \mathbb{C}^N$의 순환 합성곱(circular convolution)은

$\mathbf{y} = \mathbf{x} \circledast \mathbf{h}$이면

주기 $T$인 함수 $x$의 푸리에 계수(Fourier coefficient)와 푸리에 급수(Fourier series)는

$S_K(t) = \sum_{k=-K}^K c_ke^{jk\omega_0 t}$는, $\sum_{k=-K}^K a_ke^{jk\omega_0 t}$ 꼴의 함수 중에서 평균제곱 오차 $\int_T |x(t) - \sum a_ke^{jk\omega_0 t}|^2\, dt$를 최소로 하는 유일한 것입니다.

$x(t)$의 푸리에 계수가 $c_k$일 때 다음이 성립합니다.

1. (시간 이동) $x(t - t_0)$의 계수는 $e^{-jk\omega_0 t_0}c_k$입니다.
2. (미분) $x$가 연속이고 구간별로 매끄러우면 $x'(t)$의 계수는 $jk\omega_0c_k$입니다.

$x \in L^2[0, T]$이면 $\displaystyle\lim_{K \to \infty}\int_T |x(t) - S_K(t)|^2\, dt = 0$입니다.

$x$가 구간별로 매끄러우면(유한 개의 점을 빼고 미분가능하고, 그 점들에서 좌우 극한과 좌우 미분계수가 존재하면) 모든 $t$에서

사각파(높이 $\pm 1$, 도약 2)의 부분합의 최댓값은 $K \to \infty$일 때

$x, y \in L^2[0, T]$의 푸리에 계수를 $c_k$, $d_k$라 하면

$x \in L^1$, 즉 $\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|\, dt < \infty$이면 $X(\omega)$는 모든 $\omega$에서 존재하고 다음을 만족합니다.

$g$가 절대적분가능하면 $\displaystyle\lim_{|\omega| \to \infty}\int g(t)e^{-j\omega t}\, dt = 0$입니다. $e^{-j\omega t}$ 대신 $\sin\omega t$, $\cos\omega t$여도 같습니다.

$x \in L^1$이고 구간별로 매끄러우면 모든 $t$에서

$\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\, du = \frac{\pi}{2}$이고, 따라서 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\Omega u}{\pi u}\, du = 1$ ($\Omega > 0$)입니다.

$x, y \in L^1$이 연속이고 $X(\omega) = Y(\omega)$이면 $x = y$입니다.

$a > 0$일 때

$a > 0$, $n = 0, 1, 2, \ldots$에 대해 $t^ne^{-at}u(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \dfrac{n!}{(a + j\omega)^{n+1}}$입니다.

$a > 0$일 때 $e^{-a|t|} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \dfrac{2a}{a^2 + \omega^2}$입니다.

$\operatorname{tri}(t) = \max(1 - |t|, 0)$이라 하면

$\sigma > 0$일 때

$a > 0$일 때

$\alpha x(t) + \beta y(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \alpha X(\omega) + \beta Y(\omega)$입니다.

실수 $a \ne 0$에 대해

$x(t)^* \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(-\omega)^*$입니다.

1. $x$가 실수 $\iff$ $X(-\omega) = X(\omega)^*$ (켤레 대칭). 이때 $\operatorname{Re} X$와 $|X|$는 우함수, $\operatorname{Im} X$와 $\angle X$는 기함수입니다.
2. $x$가 실수 우함수이면 $X$는 실수 우함수입니다.
3. $x$가 실수 기함수이면 $X$는 순허수 기함수입니다.

$x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$이면

$x$가 미분가능하고 $x(\pm\infty) = 0$이면

$t\, x(t)$가 절대적분가능하면

$x$와 $h$의 합성곱(convolution)은

$x$와 $y$의 상호상관(cross-correlation)은 $r_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t + \tau)\, y(t)^*\, dt$이고, 자기상관(autocorrelation)은 $r_{xx}(\tau)$입니다.

$r_{xy}(\tau) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)Y(\omega)^*$입니다. 특히 $r_{xx}(\tau) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} |X(\omega)|^2$입니다.

$\delta(t)$는 모든 연속함수 $\phi$에 대해

1. (체질 성질) $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - t_0)\phi(t)\, dt = \phi(t_0)$
2. (곱) $x(t)\, \delta(t - t_0) = x(t_0)\, \delta(t - t_0)$
3. (스케일링) $\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$ ($a \ne 0$). 특히 $\delta(-t) = \delta(t)$
4. (합성곱) $x * \delta = x$, $x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0)$
5. (계단함수의 미분) $\frac{d}{dt}u(t) = \delta(t)$, $\int_{-\infty}^t\delta(s)\, ds = u(t)$
6. (델타의 미분) $\int_{-\infty}^{\infty}\delta'(t)\phi(t)\, dt = -\phi'(0)$

$\operatorname{sgn}(t) = \pm 1$ ($t \gtrless 0$)에 대해

주기 $T$인 임펄스열(impulse train)은 $p_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT)$입니다.

$\omega_0 = 2\pi/T$라 하면