2장. 진동의 언어: 삼각함수와 복소지수함수

요약

사인파, 삼각함수 항등식, 복소수, 오일러 공식, 회전하는 화살표와 음의 주파수, 복소함수의 미적분, 직교성 적분

사인과 코사인을 따로 쓰면 식이 길어지지만, 복소지수함수 e^{iωt} 하나로 묶으면 계산이 훨씬 짧아집니다. 이 장에서는 오일러 공식으로 진동을 복소수로 표현하는 법(페이저)을 익힙니다. 이후 모든 장이 이 표기를 씁니다.

2.1 사인파

가장 단순한 진동은

x(t) = A\cos(\omega t + \phi)

입니다. 세 개의 수가 이 신호를 완전히 정합니다(그림 2.1).

진폭(amplitude) $A \ge 0$ : 최댓값.
각주파수(angular frequency) $\omega$ (rad/s): 위상 $\omega t + \phi$ 가 1초에 몇 라디안 나아가는가.
위상(phase) $\phi$ (rad): $t = 0$ 에서의 각도. 봉우리는 $t = -\phi/\omega$ 에 있습니다. $\phi < 0$ 이면 그래프가 오른쪽으로 밀립니다(지연).

위상이 $2\pi$ 나아가면 한 바퀴이므로 주기(period)는 $T = 2\pi/\omega$ (초)이고, 1초 동안의 진동 횟수인 주파수(frequency)는 $f = 1/T$ (Hz)다.

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

$\omega$ 와 $f$ 는 같은 정보를 단위만 바꿔 쓴 것입니다. 이론 계산은 $\omega$ 가 편하고(식에 $2\pi$ 가 덜 나옵니다), 측정과 실무는 $f$ (Hz)를 씁니다.

$가로축이 시간 t인 사인파 그래프. 봉우리 사이 간격이 주기 T, 봉우리 높이가 진폭 A, 원점에서 첫 봉우리까지의 거리가 −ϕ/ω로 표시되어 있습니다.$

그림 2.1. 사인파 $A\cos(\omega t + \phi)$ 의 진폭, 주기, 위상. $\phi = -\pi/3$ 인 경우.

2.2 삼각함수 항등식

필요한 것은 넷입니다. 증명은 “준비. 삼각함수”의 정리 0.7, 0.13에 있습니다.

\begin{aligned} &\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 && (2.1)\\ &\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta && (2.2)\\ &\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta && (2.3)\\ &\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] && (2.4) \end{aligned}

(2.4)는 (2.2)의 두 식을 더한 것입니다. 같은 방법으로 $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ , $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ 입니다. 곱을 합으로 바꾸는 이 공식들이 “두 주파수를 곱하면 합과 차 주파수가 생깁니다”는 변조의 원리입니다. 뒤에서 보겠지만 이 공식들은 외울 필요가 없습니다. 오일러 공식에서 한 줄로 나옵니다.

정리 2.1 (같은 주파수의 cos과 sin의 합). $a\cos\omega t + b\sin\omega t = A\cos(\omega t + \phi)$ 입니다. 여기서 $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $\cos\phi = a/A$ , $\sin\phi = -b/A$ 입니다.

증명. (2.2)로 우변을 펴면 $A\cos\phi\cos\omega t - A\sin\phi\sin\omega t$ 입니다. 계수를 비교합니다. $\blacksquare$

즉 같은 주파수의 사인파는 아무리 더해도 같은 주파수의 사인파 하나입니다. 진폭과 위상만 바뀝니다.

2.3 복소수 복습

$z = a + jb$ ( $a$ , $b$ 실수, $j^2 = -1$ )에서 $a = \operatorname{Re} z$ , $b = \operatorname{Im} z$ 입니다.

켤레: $z^* = a - jb$ . $(z + w)^* = z^* + w^*$ , $(zw)^* = z^* w^*$ .
크기: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , 그리고 $zz^* = |z|^2$ . $|zw| = |z||w|$ , $|z + w| \le |z| + |w|$ .
$\operatorname{Re} z = \frac{1}{2}(z + z^*)$ , $\operatorname{Im} z = \frac{1}{2j}(z - z^*)$ .
극형식: $z = r(\cos\theta + j\sin\theta)$ , $r = |z|$ , $\theta = \angle z$ . 곱하면 크기는 곱해지고 각은 더해집니다.
나눗셈은 분모의 켤레를 곱해서 합니다: $\dfrac{1}{a + jb} = \dfrac{a - jb}{a^2 + b^2}$ .

2.4 오일러 공식

정의 2.2. 복소수 $z$ 에 대해 $\displaystyle e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ 으로 정의합니다.

실수에서 성립하는 테일러 급수(1장 정리 1.18)를 그대로 복소수로 넓힌 것입니다. 이 급수는 모든 복소수 $z$ 에서 수렴합니다.

정리 2.3 (오일러 공식). 모든 실수 $\theta$ 에 대해

e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta

입니다.

증명. $j^2 = -1$ , $j^3 = -j$ , $j^4 = 1$ 이므로 $(j\theta)^n$ 은 짝수 차수에서 실수, 홀수 차수에서 순허수입니다. 급수를 둘로 나누면

e^{j\theta} = \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + j\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right) = \cos\theta + j\sin\theta

입니다. $\blacksquare$

바로 따라 나오는 사실들은 다음과 같습니다.

$|e^{j\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$ 입니다. 즉 $e^{j\theta}$ 는 단위원 위의 점이고 $\theta$ 는 그 각도입니다.
$(e^{j\theta})^* = e^{-j\theta} = 1/e^{j\theta}$ 입니다.
$e^{j\alpha} e^{j\beta} = e^{j(\alpha + \beta)}$ 입니다. 좌변을 전개하면 덧셈정리 (2.2), (2.3)이 됩니다. 거꾸로, 덧셈정리를 잊었으면 이 식의 실수부와 허수부를 읽으면 됩니다.
극형식은 $z = re^{j\theta}$ 로 씁니다. $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{j(\theta_1 + \theta_2)}$ 입니다.
$e^{j2\pi k} = 1$ ( $k$ 정수), $e^{j\pi} = -1$ , $e^{\pm j\pi/2} = \pm j$ , $e^{j\pi k} = (-1)^k$ 입니다. 이 값들은 계산에서 끊임없이 씁니다.

정리 2.4. 복소수 $s$ 에 대해 $\frac{d}{dt} e^{st} = se^{st}$ 입니다. 특히 $\frac{d}{dt} e^{j\omega t} = j\omega\, e^{j\omega t}$ 입니다.

증명. $s = \sigma + j\omega$ 이면 $e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t)$ 입니다. 곱의 미분으로 $\sigma e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t) + e^{\sigma t}(-\omega\sin\omega t + j\omega\cos\omega t)$ 이고, 둘째 괄호는 $j\omega(\cos\omega t + j\sin\omega t)$ 와 같습니다. 합치면 $(\sigma + j\omega)e^{st}$ 입니다. $\blacksquare$

2.5 회전하는 화살표와 음의 주파수

$e^{j\omega t}$ 는 복소평면의 단위원 위를 각속도 $\omega$ 로 도는 점입니다. $\omega > 0$ 이면 반시계 방향, $\omega < 0$ 이면 시계 방향입니다. 이 점의 가로 그림자가 $\cos\omega t$ , 세로 그림자가 $\sin\omega t$ 다(그림 2.2).

$왼쪽: 단위원 위에서 반대 방향으로 도는 두 화살표 e^{jωt}와 e^{-jωt}. 오른쪽: 둘을 절반씩 더하면 세로 성분이 지워져 실수축 위의 cos ωt만 남습니다.$

그림 2.2. 왼쪽: 반대 방향으로 도는 두 화살표. 오른쪽: 둘을 절반씩 더하면 허수부가 지워져 실수축 위의 $\cos\omega t$ 가 남습니다.

오일러 공식에 $\theta$ 와 $-\theta$ 를 넣어 더하고 빼면

\cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}

를 얻습니다. 읽는 법은 이렇습니다. 실수 사인파 하나는 양의 주파수 $+\omega$ 와 음의 주파수 $-\omega$ 를 가진 복소지수함수 두 개의 합입니다. 음의 주파수는 물리적으로 새로운 무엇이 아니라 “반대 방향으로 도는 화살표”일 뿐이며, 실수 신호를 복소지수로 쓰려면 반드시 짝으로 필요합니다. 푸리에 변환의 주파수 축이 $-\infty$ 부터 $\infty$ 까지인 이유가 이것입니다.

일반적인 사인파도 같은 방식으로 씁니다.

A\cos(\omega t + \phi) = \operatorname{Re}\left(Ae^{j\phi} e^{j\omega t}\right) = \frac{Ae^{j\phi}}{2} e^{j\omega t} + \frac{Ae^{-j\phi}}{2} e^{-j\omega t} \qquad (2.5)

복소수 $Ae^{j\phi}$ 하나가 진폭과 위상을 함께 담습니다. 회로이론에서는 이것을 페이저(phasor)라 부릅니다.

예제 2.5. 곱을 합으로 바꾸는 공식 (2.4)의 유도:

\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{4}(e^{j\alpha} + e^{-j\alpha})(e^{j\beta} + e^{-j\beta}) = \tfrac{1}{4}\left[e^{j(\alpha + \beta)} + e^{-j(\alpha + \beta)} + e^{j(\alpha - \beta)} + e^{-j(\alpha - \beta)}\right] = \tfrac{1}{2}\cos(\alpha + \beta) + \tfrac{1}{2}\cos(\alpha - \beta)

2.6 복소수 값을 갖는 함수의 미적분

$z(t) = u(t) + jv(t)$ ( $u$ , $v$ 실함수)의 미분과 적분은 실수부와 허수부에 따로 합니다.

z'(t) = u'(t) + jv'(t), \qquad \int_a^b z(t)\, dt = \int_a^b u(t)\, dt + j\int_a^b v(t)\, dt

선형성, 곱의 미분, 미적분의 기본정리, 치환적분, 부분적분이 모두 그대로 성립합니다. 정리 2.4와 기본정리를 합치면

\int_a^b e^{st}\, dt = \left[\frac{e^{st}}{s}\right]_a^b \quad (s \ne 0), \qquad \text{특히} \quad \int_a^b e^{j\omega t}\, dt = \frac{e^{j\omega b} - e^{j\omega a}}{j\omega} \quad (\omega \ne 0)

예제 2.6. $a > 0$ , $\omega$ 실수일 때

\int_0^\infty e^{-(a + j\omega)t}\, dt = \left[\frac{e^{-(a + j\omega)t}}{-(a + j\omega)}\right]_0^\infty = \frac{1}{a + j\omega}

입니다. 위끝에서 $|e^{-(a + j\omega)t}| = e^{-at}|e^{-j\omega t}| = e^{-at} \to 0$ 을 썼습니다. 복소지수의 크기는 실수부가 정하고, 허수부는 회전만 시킵니다. 이 계산이 가장 기본적인 푸리에 변환쌍이 됩니다(7장 7.2절).

예제 2.7.

\int_{-a}^{a} e^{-j\omega t}\, dt = \frac{e^{-j\omega a} - e^{j\omega a}}{-j\omega} = \frac{2}{\omega} \cdot \frac{e^{j\omega a} - e^{-j\omega a}}{2j} = \frac{2\sin\omega a}{\omega}

분자에 $e^{j\theta} - e^{-j\theta}$ 가 보이면 $2j\sin\theta$ , $e^{j\theta} + e^{-j\theta}$ 가 보이면 $2\cos\theta$ 로 바꿉니다. 푸리에 변환에서 가장 자주 하는 손동작입니다.

2.7 핵심 적분: 직교성의 씨앗

정의 2.8. 크로네커 델타(Kronecker delta)는 $\delta_{km} = 1$ ( $k = m$ ), $\delta_{km} = 0$ ( $k \ne m$ )입니다.

정리 2.9. $T > 0$ , $\omega_0 = 2\pi/T$ , 정수 $k$ 에 대해

\int_0^T e^{jk\omega_0 t}\, dt = \begin{cases} T & (k = 0) \\ 0 & (k \ne 0) \end{cases}

입니다. 따라서 정수 $k$ , $m$ 에 대해

\int_0^T e^{jk\omega_0 t} \left(e^{jm\omega_0 t}\right)^* dt = T\delta_{km}

입니다.

증명. $k = 0$ 이면 피적분함수가 1이므로 $T$ 입니다. $k \ne 0$ 이면 $\left[\frac{e^{jk\omega_0 t}}{jk\omega_0}\right]_0^T = \frac{e^{j2\pi k} - 1}{jk\omega_0} = 0$ 입니다( $\omega_0 T = 2\pi$ 이고 $e^{j2\pi k} = 1$ ). 둘째 식은 $e^{jk\omega_0 t}(e^{jm\omega_0 t})^* = e^{j(k - m)\omega_0 t}$ 에 첫째 식을 적용한 것입니다. $\blacksquare$

뜻은 단순합니다. $e^{jk\omega_0 t}$ 는 주기 $T$ 동안 원을 정확히 $k$ 바퀴 돕니다. 한 바퀴를 온전히 돈 화살표들을 다 더하면 모든 방향이 상쇄되어 0입니다. 돌지 않는 경우( $k = 0$ )만 살아남습니다. 적분 구간은 길이가 $T$ 이기만 하면 어디든 좋습니다(1장 정리 1.7(5)).

따름정리 2.10 (실수 형태). 양의 정수 $k$ , $m$ 에 대해

\int_0^T \cos k\omega_0 t\, \cos m\omega_0 t\, dt = \frac{T}{2}\delta_{km}, \qquad \int_0^T \sin k\omega_0 t\, \sin m\omega_0 t\, dt = \frac{T}{2}\delta_{km}, \qquad \int_0^T \sin k\omega_0 t\, \cos m\omega_0 t\, dt = 0

입니다.

증명. 곱을 합으로 바꾼 뒤 $\int_0^T \cos n\omega_0 t\, dt = T\delta_{n0}$ , $\int_0^T \sin n\omega_0 t\, dt = 0$ 을 씁니다(정리 2.9의 실수부와 허수부). 예를 들어 첫째는 $\frac{1}{2}\int_0^T [\cos(k - m)\omega_0 t + \cos(k + m)\omega_0 t]\, dt = \frac{T}{2}\delta_{km} + 0$ 입니다. $\blacksquare$

다음 장에서 이 적분이 내적이고, 위 정리는 “주파수가 다른 복소지수함수들은 서로 수직”이라는 말임을 보게 됩니다.

연습문제

문제 1 · 확인 문제

1.2. $\cos^2 3t$ 를 복소지수로 써서 $\int_0^{2\pi} \cos^2 3t\, dt$ 를 구합니다. 소수 셋째 자리까지 적습니다.

힌트 1

$\cos 3t = \frac{1}{2}(e^{j3t} + e^{-j3t})$ 를 제곱합니다.

힌트 2

$e^{\pm j6t}$ 는 $[0, 2\pi]$ 에서 정수 바퀴를 돕니다.

정답

3.142

풀이

$\cos^2 3t = \frac{1}{4}(e^{j3t} + e^{-j3t})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}e^{j6t} + \frac{1}{4}e^{-j6t}$ 입니다. $e^{\pm j6t}$ 는 $[0, 2\pi]$ 에서 정수 바퀴를 돌아 적분이 0이므로 답은 $\frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi \approx 3.142$ 입니다.

문제 2 · 확인 문제

1.3. $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ 를 $A\cos(\omega t + \phi)$ 꼴로 씁니다. $\phi$ 는 도 단위로 소수 둘째 자리까지 적습니다.

구할 값	답
$A$	[?]
$\phi$ (도)	[?] $^\circ$

힌트 1

정리 2.1에서 $\cos\phi = a/A$ , $\sin\phi = -b/A$ 입니다.

정답

5
-53.13

풀이

정리 2.1에서 $A = \sqrt{9 + 16} = 5$ , $\cos\phi = \frac{3}{5}$ , $\sin\phi = -\frac{4}{5}$ 이므로 $\phi = -\arctan\frac{4}{3} = -53.13^\circ$ 입니다. 답은 $5\cos(\omega t - 53.13^\circ)$ 입니다.

문제 3

1.4. $\dfrac{1}{1 + j}$ 의 크기와 편각, 그리고 $(1 + j)^8$ 을 구합니다. 크기는 소수 넷째 자리까지 적습니다.

구할 값	답
$\lvert 1/(1 + j) \rvert$	[?]
$\angle\, 1/(1 + j)$ (도)	[?] $^\circ$
$(1 + j)^8$	[?]

힌트 1

$1 + j = \sqrt{2}\, e^{j\pi/4}$ 로 씁니다.

정답

0.7071
-45
16

풀이

$1 + j = \sqrt{2}\, e^{j\pi/4}$ 이므로 $\frac{1}{1 + j} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-j\pi/4}$ 입니다. 크기 $0.7071$ , 편각 $-45^\circ$ 입니다. $(1 + j)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{j2\pi} = 16$ 입니다.

문제 4 · 확인 문제

1.5 (가). $\displaystyle\sum_{n=0}^{7} e^{j\pi n/4}$ 를 구합니다.

힌트 1

등비수열의 합 공식에서 $r = e^{j\pi/4}$ 이고 $r^8 = 1$ 입니다.

정답

풀이

$r = e^{j\pi/4}$ , $r^8 = e^{j2\pi} = 1$ 이므로 $\frac{1 - r^8}{1 - r} = 0$ 입니다. 원을 한 바퀴 도는 8개의 점의 합입니다.

문제 5

1.5 (나). $\displaystyle\sum_{n=0}^{7} e^{j\pi n/3}$ 을 구합니다. 허수부는 소수 넷째 자리까지 적습니다.

구할 값	답
실수부	[?]
허수부	[?]

힌트 1

$e^{j\pi n/3}$ 은 주기가 6입니다. 처음 6항의 합은 0입니다.

정답

1.5
0.8660

풀이

$r = e^{j\pi/3}$ 이고 $r^6 = 1$ 이므로 처음 6항의 합이 0입니다. 남는 것은 $r^6 + r^7 = 1 + e^{j\pi/3} = \frac{3}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다. 실수부 1.5, 허수부 $\approx 0.8660$ 입니다.

문제 6 · 확인 문제

$T = 1$ , $\omega_0 = 2\pi$ 일 때 $\displaystyle\int_0^1 e^{j3\omega_0 t}\left(e^{j5\omega_0 t}\right)^* dt$ 의 값은?

$0$
$1$
$\frac{1}{2}$
$e^{-j2\omega_0}$

힌트 1

정리 2.9의 둘째 식에서 $k = 3$ , $m = 5$ 입니다.

정답

풀이

$k \ne m$ 이므로 $T\delta_{km} = 0$ 입니다. 피적분함수 $e^{-j2\omega_0 t}$ 는 주기 동안 정확히 두 바퀴를 돕니다.

문제 7

오일러 공식의 지수법칙 $e^{j\alpha}e^{j\beta} = e^{j(\alpha + \beta)}$ 의 실수부와 허수부를 비교해 $\cos(\alpha + \beta)$ 와 $\sin(\alpha + \beta)$ 의 덧셈정리를 유도합니다.

풀이

좌변은 $(\cos\alpha + j\sin\alpha)(\cos\beta + j\sin\beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + j(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$ 입니다. 우변은 $\cos(\alpha + \beta) + j\sin(\alpha + \beta)$ 입니다. 실수부끼리, 허수부끼리 같으므로 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ , $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ 입니다.