8장. 푸리에 변환의 성질

요약

선형성, 시간 이동, 변조, 스케일링, 켤레와 대칭, 쌍대성, 미분, 합성곱, 파세발과 플랑셰렐, 상관, 성질의 조합

신호를 옮기면, 늘이면, 미분하면, 곱하면 주파수 쪽에서는 무슨 일이 생길까요? 이 장의 성질들(선형성, 이동, 척도, 미분, 합성곱, 파세발)은 푸리에 변환을 실제로 쓰는 계산 규칙입니다.

“시간 영역에서 이런 조작을 하면 주파수 영역에서 무슨 일이 일어나는가”의 목록입니다. 각 성질은 한두 줄의 치환이나 부분적분으로 증명됩니다. 이 장 전체에서 $x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$ , $y(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} Y(\omega)$ 라 합니다.

8.1 선형성

정리 8.1. $\alpha x(t) + \beta y(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \alpha X(\omega) + \beta Y(\omega)$ 입니다.

적분이 선형이기 때문입니다. 신호를 쉬운 조각으로 나눠 따로 변환한 뒤 더해도 됩니다.

8.2 시간 이동

정리 8.2.

x(t - t_0) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega t_0}X(\omega)

증명. $s = t - t_0$ 으로 치환하면 $\int x(t - t_0)e^{-j\omega t}\, dt = \int x(s)e^{-j\omega(s + t_0)}\, ds = e^{-j\omega t_0}X(\omega)$ 입니다. $\blacksquare$

$|e^{-j\omega t_0}| = 1$ 이므로 크기 스펙트럼은 변하지 않고 위상에 $-\omega t_0$ 가 더해집니다. 지연은 주파수에 비례하는 위상 지연, 즉 선형 위상입니다. 직관은 이렇습니다. $t_0$ 만큼 늦추는 것은 주파수 $\omega$ 인 성분에게는 $\omega t_0$ 라디안만큼 회전이 덜 된 것입니다. 빠른 성분일수록 같은 시간 동안 더 많이 돕니다.

8.3 주파수 이동과 변조

정리 8.3.

e^{j\omega_0 t}x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega - \omega_0), \qquad x(t)\cos\omega_0 t \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \tfrac{1}{2}X(\omega - \omega_0) + \tfrac{1}{2}X(\omega + \omega_0)

증명. $\int x(t)e^{j\omega_0 t}e^{-j\omega t}\, dt = \int x(t)e^{-j(\omega - \omega_0)t}\, dt = X(\omega - \omega_0)$ 입니다. 둘째 식은 $\cos\omega_0 t = \frac{1}{2}(e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t})$ 와 선형성에서 나옵니다. $\blacksquare$

시간 이동과 정확히 짝을 이룹니다. 한 영역에서의 이동은 다른 영역에서 복소지수 곱입니다. 사인파를 곱하면 스펙트럼이 통째로 $\pm\omega_0$ 로 옮겨 갑니다(그림 8.1). 라디오가 음성(수 kHz)을 수백 kHz에서 수 GHz의 반송파에 싣는 원리(변조)이고, 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식의 일반화입니다.

$위 왼쪽은 종 모양 신호 x(t), 위 오른쪽은 원점에 봉우리가 있는 스펙트럼입니다. 아래 왼쪽은 cos ω₀t를 곱해 빠르게 진동하는 신호, 아래 오른쪽은 봉우리가 절반 높이로 ±ω₀에 하나씩 옮겨 간 스펙트럼입니다.$

그림 8.1. 변조. 위: 신호와 그 스펙트럼. 아래: $\cos\omega_0 t$ 를 곱한 신호와 스펙트럼. 스펙트럼이 절반 높이로 $\pm\omega_0$ 에 복사됩니다.

8.4 시간 스케일링

정리 8.4. 실수 $a \ne 0$ 에 대해

x(at) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{|a|}X\left(\frac{\omega}{a}\right)

입니다.

증명. $s = at$ 로 치환하면(1장 1.6절의 확대 치환) $\int x(at)e^{-j\omega t}\, dt = \frac{1}{|a|}\int x(s)e^{-j(\omega/a)s}\, ds$ 입니다. $\blacksquare$

$|a| > 1$ 이면 시간축이 압축되고 주파수축은 늘어납니다. 시간에서 좁으면 주파수에서 넓습니다. 녹음을 2배속으로 틀면 길이는 절반, 모든 주파수는 2배(한 옥타브 위)가 됩니다. 사각 펄스와 가우스 함수에서 본 현상의 일반 원리이며 불확정성 원리(13장)의 정성적인 꼴입니다. $a = -1$ 이면 시간 반전 $x(-t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(-\omega)$ 입니다.

8.5 켤레와 대칭

정리 8.5. $x(t)^* \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(-\omega)^*$ 입니다.

증명. $\int x(t)^*e^{-j\omega t}\, dt = \left(\int x(t)e^{j\omega t}\, dt\right)^* = X(-\omega)^*$ 입니다. $\blacksquare$

따름정리 8.6.

$x$ 가 실수 $\iff$ $X(-\omega) = X(\omega)^*$ (켤레 대칭). 이때 $\operatorname{Re} X$ 와 $|X|$ 는 우함수, $\operatorname{Im} X$ 와 $\angle X$ 는 기함수입니다.
$x$ 가 실수 우함수이면 $X$ 는 실수 우함수입니다.
$x$ 가 실수 기함수이면 $X$ 는 순허수 기함수입니다.

증명. (1) $x = x^*$ 이면 변환도 같으므로 $X(\omega) = X(-\omega)^*$ 입니다. (2) 시간 반전 성질에서 $x(-t) = x(t)$ 이면 $X(-\omega) = X(\omega)$ 이고, (1)과 합치면 $X = X^*$ 입니다. (3)도 같습니다. $\blacksquare$

실수 신호를 우함수 부분과 기함수 부분으로 나누면 $x = x_e + x_o$ , 그 변환이 각각 $\operatorname{Re} X$ 와 $j\operatorname{Im} X$ 입니다. 직접 보면 $X(\omega) = \int x(t)\cos\omega t\, dt - j\int x(t)\sin\omega t\, dt$ 에서 cos은 우함수 부분만, sin은 기함수 부분만 집어냅니다.

8.6 쌍대성

변환식과 역변환식은 $2\pi$ 와 지수의 부호만 다릅니다. 그래서 변환쌍 하나를 알면 시간과 주파수의 역할을 바꾼 변환쌍이 하나 더 나옵니다.

정리 8.7 (쌍대성). $x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$ 이면

X(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi\, x(-\omega)

입니다.

증명. 역변환식 $x(t) = \frac{1}{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}\, d\omega$ 에서 $t$ 를 $-t$ 로 바꾸면 $2\pi x(-t) = \int X(\omega)e^{-j\omega t}\, d\omega$ 입니다. 여기서 글자 $t$ 와 $\omega$ 를 맞바꾸면 $2\pi x(-\omega) = \int X(t)e^{-j\omega t}\, dt$ 입니다. 우변은 함수 $X(t)$ 의 푸리에 변환입니다. $\blacksquare$

예제 8.8 (sinc의 변환). $\operatorname{rect}(t/\tau) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}$ 에 쌍대성을 적용하면

\frac{2\sin(t\tau/2)}{t} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi\operatorname{rect}(-\omega/\tau) = 2\pi\operatorname{rect}(\omega/\tau)

입니다. $\tau = 2W$ 로 놓고 $2\pi$ 로 나누면

\frac{\sin Wt}{\pi t} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right) = \begin{cases} 1 & (|\omega| < W) \\ 0 & (|\omega| > W) \end{cases}

입니다. 시간 영역의 sinc는 주파수 영역에서 $|\omega| < W$ 만 통과시키는 사각형입니다. 이상적인 저역통과 필터(low-pass filter)이고, 표본화 정리(11장)의 주인공입니다.

예제 8.9. $e^{-a|t|} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$ 에서 $\frac{2a}{a^2 + t^2} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi e^{-a|\omega|}$ , 즉 $\frac{1}{a^2 + t^2} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}$ 입니다. 직접 적분하려면 복소해석이 필요한 계산이 공짜로 나왔습니다.

쌍대성 때문에 모든 성질이 짝으로 나타납니다. 시간 이동과 주파수 이동, 시간 미분과 주파수 미분, 합성곱과 곱이 짝입니다.

8.7 미분

정리 8.10 (시간 미분). $x$ 가 미분가능하고 $x(\pm\infty) = 0$ 이면

x'(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j\omega X(\omega), \qquad \text{일반적으로} \quad x^{(n)}(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} (j\omega)^nX(\omega)

입니다.

증명. 부분적분하면 $\int x'(t)e^{-j\omega t}\, dt = \Big[x(t)e^{-j\omega t}\Big]_{-\infty}^{\infty} + j\omega\int x(t)e^{-j\omega t}\, dt = j\omega X(\omega)$ 입니다. $\blacksquare$

역변환식을 $t$ 로 미분해도 같은 결과가 보입니다. $\frac{d}{dt}e^{j\omega t} = j\omega e^{j\omega t}$ 이므로 각 주파수 성분에 $j\omega$ 가 곱해집니다. 미분은 주파수 영역에서 $j\omega$ 를 곱하는 것입니다. 이 성질의 결과는 다음과 같습니다.

미분방정식이 대수방정식이 됩니다(10장).
미분은 고주파를 $|\omega|$ 배로 키웁니다(잡음에 민감한 이유). $j = e^{j\pi/2}$ 이므로 모든 성분의 위상을 $90^\circ$ 앞당깁니다.
$x$ 가 $n$ 번 미분가능하고 $x^{(n)} \in L^1$ 이면 $|\omega^nX(\omega)|$ 가 유계이므로 $|X(\omega)| \le C/|\omega|^n$ 입니다. 매끄러울수록 스펙트럼이 빨리 줄어듭니다.

정리 8.11 (주파수 미분). $t\, x(t)$ 가 절대적분가능하면

t\, x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j\frac{dX}{d\omega}, \qquad \text{일반적으로} \quad t^nx(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j^n\frac{d^nX}{d\omega^n}

입니다.

증명. 라이프니츠 규칙(1장 정리 1.20)으로 $X'(\omega) = \int(-jt)x(t)e^{-j\omega t}\, dt$ 입니다. 양변에 $j$ 를 곱합니다. $\blacksquare$

예제 8.12. $te^{-a|t|} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j\frac{d}{d\omega}\frac{2a}{a^2 + \omega^2} = \frac{-4ja\omega}{(a^2 + \omega^2)^2}$ 입니다. 실수 기함수의 변환이 순허수 기함수인 것과 맞습니다.

따름정리 8.13 (모멘트).

\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\, dt = X(0), \qquad \int_{-\infty}^{\infty}t\, x(t)\, dt = jX'(0), \qquad x(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\, d\omega

한 영역의 원점에서의 값은 다른 영역의 전체 넓입니다. 검산에 유용합니다.

8.8 합성곱

정의 8.14. $x$ 와 $h$ 의 합성곱(convolution)은

(x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\, h(t - \tau)\, d\tau

입니다.

4장의 순환 합성곱의 연속판입니다. $h$ 를 $\tau$ 만큼 민 $h(t - \tau)$ 들을 무게 $x(\tau)$ 로 더한 것입니다. 계산법과 물리적 의미는 10장에서 자세히 다룹니다. 치환으로 $x * h = h * x$ (교환법칙), 또 $(x * h) * g = x * (h * g)$ , $x * (h + g) = x * h + x * g$ 가 성립합니다.

정리 8.15 (합성곱 정리).

(x * h)(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)\, H(\omega)

증명. $x, h \in L^1$ 이라 합시다. 적분 순서를 바꾸고(1장의 푸비니 정리 1.19) 안쪽 적분에 시간 이동 성질을 씁니다.

\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t - \tau)\, d\tau\right]e^{-j\omega t}\, dt = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(t - \tau)e^{-j\omega t}\, dt\right]d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j\omega\tau}H(\omega)\, d\tau = X(\omega)H(\omega)

$\blacksquare$

DFT의 합성곱 정리(4장 정리 4.13)와 증명이 한 줄씩 대응합니다. 시간 영역의 합성곱은 주파수 영역의 곱입니다. 푸리에 변환이 공학에서 쓰이는 가장 큰 이유입니다.

예제 8.16. $\operatorname{rect}(t/\tau) * \operatorname{rect}(t/\tau) = \tau\operatorname{tri}(t/\tau)$ 다(10장 그림 10.1에서 계산합니다). 변환하면 $\left(\tau\operatorname{sinc}\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)^2 = \tau \cdot \tau\operatorname{sinc}^2\frac{\omega\tau}{2\pi}$ 로 7장 정리 7.6과 일치합니다.

정리 8.17 (곱의 변환).

x(t)\, y(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{2\pi}(X * Y)(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\nu)\, Y(\omega - \nu)\, d\nu

증명. $y(t) = \frac{1}{2\pi}\int Y(\nu)e^{j\nu t}\, d\nu$ 를 대입하면 $\int x(t)y(t)e^{-j\omega t}\, dt = \frac{1}{2\pi}\int Y(\nu)\left(\int x(t)e^{-j(\omega - \nu)t}\, dt\right)d\nu = \frac{1}{2\pi}\int Y(\nu)X(\omega - \nu)\, d\nu$ 입니다. $\blacksquare$

합성곱 정리의 쌍대입니다. 변조 성질은 이것의 특수한 경우이고, 신호를 유한 시간만 관측하는 것(창을 곱하는 것)이 스펙트럼을 흐리게 만드는 이유도 이 정리입니다(11장).

8.9 파세발 등식과 플랑셰렐 정리

정리 8.18.

\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\, y(t)^*\, dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\, Y(\omega)^*\, d\omega, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\, dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^2\, d\omega

증명. $x(t) = \frac{1}{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}\, d\omega$ 를 대입하고 순서를 바꿉니다.

\int x(t)y(t)^*\, dt = \frac{1}{2\pi}\int X(\omega)\left[\int y(t)^*e^{j\omega t}\, dt\right]d\omega = \frac{1}{2\pi}\int X(\omega)\left[\int y(t)e^{-j\omega t}\, dt\right]^*d\omega

$\blacksquare$

내적으로 쓰면 $\langle x, y \rangle = \frac{1}{2\pi}\langle X, Y \rangle$ 입니다. 푸리에 변환은 (상수 $2\pi$ 를 빼면) 내적과 에너지를 보존합니다. 유니터리 변환이라는 뜻이고, 유한차원의 정리 3.21, 급수의 정리 5.12와 같은 사실입니다. 관례 (B)에서는 상수 없이 $\int|x|^2\, dt = \int|\hat{X}(f)|^2\, df$ 입니다.

$|X(\omega)|^2$ 을 에너지 스펙트럼 밀도라 합니다. 신호 에너지 중 주파수 대역 $[\omega_1, \omega_2]$ 에 든 양은(실수 신호이면 음의 주파수 쪽까지 합쳐) $\frac{1}{\pi}\int_{\omega_1}^{\omega_2}|X|^2\, d\omega$ 입니다.

예제 8.19. $x = \operatorname{rect}(t/2)$ 이면 $X = \frac{2\sin\omega}{\omega}$ 이고 $\int|x|^2\, dt = 2$ 입니다. 파세발 등식에서 $\frac{1}{2\pi}\int\frac{4\sin^2\omega}{\omega^2}\, d\omega = 2$ , 즉

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}\, d\omega = \pi

입니다.

예제 8.20. $x = e^{-a|t|}$ 이면 $\int|x|^2\, dt = \int e^{-2a|t|}\, dt = \frac{1}{a}$ 이고, 이것이 $\frac{1}{2\pi}\int\frac{4a^2}{(a^2 + \omega^2)^2}\, d\omega$ 와 같아야 합니다. 따라서

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{(a^2 + \omega^2)^2} = \frac{\pi}{2a^3}

입니다.

참고 8.21 (플랑셰렐 정리). 위 증명은 $x$ , $X$ 가 절대적분가능하다고 가정했습니다. 플랑셰렐 정리는 더 강하게, 푸리에 변환이 $L^2(\mathbb{R})$ 전체에서 $L^2(\mathbb{R})$ 전체로 가는 유니터리 연산자(상수배 제외)로 확장된다고 말합니다. 유한 에너지 신호는 모두 유한 에너지 스펙트럼을 가지고 그 역도 성립합니다.

8.10 상관

정의 8.22. $x$ 와 $y$ 의 상호상관(cross-correlation)은 $r_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t + \tau)\, y(t)^*\, dt$ 이고, 자기상관(autocorrelation)은 $r_{xx}(\tau)$ 입니다.

$r_{xy}(\tau)$ 는 $x$ 를 $\tau$ 만큼 당긴 것과 $y$ 의 내적입니다. 두 신호가 얼마나 닮았는지를 어긋남 $\tau$ 의 함수로 잽니다. 레이더나 GPS가 반사 신호의 지연을 찾는 방법입니다.

정리 8.23 (위너–힌친). $r_{xy}(\tau) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)Y(\omega)^*$ 입니다. 특히 $r_{xx}(\tau) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} |X(\omega)|^2$ 입니다.

증명. $\tilde{y}(t) = y(-t)^*$ 라 하면 $r_{xy}(\tau) = \int x(s)y(s - \tau)^*\, ds = \int x(s)\tilde{y}(\tau - s)\, ds = (x * \tilde{y})(\tau)$ 다( $s = t + \tau$ 로 치환). 켤레와 시간 반전 성질에서 $\tilde{y} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} Y(\omega)^*$ 이므로 합성곱 정리가 결과를 줍니다. $\blacksquare$

자기상관의 푸리에 변환이 에너지 스펙트럼 밀도입니다. 잡음처럼 위상이 의미 없는 신호의 스펙트럼을 정의하고 추정하는 출발점입니다.

8.11 성질 요약과 종합 예제

성질	시간 영역	주파수 영역
선형성	$\alpha x + \beta y$	$\alpha X + \beta Y$
시간 이동	$x(t - t_0)$	$e^{-j\omega t_0}X(\omega)$
주파수 이동	$e^{j\omega_0 t}x(t)$	$X(\omega - \omega_0)$
변조	$x(t)\cos\omega_0 t$	$\frac{1}{2}X(\omega - \omega_0) + \frac{1}{2}X(\omega + \omega_0)$
스케일링	$x(at)$	$\frac{1}{\lvert a\rvert}X(\omega/a)$
시간 반전	$x(-t)$	$X(-\omega)$
켤레	$x(t)^*$	$X(-\omega)^*$
쌍대성	$X(t)$	$2\pi x(-\omega)$
시간 미분	$x^{(n)}(t)$	$(j\omega)^nX(\omega)$
주파수 미분	$t^nx(t)$	$j^nX^{(n)}(\omega)$
합성곱	$(x * y)(t)$	$X(\omega)Y(\omega)$
곱	$x(t)y(t)$	$\frac{1}{2\pi}(X * Y)(\omega)$
상관	$\int x(t + \tau)y(t)^*\, dt$	$X(\omega)Y(\omega)^*$
파세발	$\int xy^*\, dt$	$\frac{1}{2\pi}\int XY^*\, d\omega$

예제 8.24 (성질의 조합). $x(t) = \operatorname{rect}\left(\frac{t - 2}{4}\right)\cos 10t$ 의 변환을 구합니다. 구간 $0 < t < 4$ 에서만 켜진 사인파입니다.

$\operatorname{rect}(t/4) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{2\sin 2\omega}{\omega}$ 입니다.
2만큼 이동하면 $g(t) = \operatorname{rect}(\frac{t - 2}{4}) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} G(\omega) = e^{-j2\omega}\frac{2\sin 2\omega}{\omega}$ 입니다.
변조하면 $X(\omega) = \frac{1}{2}G(\omega - 10) + \frac{1}{2}G(\omega + 10)$ , 즉

X(\omega) = e^{-j2(\omega - 10)}\frac{\sin 2(\omega - 10)}{\omega - 10} + e^{-j2(\omega + 10)}\frac{\sin 2(\omega + 10)}{\omega + 10}

입니다. 스펙트럼은 $\omega = \pm 10$ 에 놓인 sinc 봉우리 두 개이고, 각 봉우리의 주엽은 중심에서 $\pm\pi/2$ 까지입니다. 유한한 시간 동안만 지속되는 사인파는 한 주파수가 아니라 그 주변에 퍼진 대역을 가집니다.

예제 8.25 (역변환을 표에서 찾기). $X(\omega) = \frac{e^{-j3\omega}}{(2 + j\omega)^2}$ 의 역변환을 구합니다. $\frac{1}{(2 + j\omega)^2}$ 은 $te^{-2t}u(t)$ 의 변환(7장 따름정리 7.4)이고, $e^{-j3\omega}$ 는 3만큼의 지연이므로 $x(t) = (t - 3)e^{-2(t - 3)}u(t - 3)$ 입니다.

연습문제

문제 1 · 확인 문제

6.1. $x(t) = e^{-2|t - 1|}$ 의 푸리에 변환을 구합니다. 아래 값을 적습니다.

값	답
$X(0)$	[?]
$\lvert X(2) \rvert$	[?]
$\angle X(2)$ (라디안)	[?]

힌트 1

$e^{-2|t|} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{4}{4 + \omega^2}$ 이고, 1만큼 이동하면 $e^{-j\omega}$ 가 곱해집니다.

정답

1
0.5
-2

풀이

$e^{-2|t|} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{4}{4 + \omega^2}$ 이고 1만큼 이동하면 $X(\omega) = \frac{4e^{-j\omega}}{4 + \omega^2}$ 입니다. $X(0) = 1$ , $|X(2)| = \frac{4}{8} = 0.5$ , $\angle X(2) = -2$ rad다.

문제 2 · 확인 문제

6.3. 코사인 펄스 $x(t) = \cos(\pi t)\operatorname{rect}(t)$ 의 변환을 구합니다. 아래 값을 소수 넷째 자리까지 적습니다.

값	답
$X(0)$	[?]
$X(\pi)$	[?]

힌트 1

$\operatorname{rect}(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} S(\omega) = \frac{2\sin(\omega/2)}{\omega}$ 이고 변조 성질로 $X = \frac{1}{2}S(\omega - \pi) + \frac{1}{2}S(\omega + \pi)$ 입니다.

힌트 2

$X(\pi)$ 는 $\frac{1}{2}S(0) + \frac{1}{2}S(2\pi)$ 입니다.

정답

0.6366
0.5

풀이

$X = \frac{1}{2}S(\omega - \pi) + \frac{1}{2}S(\omega + \pi)$ 이고 $\sin\frac{\omega \mp \pi}{2} = \mp\cos\frac{\omega}{2}$ 이므로

X(\omega) = \cos\frac{\omega}{2}\left[\frac{-1}{\omega - \pi} + \frac{1}{\omega + \pi}\right] = \frac{2\pi\cos(\omega/2)}{\pi^2 - \omega^2}

입니다. $X(0) = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366$ 입니다. $X(\pi) = \frac{1}{2}S(0) + \frac{1}{2}S(2\pi) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 0 = 0.5$ 입니다. rect는 끝에서 불연속이지만 $\cos\pi t$ 가 $t = \pm\frac{1}{2}$ 에서 0이라 코사인 펄스는 연속입니다(꺾임만 있습니다). 그래서 꼬리가 $1/\omega$ 가 아니라 $1/\omega^2$ 으로 줄어듭니다.

문제 3 · 확인 문제

6.4. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\omega t}{1 + t^2}\, dt$ 를 구합니다. $\omega = 1$ 일 때의 값을 소수 넷째 자리까지 적습니다.

힌트 1

예제 8.9에서 $\frac{1}{1 + t^2} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \pi e^{-|\omega|}$ 입니다.

정답

1.1557

풀이

예제 8.9에서 $\frac{1}{1 + t^2} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \pi e^{-|\omega|}$ 입니다. 우함수이므로 $\int\frac{e^{-j\omega t}}{1 + t^2}\, dt = \int\frac{\cos\omega t}{1 + t^2}\, dt = \pi e^{-|\omega|}$ 입니다. $\omega = 1$ 이면 $\pi/e \approx 1.1557$ 입니다.

문제 4 · 확인 문제

6.6. $y(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t/2)$ 를 구하고 그 변환을 씁니다. 아래 값을 적습니다.

값	답
$y(0)$	[?]
$y(1)$	[?]
$y(2)$	[?]
$\int y(t)\, dt$	[?]

힌트 1

폭 1과 폭 2인 사각 펄스가 겹치는 길이를 따집니다.

정답

풀이

겹치는 길이를 따지면 사다리꼴입니다. $y(t) = 1$ ( $|t| \le \frac{1}{2}$ ), $y(t) = \frac{3}{2} - |t|$ ( $\frac{1}{2} < |t| < \frac{3}{2}$ ), 그 밖에서 0입니다. 그러므로 $y(0) = 1$ , $y(1) = 0.5$ , $y(2) = 0$ 입니다. 넓이는 $1 \cdot 2 = 2$ 다(검산). $Y(\omega) = \frac{2\sin(\omega/2)}{\omega} \cdot \frac{2\sin\omega}{\omega}$ 입니다.

문제 5 · 확인 문제

6.7. $x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$ 일 때 $x(2t - 6)$ 의 변환은?

$\frac{1}{2}e^{-j3\omega}X(\frac{\omega}{2})$
$\frac{1}{2}e^{-j6\omega}X(\frac{\omega}{2})$
$2e^{-j3\omega}X(2\omega)$
$e^{-j6\omega}X(2\omega)$

힌트 1

$x(2t - 6) = x(2(t - 3))$ 로 씁니다.

정답

풀이

$x(2t - 6) = x(2(t - 3))$ 입니다. 먼저 스케일링으로 $x(2t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{2}X(\frac{\omega}{2})$ , 그다음 3만큼 이동하면 $\frac{1}{2}e^{-j3\omega}X(\frac{\omega}{2})$ 입니다. 순서를 바꿔 6만큼 이동한 뒤 스케일링해도 $\frac{1}{2}e^{-j6(\omega/2)}X(\frac{\omega}{2})$ 로 같습니다.

문제 6

6.8. $x$ 가 실수일 때 자기상관 $r_{xx}(\tau)$ 가 우함수이고 $\tau = 0$ 에서 최대임을 보입니다.

힌트 1

최대인 것은 코시–슈바르츠 부등식으로 보입니다. 이동해도 노름은 같습니다.

풀이

실수이면 $r_{xx}(-\tau) = \int x(t - \tau)x(t)\, dt = \int x(s)x(s + \tau)\, ds = r_{xx}(\tau)$ 입니다. 코시–슈바르츠 부등식으로 $|r_{xx}(\tau)| = |\langle x(\cdot + \tau), x \rangle| \le \lVert x\rVert \cdot \lVert x\rVert = r_{xx}(0)$ 입니다(이동해도 노름은 같습니다).