13장. 불확정성 원리

신호가 시간에서 짧을수록 주파수에서는 넓게 퍼집니다. 둘 다 동시에 좁게 만들 수는 없다는 것이 불확정성 원리입니다. 이 장에서는 그 정확한 부등식과 등호가 되는 경우(가우스 함수)를 다루고, 통신과 양자역학에서의 뜻을 봅니다.

사각 펄스, 가우스 함수, 스케일링 성질, 델타와 상수의 쌍에서 같은 현상을 계속 보았습니다. 시간에서 좁으면 주파수에서 넓습니다. 이것은 특정 함수의 우연이 아니라 푸리에 변환의 구조에서 나오는 부등식입니다.

13.1 폭의 정의

에너지가 1인 신호, 즉 $\int|x(t)|^2\, dt = 1$ 인 $x$ 를 생각합니다. 파세발 등식으로 $\frac{1}{2\pi}\int|X(\omega)|^2\, d\omega = 1$ 이기도 합니다. 그러면 $|x(t)|^2$ 과 $\frac{1}{2\pi}|X(\omega)|^2$ 은 넓이가 1인 음이 아닌 함수, 즉 “에너지가 시간과 주파수에 어떻게 분포하는가”를 나타내는 밀도입니다. 그 평균과 표준편차로 중심과 폭을 정의합니다.

정의 13.1.

\begin{aligned} \bar{t} &= \int_{-\infty}^{\infty}t|x(t)|^2\, dt, & (\Delta t)^2 &= \int_{-\infty}^{\infty}(t - \bar{t})^2|x(t)|^2\, dt, \\ \bar{\omega} &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\omega|X(\omega)|^2\, d\omega, & (\Delta\omega)^2 &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(\omega - \bar{\omega})^2|X(\omega)|^2\, d\omega \end{aligned}

$\Delta t$ 를 지속 시간, $\Delta\omega$ 를 대역폭(의 제곱평균제곱근 값)이라 합니다.

13.2 정리와 증명

정리 13.2 (불확정성 원리).

\Delta t \cdot \Delta\omega \ge \frac{1}{2} \qquad \left(\text{Hz 단위로는}\ \Delta t \cdot \Delta f \ge \frac{1}{4\pi}\right)

입니다. 등호는 가우스 함수 $x(t) = Ce^{-(t - t_0)^2/(4\sigma^2)}e^{j\omega_0t}$ 일 때만 성립합니다.

증명. 1단계: 중심을 원점으로. $y(t) = e^{-j\bar{\omega}t}x(t + \bar{t})$ 로 놓으면 시간 이동과 주파수 이동은 $|x|^2$ , $|X|^2$ 의 모양을 평행이동만 시키므로 $\Delta t$ , $\Delta\omega$ 가 변하지 않고 중심이 둘 다 0이 됩니다. 따라서 $\bar{t} = \bar{\omega} = 0$ 이라 가정해도 됩니다.

2단계: $\Delta\omega$ 를 시간 영역으로. 미분 성질 $x' \leftrightarrow j\omega X$ 와 파세발 등식에서

(\Delta\omega)^2 = \frac{1}{2\pi}\int|j\omega X(\omega)|^2\, d\omega = \int|x'(t)|^2\, dt = \lVert x'\rVert^2

입니다. 그리고 $(\Delta t)^2 = \int|t\, x(t)|^2\, dt = \lVert tx\rVert^2$ 입니다. 즉 보일 것은 $\lVert tx\rVert\lVert x'\rVert \ge \frac{1}{2}$ 입니다.

3단계: 코시–슈바르츠. 함수공간의 코시–슈바르츠 부등식(3장 정리 3.14)을 $tx$ 와 $x'$ 에 적용합니다.

\lVert tx\rVert\lVert x'\rVert \ge |\langle x', tx\rangle| = \left|\int t\, x(t)^*x'(t)\, dt\right| \ge \left|\operatorname{Re}\int t\, x^*x'\, dt\right|

4단계: 부분적분. $\frac{d}{dt}|x|^2 = \frac{d}{dt}(xx^*) = x'x^* + x(x')^* = 2\operatorname{Re}(x^*x')$ 이므로

\operatorname{Re}\int t\, x^*x'\, dt = \frac{1}{2}\int t\frac{d}{dt}|x(t)|^2\, dt = \frac{1}{2}\Big[t|x|^2\Big]_{-\infty}^{\infty} - \frac{1}{2}\int|x|^2\, dt = -\frac{1}{2}

입니다. 경계항은 $t|x(t)|^2 \to 0$ 이라 0이고( $\Delta t$ 가 유한하면 성립), 마지막 적분은 에너지 1입니다. 따라서 $\Delta t\, \Delta\omega \ge \frac{1}{2}$ 입니다.

등호 조건. 코시–슈바르츠의 등호는 $x' = c\, tx$ 일 때이고, 3단계 둘째 부등식의 등호는 $c$ 가 실수일 때입니다. 이 미분방정식의 해는 $x = Ce^{ct^2/2}$ 이고 적분가능하려면 $c < 0$ 입니다. 가우스 함수입니다. $\blacksquare$

증명은 세 가지 도구로 이루어집니다. 미분 성질, 파세발, 코시–슈바르츠입니다. 본질은 2단계에 있습니다. 대역폭이 좁다는 것은 $x'$ 이 작다는 것, 즉 $x$ 가 천천히 변한다는 것이고, 천천히 변하는 함수는 좁은 시간에 몰려 있을 수 없습니다.

예제 13.3 (가우스 함수로 확인). $x(t) \propto e^{-t^2/(2\sigma^2)}$ 이면 $|x|^2 \propto e^{-t^2/\sigma^2}$ 로 분산이 $\sigma^2/2$ , 즉 $\Delta t = \sigma/\sqrt{2}$ 입니다. $X(\omega) \propto e^{-\sigma^2\omega^2/2}$ 이므로 $|X|^2 \propto e^{-\sigma^2\omega^2}$ 로 분산이 $1/(2\sigma^2)$ , $\Delta\omega = 1/(\sigma\sqrt{2})$ 입니다. 곱은 $\sigma$ 에 무관하게 정확히 $\frac{1}{2}$ 입니다.

예제 13.4 (한쪽 지수함수). $x(t) = \sqrt{2a}\, e^{-at}u(t)$ (에너지 1)라 합시다. $\bar{t} = \frac{1}{2a}$ , $(\Delta t)^2 = \frac{1}{4a^2}$ 이므로 $\Delta t = \frac{1}{2a}$ 입니다. 한편 $|X|^2 = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$ 이고 $\int\omega^2|X|^2\, d\omega$ 는 발산합니다. $\Delta\omega = \infty$ 입니다. $t = 0$ 의 불연속 때문에 스펙트럼의 꼬리가 $1/\omega$ 로만 줄어들어 생기는 일입니다. 부등식은 성립하지만, 이 정의의 대역폭이 불연속 신호에는 쓸모가 없음을 보여 줍니다. 그런 경우에는 $-3$ dB 폭이나 주엽 폭 같은 다른 정의를 씁니다.

13.3 뜻과 쓰임

어떤 정의를 쓰든 내용은 같습니다.

지속 시간 × 대역폭 ≳ 1. 신호는 시간과 주파수 양쪽에서 동시에 얼마든지 좁아질 수 없습니다.

주파수 측정의 정밀도. 주파수를 $\Delta f$ 의 정밀도로 재려면 적어도 $1/\Delta f$ 정도의 시간 동안 관측해야 합니다. 11장 11.6절의 $\Delta f = 1/(NT_s)$ 가 이것입니다. 0.1초 길이의 소리에서 주파수를 1 Hz 단위로 가려낼 방법은 없습니다.
통신. 폭 $\tau$ 인 펄스는 대략 $1/\tau$ 의 대역폭을 차지합니다. 초당 더 많은 펄스(비트)를 보내려면 더 넓은 대역이 필요합니다. 대역폭이 곧 통신 용량인 이유입니다.
레이더와 초음파. 거리 분해능은 짧은 펄스를, 속도(도플러 주파수) 분해능은 긴 관측을 요구합니다.
시간-주파수 분석. 스펙트로그램의 창 길이는 시간 해상도와 주파수 해상도 사이의 선택입니다(14장 14.1절).
양자역학. 위치와 운동량의 파동함수가 서로 푸리에 변환 관계( $p = \hbar k$ )이므로 같은 부등식이 $\Delta x\, \Delta p \ge \hbar/2$ 가 됩니다. 하이젠베르크의 불확정성 원리는 물리 법칙이기 이전에 푸리에 변환의 정리입니다.

참고 13.5 (다른 형태). (1) 유한한 구간 밖에서 0인 신호(시간제한)는 대역제한일 수 없고, 그 역도 성립합니다(영함수 제외). 대역제한된 신호는 복소평면 전체에서 해석적인 함수로 확장되는데, 그런 함수가 한 구간에서 0이면 전체가 0이기 때문입니다. 따라서 현실의 유한 길이 신호는 엄밀히는 대역제한이 아니고, 표본화에서 에일리어싱은 0이 될 수 없으며 충분히 작게 만들 수 있을 뿐입니다. (2) 영점 사이 폭으로 재면 사각 펄스 $\operatorname{rect}(t/\tau)$ 는 지속 시간 $\tau$ , 주엽 폭 $4\pi/\tau$ 로 곱이 $4\pi$ 로 일정합니다.

연습문제

문제 1 · 확인 문제

13.1. $x(t) = \sqrt{a}\, e^{-a|t|}$ ( $a > 0$ )에 대해 $\Delta t$ , $\Delta\omega$ 를 구하고 곱이 $\frac{1}{2}$ 이상임을 확인합니다. $a = 1$ 일 때의 값을 소수 셋째 자리까지 적습니다.

값	답
$\Delta t$	[?]
$\Delta\omega$	[?]
$\Delta t\cdot\Delta\omega$	[?]

힌트 1

우함수이므로 $\bar{t} = 0$ 입니다. $(\Delta\omega)^2 = \lVert x'\rVert^2$ 을 씁니다.

정답

0.707
1
0.707

풀이

우함수이므로 $\bar{t} = 0$ 입니다. $(\Delta t)^2 = 2a\int_0^\infty t^2e^{-2at}\, dt = 2a \cdot \frac{2}{(2a)^3} = \frac{1}{2a^2}$ 입니다. $x'(t) = \mp a\sqrt{a}\, e^{-a|t|}$ 이므로 $(\Delta\omega)^2 = \lVert x'\rVert^2 = a^3\int e^{-2a|t|}\, dt = a^2$ 입니다. $\Delta t\, \Delta\omega = \frac{1}{a\sqrt{2}} \cdot a = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \ge \frac{1}{2}$ 입니다.

문제 2 · 확인 문제

13.2. 폭 1 ms인 사각 펄스의 스펙트럼 주엽은 몇 Hz에서 처음 0이 될까요?

정답

풀이

영점은 $\omega = 2\pi/\tau$ , 즉 $f = 1/\tau = 1$ kHz다.

문제 3 · 확인 문제

$x(t) \propto e^{-t^2/8}$ 의 $\Delta t$ 를 소수 셋째 자리까지 구합니다.

힌트 1

$e^{-t^2/(2\sigma^2)}$ 에서 $\sigma = 2$ 이고 $\Delta t = \sigma/\sqrt{2}$ 입니다.

정답

1.414

풀이

$\sigma = 2$ 이므로 $\Delta t = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ 입니다. 그러면 $\Delta\omega = 1/(2\sqrt{2})$ 이고 곱은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

문제 4 · 확인 문제

0.1초 길이의 소리 조각으로 구별할 수 있는 주파수 차이의 대략적인 한계는?

0.1 Hz
1 Hz
10 Hz
100 Hz

정답

풀이

주파수 정밀도는 관측 시간의 역수 정도입니다. $1/0.1 = 10$ Hz다.