11장. 표본화: 연속에서 이산으로

연속적인 소리를 디지털로 녹음하려면 일정한 간격으로 값을 재야 합니다(표본화). 얼마나 자주 재야 원래 소리를 완전히 되살릴 수 있을까요? 이 장의 답이 나이퀴스트–섀넌 표본화 정리이고, 너무 드물게 재면 생기는 왜곡이 에일리어싱입니다.

컴퓨터는 연속 함수를 다루지 못합니다. 일정 간격으로 찍은 표본 $x(nT_s)$만 저장합니다. 이 장의 질문은 둘입니다. 표본만으로 원래 신호를 복원할 수 있을까요? 그리고 컴퓨터가 계산하는 DFT(4장)는 연속 신호의 푸리에 변환(6장)과 어떤 관계일까요?

11.1 표본화의 모형과 스펙트럼

표본화 간격 $T_s$ (초), 표본화 주파수 $f_s = 1/T_s$ (Hz), $\omega_s = 2\pi/T_s$ (rad/s)로 둡니다. 표본화를 임펄스열(9장 9.5절)과의 곱으로 나타냅니다.

$x_s$는 표본값 $x(nT_s)$만으로 정해지므로 표본열과 같은 정보를 담고 있습니다.

정리 11.1 (표본화된 신호의 스펙트럼).

시간 영역에서 간격 $T_s$로 표본화하면 스펙트럼이 간격 $\omega_s = 2\pi/T_s$로 반복 복제됩니다.

증명. 9장 정리 9.10에서 $p_{T_s}(t) = \frac{1}{T_s}\sum_ke^{jk\omega_st}$이므로 $x_s(t) = \frac{1}{T_s}\sum_kx(t)e^{jk\omega_st}$입니다. 주파수 이동 성질로 각 항의 변환은 $X(\omega - k\omega_s)$입니다. $\blacksquare$

11.2 표본화 정리

정의 11.2. $|\omega| \ge W$에서 $X(\omega) = 0$이면 $x$는 $W$로 대역제한(band-limited)되었다고 합니다. 주파수로는 $B = W/2\pi$ Hz다.

정리 11.3 (나이퀴스트–섀넌 표본화 정리). $x$가 $B$ Hz로 대역제한되어 있고 $f_s > 2B$이면, $x$는 표본 $x(nT_s)$로부터 완전히 복원됩니다.

증명. $\omega_s > 2W$이면 $X_s(\omega)$의 복제본들이 겹치지 않습니다(그림 11.1 가운데). 구간 $|\omega| < \omega_s/2$에는 $k = 0$ 복제본 $\frac{1}{T_s}X(\omega)$만 있으므로

입니다. 이득 $T_s$, 차단 주파수 $\omega_s/2$인 이상적 저역통과 필터로 가운데 복제본만 잘라내는 것입니다. 그 임펄스 응답은 8장 예제 8.8에서 $h_r(t) = T_s\frac{\sin(\omega_st/2)}{\pi t} = \frac{\sin(\pi t/T_s)}{\pi t/T_s} = \operatorname{sinc}(t/T_s)$입니다. 합성곱 정리로

입니다. $\blacksquare$

그림 11.1. 위: 대역 $|\omega| < W$에 한정된 스펙트럼. 가운데: $\omega_s > 2W$이면 복제본(파선)이 겹치지 않습니다. 아래: $\omega_s < 2W$이면 복제본이 겹쳐 더해지고(굵은 실선) 원래 모양을 알아볼 수 없습니다. 세로 파선은 $\pm\omega_s/2$.

그림 11.2. sinc 보간. 각 표본에 그 높이의 sinc(회색)를 하나씩 세우고 모두 더하면 원래 신호(굵은 선)가 됩니다. 각 sinc는 다른 표본 위치에서 0이므로 합은 표본점을 정확히 지납니다.

• $2B$를 나이퀴스트율(Nyquist rate), $f_s/2$를 나이퀴스트 주파수(Nyquist frequency)라 합니다. 가장 높은 주파수 성분의 한 주기에 표본이 2개보다 많아야 합니다.
• 사람의 가청 한계가 약 20 kHz이므로 CD는 $f_s = 44.1$ kHz, 전화 음성은 약 3.4 kHz까지이므로 $f_s = 8$ kHz를 씁니다.
• 연속 함수는 무한히 많은 수로 이루어져 있는데 띄엄띄엄한 표본으로 복원된다는 것이 놀라워 보이지만, 대역제한이라는 조건이 그만큼 강합니다. 대역제한된 함수는 표본 사이에서 제멋대로 움직일 수 없습니다.

참고 11.4 (선형대수로 보면). $W = \omega_s/2$로 대역제한된 함수 전체는 $L^2(\mathbb{R})$의 부분공간이고, $\phi_n(t) = \operatorname{sinc}\frac{t - nT_s}{T_s}$는 그 직교기저입니다. 파세발 등식으로 $\langle\phi_n, \phi_m\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_s/2}^{\omega_s/2}T_s^2e^{-j\omega(n - m)T_s}\, d\omega = T_s\delta_{nm}$임을 확인할 수 있습니다. 표본화 정리는 이 기저에 대한 전개이고, 표본값이 곧 좌표입니다. 3장 정리 3.17의 또 다른 예입니다.

11.3 에일리어싱

$f_s \le 2B$이면 복제본이 겹칩니다. 겹친 부분에서는 서로 다른 주파수 성분이 더해져 구별할 수 없게 됩니다. 이 현상을 에일리어싱(aliasing)이라 합니다. 시간 영역에서 직접 볼 수 있습니다. $f$와 $f + kf_s$인 두 사인파는 표본점에서 값이 같습니다.

표본화 주파수 $f_s$로 표본화하면 주파수 $f$인 사인파는 $[0, f_s/2]$ 안의 주파수 $f_a = |f - f_s \cdot \operatorname{round}(f/f_s)|$인 사인파와 구별되지 않습니다.

예제 11.5. $f_s = 8$ Hz일 때 7 Hz 사인파는 $|7 - 8| = 1$ Hz로 보입니다(그림 11.3). $f_s = 44.1$ kHz로 30 kHz 음을 표본화하면 $44.1 - 30 = 14.1$ kHz의 가짜 음이 생깁니다.

그림 11.3. 에일리어싱. 7 Hz와 1 Hz의 코사인은 8 Hz 표본점에서 값이 완전히 같습니다.

영화에서 바퀴가 거꾸로 도는 것처럼 보이는 것이 같은 현상입니다(초당 24장의 표본화). 한번 섞인 성분은 표본만으로는 분리할 수 없습니다. 그래서 표본화 전에 아날로그 저역통과 필터로 $f_s/2$ 이상의 성분을 없앱니다. 이 필터를 안티에일리어싱 필터라 합니다. 모든 A/D 변환기 앞에 있습니다.

11.4 이산시간 푸리에 변환 (DTFT)

표본열 $x[n] = x(nT_s)$만 남기고 $T_s$를 잊으면 수열의 변환이 됩니다. $x_s(t) = \sum_nx[n]\delta(t - nT_s)$를 항별로 변환하면 $X_s(\omega) = \sum_nx[n]e^{-j\omega nT_s}$입니다. 정규화 각주파수 $\Omega = \omega T_s$ (rad/표본)를 도입합니다.

정의 11.6 (DTFT).

• $X_d(\Omega + 2\pi) = X_d(\Omega)$입니다. $e^{-j2\pi n} = 1$이기 때문입니다. 이산 신호의 스펙트럼은 주기 $2\pi$의 주기함수입니다. $\Omega = \pi$가 나이퀴스트 주파수 $f_s/2$에 해당하는 가장 높은 주파수입니다.
• 정의식은 주기함수 $X_d(\Omega)$의 푸리에 급수이고 $x[n]$이 그 계수입니다. 역변환식은 계수 공식입니다. 5장에서 시간과 주파수의 역할을 바꾼 것이므로 새로 증명할 것이 없습니다.
• 연속 신호의 변환과의 관계는 정리 11.1 그대로입니다: $X_d(\omega T_s) = X_s(\omega) = \frac{1}{T_s}\sum_kX(\omega - k\omega_s)$. 에일리어싱이 없으면 $|\omega| < \omega_s/2$에서 $X(\omega) = T_sX_d(\omega T_s)$입니다.

$\omega_s = 2\pi/T_s$로 반복 복제된 스펙트럼을 $\Omega = \omega T_s$축에서 보면 주기가 $2\pi$가 됩니다.

예제 11.7. $|a| < 1$일 때 $x[n] = a^nu[n]$의 DTFT는 등비급수로 $X_d(\Omega) = \sum_{n=0}^\infty(ae^{-j\Omega})^n = \frac{1}{1 - ae^{-j\Omega}}$입니다. 연속의 $e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a + j\omega}$에 해당합니다.

예제 11.8 (사각 창). $w[n] = 1$ ($0 \le n \le N - 1$), 그 밖에서 0이라 합시다. 등비수열의 합과 디리클레 핵의 계산을 그대로 쓰면

입니다. $\Omega = 0$에서 높이 $N$, 영점은 $\Omega = 2\pi k/N$입니다. 연속의 rect ↔ sinc에 해당하는 “주기적 sinc”입니다.

11.5 네 가지 푸리에 변환

지금까지 네 개의 변환이 나왔습니다. 하나의 원리로 정리됩니다.

한 영역에서 주기적 ⟺ 다른 영역에서 이산적. 표본화 ↔ 주기화(푸아송 합 공식).

FT에서 출발해 시간을 표본화하면 스펙트럼이 주기화되어 DTFT가 되고, 시간을 주기화하면 스펙트럼이 표본화되어 FS가 됩니다. 둘 다 하면 양쪽 모두 이산적이고 주기적인 DFT다. DFT만이 유한 개의 수를 유한 개의 수로 보내므로 컴퓨터가 계산할 수 있는 것은 DFT뿐입니다.

11.6 DFT로 스펙트럼을 볼 때 일어나는 일

실제로는 유한한 길이 $N$개의 표본 $x[0], \ldots, x[N - 1]$만 가지고 DFT를 계산합니다. 이것이 원래 신호의 스펙트럼과 어떻게 다른지 단계별로 봅니다.

11.6.1 DTFT의 표본으로서의 DFT

길이 $N$인 신호의 DTFT와 DFT의 정의를 비교하면

입니다. DFT는 연속 곡선 $X_d(\Omega)$를 간격 $2\pi/N$으로 읽은 것입니다. $\Omega = \omega T_s = 2\pi f/f_s$이므로 빈(bin) $k$의 실제 주파수는

입니다. 빈 간격 $\Delta f$는 관측 시간 $NT_s$의 역수입니다. 1 Hz 간격으로 보려면 1초를 관측해야 합니다. 표본화 주파수를 올려도 관측 시간이 같으면 빈 간격은 그대로이고 볼 수 있는 최고 주파수 $f_s/2$만 올라갑니다.

11.6.2 창과 스펙트럼 누설

무한히 긴 신호 $x[n]$에서 $N$개만 잘라내는 것은 사각 창 $w[n]$을 곱하는 것입니다. 곱의 변환은 합성곱이므로(8장 정리 8.17의 이산판)

입니다. 참 스펙트럼이 창의 스펙트럼 $W$(예제 11.8)로 흐려집니다. 사인파 $e^{j\Omega_0n}$의 참 스펙트럼은 $\Omega_0$의 임펄스 하나지만, 잘라내면 $W(\Omega - \Omega_0)$, 즉 $\Omega_0$에 중심을 둔 주기적 sinc가 됩니다. 그것을 $2\pi k/N$에서 읽은 것이 DFT다.

• $\Omega_0 = 2\pi k_0/N$ (관측 구간에 정확히 정수 $k_0$주기): 표본점이 $k = k_0$에서는 봉우리, 다른 $k$에서는 정확히 $W$의 영점에 놓입니다. $X[k]$는 한 빈에만 값이 있습니다. 4장 예제 4.7의 상황입니다.
• 정수 주기가 아니면: 표본점이 영점을 비껴가 모든 빈에 값이 생깁니다. 한 주파수의 에너지가 모든 빈으로 새어 나가는 이 현상이 스펙트럼 누설(spectral leakage)입니다(그림 11.4).

DFT가 신호를 주기 $N$으로 반복된다고 취급하기 때문이라고 볼 수도 있습니다(4장 4.3절). 정수 주기가 아니면 이어 붙인 경계에 불연속이 생기고, 불연속은 $1/k$로 느리게 줄어드는 넓은 스펙트럼을 만듭니다.

그림 11.4. $N = 64$인 DFT의 크기(dB). 왼쪽: 정확히 8주기인 사인파는 한 빈에만 나타납니다. 가운데: 8.5주기이면 모든 빈으로 누설됩니다. 오른쪽: 한 창을 곱하면 먼 빈으로의 누설이 크게 줍니다.

11.6.3 창함수

누설을 줄이려면 양 끝이 부드럽게 0으로 가는 창을 곱합니다. 끝의 불연속을 없애면 스펙트럼의 꼬리가 빨리 줄어듭니다(매끄러움 ↔ 감쇠).

그림 11.5. 세 가지 창과 그 스펙트럼의 크기. 부엽이 낮은 창은 주엽이 넓습니다.

공짜는 없습니다. 부엽을 낮추면 주엽이 넓어집니다. 주엽 폭은 가까이 붙은 두 주파수를 구별하는 능력(해상도(resolution))을, 부엽 높이는 큰 성분 옆의 작은 성분을 찾아내는 능력(동적 범위)을 정합니다. 사각 창은 해상도가 가장 좋고 누설이 가장 나쁩니다.

11.6.4 영 채우기

길이 $N$인 신호 뒤에 0을 붙여 길이 $M > N$으로 만든 뒤 DFT를 하면 같은 곡선 $X_d(\Omega)$를 더 촘촘한 간격 $2\pi/M$으로 읽게 됩니다. 그래프가 매끄러워지고 봉우리의 위치를 더 정밀하게 읽을 수 있습니다. 그러나 곡선 자체(창에 의해 흐려진 스펙트럼)는 바뀌지 않으므로 가까운 두 주파수를 분리하는 능력은 늘지 않습니다. 해상도를 올리는 방법은 더 오래 관측하는 것뿐입니다.

11.6.5 FFT로 연속 푸리에 변환을 근사하는 절차

$x(t)$를 $t_n = t_0 + nT_s$ ($n = 0, \ldots, N - 1$)에서 표본화했다고 합시다. 적분을 리만 합으로 바꾸면

입니다.

실전 요약

1. $f_s$를 신호 최고 주파수의 2배보다 넉넉히 크게 잡습니다(에일리어싱 방지).
2. 관측 시간 $NT_s$를 원하는 주파수 간격의 역수보다 길게 잡습니다.
3. 필요하면 창을 곱합니다.
4. FFT를 계산합니다. 빈 $k$의 주파수는 $f_k$(위 식), $N/2$ 이상은 음의 주파수입니다.
5. 연속 변환의 근사값은 $T_se^{-j\omega_kt_0}X[k]$입니다. 사인파의 진폭을 읽으려면 $2|X[k]|/N$입니다(창을 썼으면 $N$ 대신 $\sum_nw[n]$).

예제 11.9 (NumPy로 확인). 가우스 함수 $e^{-t^2/2}$의 변환 $\sqrt{2\pi}e^{-\omega^2/2}$를 FFT로 구합니다.

import numpy as np
Ts, N = 0.05, 1024
t = (np.arange(N) - N//2) * Ts            # t0 = -N/2 * Ts
x = np.exp(-t**2 / 2)
w = 2*np.pi*np.fft.fftfreq(N, d=Ts)       # omega_k, negative freqs in 2nd half
X = Ts * np.exp(-1j*w*t[0]) * np.fft.fft(x)
err = np.max(np.abs(X - np.sqrt(2*np.pi)*np.exp(-w**2/2)))
print(err)                                # about 1e-15

fftfreq가 위의 $f_k$를 돌려줍니다. 그래프를 그릴 때는 np.fft.fftshift로 음의 주파수를 앞으로 옮깁니다. 가우스 함수는 시간과 주파수 양쪽에서 빨리 줄어들어 잘림과 에일리어싱이 둘 다 무시할 만하므로 오차가 반올림 수준입니다.

쓰이는 곳. CD의 44.1 kHz, 카메라의 무아레 무늬, 영상에서 바퀴가 거꾸로 도는 현상이 이 장의 내용입니다. 신경망의 다운샘플링(풀링, 스트라이드)이 에일리어싱을 일으킨다는 연구도 이 정리를 씁니다.

연습문제

300
1400

11.72
85.33
1

4
0
2

14.1

2