9장. 델타함수와 일반화된 푸리에 변환

요약

디랙 델타의 정의와 성질, 상수와 사인파의 변환, 부호함수와 계단함수, 주기신호의 변환, 임펄스열과 푸아송 합 공식

한 순간에만 있는 충격(임펄스)이나 끝없이 이어지는 사인파는 보통의 푸리에 변환 적분이 수렴하지 않습니다. 델타함수를 도입하면 이런 신호도 다룰 수 있습니다. 이 장에서는 델타함수를 '아주 좁고 높은 펄스의 극한'으로 이해하고 그 성질을 정리합니다.

상수 1, $\cos\omega_0 t$ , 계단함수는 절대적분가능하지도 않고 에너지도 무한하여 푸리에 적분이 수렴하지 않습니다. 그러나 “ $\cos\omega_0 t$ 의 스펙트럼은 주파수 $\pm\omega_0$ 에만 있습니다”는 말에는 어떤 정확한 뜻이 있어야 합니다. 그 뜻을 주는 도구가 델타함수입니다.

9.1 델타함수

넓이가 1인 펄스를 점점 좁고 높게 만든다고 합시다. 예를 들어 $\delta_\varepsilon(t) = \frac{1}{\varepsilon}\operatorname{rect}(t/\varepsilon)$ 다(그림 9.1). $\varepsilon \to 0$ 의 극한은 보통의 함수로는 존재하지 않습니다. 하지만 연속함수 $\phi$ 와 곱해 적분한 값은 얌전하게 수렴합니다.

\int_{-\infty}^{\infty}\delta_\varepsilon(t)\phi(t)\, dt = \frac{1}{\varepsilon}\int_{-\varepsilon/2}^{\varepsilon/2}\phi(t)\, dt \xrightarrow{\varepsilon \to 0} \phi(0)

폭 $\varepsilon$ 인 구간에서의 평균값은 구간이 줄어들면 $\phi(0)$ 으로 갑니다. 이 극한 동작 자체를 정의로 삼습니다.

정의 9.1 (디랙 델타). $\delta(t)$ 는 모든 연속함수 $\phi$ 에 대해

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\, \phi(t)\, dt = \phi(0)

예: $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\cos t\,dt = \cos 0 = 1$ 이고 $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-t^2}dt = 1$ 입니다. 폭 $\varepsilon$ , 높이 $1/\varepsilon$ 인 사각 펄스로 $\delta$ 를 어림하면 적분은 $\phi$ 의 $[-\varepsilon/2, \varepsilon/2]$ 에서의 평균이 되고, $\varepsilon \to 0$ 이면 그 평균이 $\phi(0)$ 으로 갑니다.

이 되게 하는 대상입니다.

$\delta$ 는 함수가 아니라 “함수 $\phi$ 를 받아 수 $\phi(0)$ 을 내놓는 규칙”입니다. 이런 대상을 분포(초함수)라 합니다. “ $t \ne 0$ 에서 0이고 $t = 0$ 에서 무한대이며 넓이가 1인 함수”라는 그림은 직관으로는 좋지만, 실제 계산은 언제나 위 적분 규칙으로 합니다. $\delta$ 는 적분 기호 안에서만 뜻을 갖습니다. 그림에서는 $t = 0$ 에 세운 높이 1(넓이를 뜻함)인 화살표로 그립니다.

$왼쪽은 폭 ε = 1, 0.5, 0.25이고 넓이가 1인 사각 펄스로, 좁을수록 높습니다. 오른쪽은 그 푸리에 변환으로, 펄스가 좁을수록 넓고 평평한 1에 가까워집니다.$

그림 9.1. 왼쪽: 넓이 1을 유지하며 좁아지는 펄스. 오른쪽: 그 푸리에 변환 $\operatorname{sinc}(\omega\varepsilon/2\pi)$ . 펄스가 좁아질수록 스펙트럼은 평평한 1에 가까워집니다.

넓이 1을 유지하며 원점에 집중되는 함수족이면 무엇이든 같은 극한을 줍니다. 가우스 함수 $\frac{1}{\varepsilon\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2\varepsilon^2}$ , 그리고 역변환 정리에 나온 $\frac{\sin\Omega t}{\pi t}$ ( $\Omega \to \infty$ )도 그렇습니다.

정리 9.2 (델타의 성질).

(체질 성질) $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - t_0)\phi(t)\, dt = \phi(t_0)$
(곱) $x(t)\, \delta(t - t_0) = x(t_0)\, \delta(t - t_0)$
(스케일링) $\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$ ( $a \ne 0$ ). 특히 $\delta(-t) = \delta(t)$
(합성곱) $x * \delta = x$ , $x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0)$
(계단함수의 미분) $\frac{d}{dt}u(t) = \delta(t)$ , $\int_{-\infty}^t\delta(s)\, ds = u(t)$
(델타의 미분) $\int_{-\infty}^{\infty}\delta'(t)\phi(t)\, dt = -\phi'(0)$

증명. 모두 “적분 안에서 보통 함수처럼 치환과 부분적분을 합니다”는 원칙으로 확인합니다. (1) $s = t - t_0$ 으로 치환합니다. (2) 양변에 $\phi$ 를 곱해 적분하면 둘 다 $x(t_0)\phi(t_0)$ 입니다. (3) $s = at$ 로 치환하면 $\int\delta(at)\phi(t)\, dt = \frac{1}{|a|}\int\delta(s)\phi(s/a)\, ds = \frac{1}{|a|}\phi(0)$ 입니다. (4) $\int x(\tau)\delta(t - t_0 - \tau)\, d\tau$ 에 (1)과 (3)을 씁니다. (5) $t < 0$ 이면 적분 구간이 원점을 포함하지 않아 0, $t > 0$ 이면 1입니다. (6) 부분적분하면 $\int\delta'\phi = [\delta\phi] - \int\delta\phi' = -\phi'(0)$ 입니다. $\blacksquare$

(1)의 뜻은 이렇습니다. $\delta(t - t_0)$ 는 함수에서 $t = t_0$ 의 값을 집어냅니다. (4)의 뜻은 이렇습니다. $\delta$ 는 합성곱의 항등원이고, 이동된 델타와의 합성곱은 이동입니다. (3)에서 $\delta$ 가 단위를 가진다는 점도 보입니다. $t$ 가 초이면 $\delta(t)$ 의 단위는 1/초입니다.

참고 9.3. $\delta(t)^2$ 이나 $\delta(t)u(t)$ 처럼 델타끼리 또는 델타와 그 점에서 불연속인 함수의 곱은 정의되지 않습니다. 계산 중에 그런 식이 나오면 접근 방법을 바꿔야 합니다.

9.2 델타와 상수, 사인파의 변환

정리 9.4.

\begin{aligned} &\delta(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 1, && \delta(t - t_0) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega t_0} \\ &1 \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi\delta(\omega), && e^{j\omega_0 t} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi\delta(\omega - \omega_0) \\ &\cos\omega_0 t \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \pi\left[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)\right], && \sin\omega_0 t \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{\pi}{j}\left[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)\right] \end{aligned}

증명. 첫 줄은 체질 성질로 $\int\delta(t - t_0)e^{-j\omega t}\, dt = e^{-j\omega t_0}$ 입니다. 둘째 줄은 $X(\omega) = 2\pi\delta(\omega - \omega_0)$ 을 역변환식에 넣으면 $\frac{1}{2\pi}\int 2\pi\delta(\omega - \omega_0)e^{j\omega t}\, d\omega = e^{j\omega_0 t}$ 입니다. $\omega_0 = 0$ 이면 상수 1입니다. 셋째 줄은 오일러 공식과 선형성입니다. $\blacksquare$

읽는 법은 다음과 같습니다.

임펄스는 모든 주파수를 똑같이 포함합니다. 시간에서 가장 좁은 신호가 주파수에서 가장 넓습니다. 그림 9.1의 극한이며 스케일링 성질의 극단입니다. 손뼉이나 망치 타격으로 시스템의 전 주파수 응답을 한 번에 재는 이유입니다.
상수는 주파수 0에만 있습니다. 시간에서 가장 넓은 신호가 주파수에서 가장 좁습니다. 위와 쌍대입니다.
복소지수함수의 스펙트럼은 그 주파수 한 점의 임펄스입니다. cos은 $\pm\omega_0$ 두 점입니다. 2장 2.5절의 “두 화살표”가 스펙트럼으로 보인 것입니다.

둘째 줄의 첫 식을 적분으로 쓰면 다음과 같습니다. 푸리에 해석에서 가장 자주 쓰는 형식적 등식입니다.

\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}\, dt = 2\pi\delta(\omega), \qquad \text{따라서} \quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}e^{-j\omega' t}\, dt = 2\pi\delta(\omega - \omega')

좌변의 적분은 보통의 뜻으로는 수렴하지 않습니다. 뜻은 “ $\int_{-R}^{R}e^{j\omega t}\, dt = \frac{2\sin R\omega}{\omega}$ 가 $R \to \infty$ 에서 $2\pi\delta(\omega)$ 처럼 행동합니다”이고, 이는 역변환 정리의 증명에서 본 사실입니다. 둘째 식은 6장 6.6절의 표에 있던 연속 기저의 직교성입니다. 이 식을 쓰면 역변환 정리가 한 줄이 됩니다.

\frac{1}{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}\, d\omega = \int x(s)\left[\frac{1}{2\pi}\int e^{j\omega(t - s)}\, d\omega\right]ds = \int x(s)\delta(t - s)\, ds = x(t)

3장 정리 3.17의 두 줄짜리 증명(직교성으로 한 항만 살립니다)과 같은 계산이고, 크로네커 델타가 디랙 델타로, 합이 적분으로 바뀌었을 뿐입니다.

9.3 부호함수와 계단함수

정리 9.5. $\operatorname{sgn}(t) = \pm 1$ ( $t \gtrless 0$ )에 대해

\operatorname{sgn}(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{2}{j\omega}, \qquad u(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}

입니다.

증명. sgn을 감쇠시킨 $x_a(t) = e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t)$ 의 극한( $a \to 0^+$ )으로 봅니다. $X_a(\omega) = \frac{1}{a + j\omega} - \frac{1}{a - j\omega} = \frac{-2j\omega}{a^2 + \omega^2} \to \frac{-2j}{\omega} = \frac{2}{j\omega}$ 입니다. $u(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{sgn}(t)$ 이므로 $U(\omega) = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\delta(\omega) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{j\omega}$ 입니다. $\blacksquare$

참고 9.6 (흔한 실수). $e^{-at}u(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{a + j\omega}$ 에서 $a \to 0$ 으로 보내 $u(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{j\omega}$ 라고 하면 틀립니다. $\frac{1}{a + j\omega} = \frac{a}{a^2 + \omega^2} - \frac{j\omega}{a^2 + \omega^2}$ 에서 실수부는 넓이가 $\int\frac{a}{a^2 + \omega^2}\, d\omega = \pi$ 로 일정한 채 원점에 집중되므로 $\pi\delta(\omega)$ 로 갑니다. $u(t)$ 의 평균값 $\frac{1}{2}$ (직류 성분)이 이 항입니다.

따름정리 9.7 (적분의 변환).

\int_{-\infty}^t x(s)\, ds \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{X(\omega)}{j\omega} + \pi X(0)\delta(\omega)

증명. $\int_{-\infty}^t x(s)\, ds = \int x(s)u(t - s)\, ds = (x * u)(t)$ 입니다. 합성곱 정리와 델타의 곱 성질로 $X(\omega)\left(\pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}\right) = \pi X(0)\delta(\omega) + \frac{X(\omega)}{j\omega}$ 입니다. $\blacksquare$

미분이 $j\omega$ 를 곱하는 것이었으므로 적분은 $j\omega$ 로 나누는 것이고, 적분 결과에 남는 직류 성분이 델타 항입니다. $X(0) = 0$ (넓이가 0)이면 델타 항이 없습니다.

예제 9.8. $\operatorname{sgn}(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{2}{j\omega}$ 에 쌍대성을 적용하면 $\frac{2}{jt} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi\operatorname{sgn}(-\omega)$ , 즉 $\frac{1}{\pi t} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} -j\operatorname{sgn}(\omega)$ 입니다. $\frac{1}{\pi t}$ 와의 합성곱(힐베르트 변환(Hilbert transform))은 양의 주파수 성분의 위상을 $-90^\circ$ , 음의 주파수 성분을 $+90^\circ$ 돌립니다. $\cos\omega_0 t$ 가 $\sin\omega_0 t$ 가 됩니다.

9.4 주기신호의 푸리에 변환

주기 $T$ 인 신호의 푸리에 급수 $x(t) = \sum_k c_ke^{jk\omega_0 t}$ 를 항별로 변환하면

x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{jk\omega_0 t} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega) = 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\delta(\omega - k\omega_0)

입니다. 주기신호의 스펙트럼은 $\omega_0$ 의 정수배에만 놓인 임펄스들(선 스펙트럼)이고, 각 임펄스의 넓이가 $2\pi c_k$ 입니다. 이로써 푸리에 급수는 푸리에 변환의 특수한 경우가 됩니다. 5장과 6장이 하나의 이론으로 합쳐집니다.

9.5 임펄스열과 푸아송 합 공식

정의 9.9. 주기 $T$ 인 임펄스열(impulse train)은 $p_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT)$ 입니다.

정리 9.10. $\omega_0 = 2\pi/T$ 라 하면

\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{jk\omega_0 t} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega - k\omega_0)

입니다. 임펄스열의 푸리에 변환은 임펄스열입니다. 시간 간격이 $T$ 이면 주파수 간격은 $2\pi/T$ 입니다.

증명. $p_T$ 는 주기 $T$ 이고 한 주기 $(-T/2, T/2)$ 안에는 $\delta(t)$ 하나뿐입니다. 푸리에 계수는 $c_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\delta(t)e^{-jk\omega_0 t}\, dt = \frac{1}{T}$ 로 모든 $k$ 에서 같습니다. 앞 절의 공식을 적용합니다. $\blacksquare$

임펄스열은 표본화(11장)의 수학적 모형입니다. 이 정리 하나에서 표본화 정리가 나옵니다.

정리 9.11 (푸아송 합 공식). $x$ 가 충분히 매끄럽고 빨리 감소하면

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t + nT) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega_0)e^{jk\omega_0 t}, \qquad \text{특히} \quad \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega_0)

입니다.

증명. 좌변 $\tilde{x}(t) = \sum_n x(t + nT)$ 는 주기 $T$ 인 함수입니다. 그 푸리에 계수는

c_k = \frac{1}{T}\int_0^T\sum_n x(t + nT)e^{-jk\omega_0 t}\, dt = \frac{1}{T}\sum_n\int_{nT}^{(n+1)T}x(s)e^{-jk\omega_0 s}\, ds = \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}x(s)e^{-jk\omega_0 s}\, ds = \frac{X(k\omega_0)}{T}

입니다( $s = t + nT$ 로 치환했고 $e^{-jk\omega_0 nT} = 1$ ). 조각 구간들이 실수 전체를 한 번씩 덮습니다. $\blacksquare$

6장 6.1절의 관찰을 일반화한 것입니다. 시간 영역에서 주기 $T$ 로 반복시키는 것(주기화)은 주파수 영역에서 간격 $2\pi/T$ 로 표본을 뜨는 것과 같습니다. 쌍대성으로 그 역, 즉 “시간에서 표본화 ↔ 주파수에서 주기화”도 성립하고 이것이 11장의 내용입니다.

예제 9.12. $x(t) = \frac{1}{a^2 + t^2} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}$ (8장 예제 8.9), $T = 1$ , $\omega_0 = 2\pi$ 로 두면

\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{a^2 + n^2} = \frac{\pi}{a}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi a|k|} = \frac{\pi}{a}\left(1 + \frac{2e^{-2\pi a}}{1 - e^{-2\pi a}}\right) = \frac{\pi}{a} \cdot \frac{1 + e^{-2\pi a}}{1 - e^{-2\pi a}}

입니다. 느리게 수렴하는 급수가 등비급수로 바뀌어 닫힌 꼴로 구해집니다. $a = 1$ 이면 값은 3.15335다.

쓰이는 곳. 델타함수는 물리의 점전하·점질량, 신호처리의 임펄스, 확률의 이산분포를 밀도로 쓸 때 나옵니다. 그린 함수 방법으로 미분방정식을 푸는 것도 델타함수에 대한 응답을 구하는 것입니다.

연습문제

문제 1 · 확인 문제

9.1. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta(2t - 4)(t^2 + 1)\, dt$ 를 구합니다.

힌트 1

$\delta(2t - 4) = \delta(2(t - 2)) = \frac{1}{2}\delta(t - 2)$ 입니다.

정답

2.5;5/2

풀이

$\delta(2t - 4) = \delta(2(t - 2)) = \frac{1}{2}\delta(t - 2)$ 이므로 답은 $\frac{1}{2}(4 + 1) = \frac{5}{2}$ 입니다.

문제 2 · 확인 문제

9.2. $x(t) = 2 + 3\cos 4t + \sin 4t$ 의 푸리에 변환을 구합니다. 각 임펄스의 넓이(계수)를 크기와 위상(도)으로 적습니다. 크기는 소수 셋째 자리, 위상은 소수 둘째 자리까지 적습니다.

위치	크기	위상 (도)
$\omega = 0$	[?]	[?]
$\omega = 4$	[?]	[?]
$\omega = -4$	[?]	[?]

힌트 1

$1 \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi\delta(\omega)$ , $\cos 4t \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \pi[\delta(\omega - 4) + \delta(\omega + 4)]$ , $\sin 4t \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{\pi}{j}[\delta(\omega - 4) - \delta(\omega + 4)]$ 입니다.

정답

풀이

$X = 4\pi\delta(\omega) + 3\pi[\delta(\omega - 4) + \delta(\omega + 4)] + \frac{\pi}{j}[\delta(\omega - 4) - \delta(\omega + 4)] = 4\pi\delta(\omega) + \pi(3 - j)\delta(\omega - 4) + \pi(3 + j)\delta(\omega + 4)$ 입니다. $4\pi \approx 12.566$ 이고, $\omega = 4$ 의 계수 $\pi(3 - j) = \pi\sqrt{10}\, e^{-j18.43^\circ}$ 의 크기는 $\approx 9.935$ 입니다. 이것은 $3\cos 4t + \sin 4t = \sqrt{10}\cos(4t - 18.43^\circ)$ 의 페이저입니다.

문제 3

9.3. $\operatorname{rect}(t/\tau)$ 를 미분하면 델타 두 개가 됩니다. 이것과 미분 성질로 7장 정리 7.2를 다시 유도합니다.

풀이

$\frac{d}{dt}\operatorname{rect}(t/\tau) = \delta(t + \frac{\tau}{2}) - \delta(t - \frac{\tau}{2}) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{j\omega\tau/2} - e^{-j\omega\tau/2} = 2j\sin\frac{\omega\tau}{2}$ 입니다. 이것이 $j\omega X$ 이므로 $X = \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}$ 입니다.

문제 4

9.4. 같은 방법(두 번 미분)으로 $\operatorname{tri}(t/\tau)$ 의 변환을 구합니다.

힌트 1

한 번 미분하면 $\frac{1}{\tau}$ ( $-\tau < t < 0$ ), $-\frac{1}{\tau}$ ( $0 < t < \tau$ )다.

풀이

한 번 미분하면 $\frac{1}{\tau}$ ( $-\tau < t < 0$ ), $-\frac{1}{\tau}$ ( $0 < t < \tau$ )다. 두 번 미분하면 $\frac{1}{\tau}[\delta(t + \tau) - 2\delta(t) + \delta(t - \tau)] \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{\tau}(2\cos\omega\tau - 2)$ 입니다. 이것이 $(j\omega)^2X$ 이므로 $X = \frac{2(1 - \cos\omega\tau)}{\tau\omega^2} = \frac{4\sin^2(\omega\tau/2)}{\tau\omega^2}$ 입니다. 7장 정리 7.6과 같습니다. 구간별 다항식 신호는 “델타가 나올 때까지 미분”하면 적분 없이 변환됩니다.

문제 5 · 확인 문제

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - 2)\, e^t\, dt$ 를 소수 셋째 자리까지 구합니다.

정답

7.389

풀이

체질 성질로 $e^2 \approx 7.389$ 입니다.

문제 6

예제 9.12의 결과로 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{1 + n^2}$ 을 소수 넷째 자리까지 구합니다.

정답

3.1533

풀이

$a = 1$ 이면 $\pi\frac{1 + e^{-2\pi}}{1 - e^{-2\pi}} \approx 3.15335$ 입니다.