준비. 삼각함수

푸리에 해석의 재료는 사인과 코사인입니다. 고등학교에서 삼각비와 삼각함수를 배웠지만, 이 과목에서는 각을 라디안으로 재고, 삼각함수를 '원 위를 도는 점의 그림자'로 봅니다. 이 준비 장은 그 관점과 덧셈정리, 주기, 진폭, 위상을 정리합니다.

푸리에 변환은 처음부터 끝까지 사인과 코사인으로 쓰여 있습니다. 이 단원은 그 둘을 아무것도 모르는 상태에서 정의하고, 뒤에서 쓰는 성질을 모두 증명합니다. 필요한 것은 피타고라스 정리(직각삼각형에서 $a^2 + b^2 = c^2$)와, 닮은 삼각형은 변의 비가 같다는 사실 둘뿐입니다.

0.1 각도와 라디안

각의 크기를 재는 단위로 도($^\circ$) 대신 라디안(radian)을 씁니다.

정의 0.1. 반지름이 $r$인 원에서, 길이가 $s$인 호가 중심에서 벌리는 각의 크기를

으로 정합니다. 반지름이 1인 원에서는 각의 크기가 곧 호의 길이다.

원의 둘레가 $2\pi r$ ($\pi = 3.14159\ldots$)이므로 한 바퀴는 $2\pi r / r = 2\pi$ 라디안입니다. 즉 $360^\circ = 2\pi$, $180^\circ = \pi$입니다.

바꾸는 법은 라디안 $=$ 도 $\times \dfrac{\pi}{180}$입니다. 1 라디안은 약 $57.3^\circ$입니다.

• 각에는 방향이 있습니다. 반시계 방향이 양, 시계 방향이 음입니다.
• $2\pi$보다 큰 각은 한 바퀴 넘게 돈 것입니다. $\theta$와 $\theta + 2\pi$는 같은 위치를 가리킵니다.
• 라디안을 쓰는 이유는 호의 길이가 $s = r\theta$, 부채꼴의 넓이가 $\frac{1}{2} r^2 \theta$로 깔끔해지고, 무엇보다 미분 공식 $(\sin\theta)' = \cos\theta$가 라디안일 때만 성립하기 때문입니다. 이 과목의 모든 각은 라디안입니다.

0.2 직각삼각형에서의 정의

정의 0.2. 직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각을 $\theta$라 합시다. 직각의 맞은편 변을 빗변($c$), $\theta$의 맞은편 변을 높이($a$), $\theta$에 붙어 있는 나머지 변을 밑변($b$)이라 할 때

로 정합니다. 각각 사인, 코사인, 탄젠트라 읽습니다.

왜 각도만으로 값이 정해지는가. 각 $\theta$가 같은 직각삼각형들은 크기가 달라도 모두 닮음입니다. 닮은 삼각형은 변의 비가 같으므로 $a/c$, $b/c$는 삼각형의 크기와 무관하고 $\theta$에만 달려 있습니다. $\sin\theta$와 $\cos\theta$는 길이가 아니라 비율이고 단위가 없습니다.

쓰는 법. 정의를 뒤집으면

다.

그림 0.1. 왼쪽: 직각삼각형의 세 변의 이름. 가운데와 오른쪽: 값을 정확히 구할 수 있는 두 삼각형.

길이 $c$인 비스듬한 선분의 가로 성분이 $c\cos\theta$, 세로 성분이 $c\sin\theta$입니다. 삼각함수를 쓰는 일의 대부분이 이 한 줄입니다.

예제 0.3 (정확한 값을 아는 각). (a) 두 변이 1인 직각이등변삼각형은 빗변이 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$이고 각은 $45^\circ = \pi/4$입니다. 따라서 $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$입니다.

(b) 한 변이 2인 정삼각형을 반으로 가르면 빗변 2, 짧은 변 1, 나머지 변 $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$인 직각삼각형이 되고 각은 $30^\circ$와 $60^\circ$입니다. 따라서

입니다.

예제 0.4. 길이 10 m인 사다리를 바닥과 $60^\circ$가 되게 벽에 세웠습니다. 닿는 높이는 $10\sin\frac{\pi}{3} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ m, 벽에서 사다리 발까지는 $10\cos\frac{\pi}{3} = 5$ m다.

0.3 단위원: 모든 각으로 넓히기

직각삼각형의 각은 $0$과 $\pi/2$ 사이뿐입니다. 진동을 다루려면 각이 계속 커지고 음수도 되어야 하므로 정의를 넓힙니다.

정의 0.5. 원점이 중심이고 반지름이 1인 원을 단위원(unit circle)이라 합니다. 점 $(1, 0)$에서 출발하여 단위원을 따라 반시계 방향으로 각 $\theta$만큼 간 점을 $P$라 할 때

로 정합니다. 즉 $\cos\theta$는 $P$의 $x$좌표(가로), $\sin\theta$는 $P$의 $y$좌표(세로)다. $\theta < 0$이면 시계 방향으로 갑니다.

$0 < \theta < \pi/2$일 때 그림 0.2의 삼각형은 빗변이 1이므로 밑변이 $\cos\theta$, 높이가 $\sin\theta$가 되어 정의 0.2와 일치합니다. 새 정의는 옛 정의를 포함하면서 모든 실수 $\theta$에서 뜻을 가집니다.

그림 0.2. 단위원. 굵은 선분이 $\cos\theta$(가로)와 $\sin\theta$(세로)다. 빗변이 1인 직각삼각형이 보입니다.

원 위의 네 점에서 바로 읽을 수 있는 값과 예제 0.3의 값을 모으면 다음 표가 됩니다. 이 표는 외울 가치가 있습니다.

부호. $P$가 어느 사분면에 있는지로 정해집니다. 오른쪽 반($x > 0$)에서 $\cos > 0$, 위쪽 반($y > 0$)에서 $\sin > 0$입니다.

예제 0.6. 표에 없는 각은 대칭으로 구합니다. $\theta = \frac{2\pi}{3}$ ($120^\circ$)의 점은 $\frac{\pi}{3}$의 점을 $y$축에 대해 뒤집은 것이므로 $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$입니다. $\theta = -\frac{\pi}{3}$의 점은 $\frac{\pi}{3}$의 점을 $x$축에 대해 뒤집은 것이므로 $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$입니다. $\theta = \frac{7\pi}{6}$은 $\frac{\pi}{6}$에서 반 바퀴 더 간 것이라 원점에 대해 반대편입니다. 그러므로 $\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$입니다.

0.4 기본 성질

정리 0.7. 모든 실수 $\theta$에 대해 다음이 성립합니다.

1. $-1 \le \cos\theta \le 1$, $\quad -1 \le \sin\theta \le 1$
2. $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ (여기서 $\cos^2\theta$는 $(\cos\theta)^2$을 뜻하는 표기입니다)
3. (주기성) $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$, $\quad \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$
4. (대칭) $\cos(-\theta) = \cos\theta$, $\quad \sin(-\theta) = -\sin\theta$
5. (반 바퀴) $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$, $\quad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$
6. (1/4 바퀴) $\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta$, $\quad \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta$
7. (여각) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$, $\quad \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$

증명. 모두 단위원 위의 점 $P = (\cos\theta, \sin\theta)$의 위치에서 나옵니다.

(1) 단위원 위의 점은 좌표가 $-1$과 $1$ 사입니다.

(2) $P$에서 원점까지의 거리가 1입니다. 피타고라스 정리로 $x^2 + y^2 = 1$입니다.

(3) 한 바퀴 더 돌면 같은 점입니다.

(4) $-\theta$의 점은 $\theta$의 점을 $x$축에 대해 뒤집은 것입니다. $x$좌표는 그대로, $y$좌표는 부호가 바뀝니다.

(5) 반 바퀴 더 돌면 원점에 대해 반대편 점 $(-x, -y)$입니다.

(6) 점 $(x, y)$를 원점 둘레로 반시계 방향 $90^\circ$ 돌리면 $(-y, x)$가 됩니다. $(1, 0) \to (0, 1)$, $(0, 1) \to (-1, 0)$으로 확인할 수 있습니다. $\theta + \frac{\pi}{2}$의 점은 $\theta$의 점을 그렇게 돌린 것이므로 $(\cos(\theta + \frac{\pi}{2}), \sin(\theta + \frac{\pi}{2})) = (-\sin\theta, \cos\theta)$입니다.

(7) (6)의 둘째 식에 $\theta$ 대신 $-\theta$를 넣으면 $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos(-\theta) = \cos\theta$입니다. 이 식에 다시 $\theta$ 대신 $\frac{\pi}{2} - \theta$를 넣으면 $\sin\theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$입니다. $\blacksquare$

(2)는 가장 자주 쓰는 식입니다. $\sin$과 $\cos$ 중 하나를 알면 다른 하나의 크기가 정해집니다. (4)는 $\cos$이 우함수, $\sin$이 기함수라는 말입니다(1장 1.1절). (6)은 사인과 코사인이 같은 모양이고 1/4 바퀴만큼 어긋나 있을 뿐이라는 말입니다.

예제 0.8. $\sin\theta = \frac{3}{5}$이고 $\theta$가 제1사분면의 각이면 $\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$에서 $\cos\theta = \frac{4}{5}$입니다. $\theta$가 제2사분면의 각이면 $\cos\theta = -\frac{4}{5}$입니다. (2)는 크기만 정하고 부호는 사분면이 정합니다.

0.5 그래프와 원운동

$\theta$를 가로축에 놓고 $\sin\theta$, $\cos\theta$의 값을 세로축에 그리면 물결 모양의 곡선이 됩니다.

그림 0.3. $\sin\theta$(실선)와 $\cos\theta$(파선)의 그래프.

그래프에서 읽을 것은 다음과 같습니다.

• 값은 $-1$과 $1$ 사이를 오갑니다. $2\pi$마다 같은 모양이 반복됩니다(주기(period) $2\pi$).
• $\sin\theta = 0$인 곳은 $\theta = k\pi$ ($k$는 정수), $\cos\theta = 0$인 곳은 $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$입니다.
• $\sin$은 원점에서 0으로 출발해 올라가고, $\cos$은 최댓값 1에서 출발합니다.
• 정리 0.7(6)에서 $\cos\theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$입니다. 코사인 그래프는 사인 그래프를 왼쪽으로 $\frac{\pi}{2}$ 옮긴 것입니다.

원운동의 그림자. 점 $P$가 단위원 위를 일정한 빠르기로 돈다고 합시다. 1초에 $\omega$ 라디안씩 돈다면 시각 $t$에서의 각은 $\theta = \omega t$이고 $P = (\cos\omega t, \sin\omega t)$입니다. 이 점을 옆에서 보면(가로 그림자) $\cos\omega t$, 위에서 보면(세로 그림자) $\sin\omega t$로 좌우 또는 상하로 왕복합니다. 사인파는 등속 원운동을 한 방향에서 본 것입니다. 용수철에 매단 추, 진자, 교류 전압, 소리의 압력이 모두 이 모양으로 변합니다.

2장 2.1절의 일반적인 사인파 $A\cos(\omega t + \phi)$는 이 그림을 세 가지로 바꾼 것입니다.

• 원의 반지름을 $A$로 바꿉니다. 값이 $-A$와 $A$ 사이를 오갑니다(진폭(amplitude)).
• 도는 빠르기를 $\omega$로 바꿉니다. 각이 $2\pi$ 늘어나는 데 걸리는 시간, 즉 주기는 $T = 2\pi/\omega$입니다. $\omega$가 크면 그래프가 가로로 촘촘해집니다.
• 출발 각을 $\phi$로 바꿉니다. $t = 0$에서 이미 각 $\phi$만큼 가 있습니다(위상(phase)). 그래프가 왼쪽으로 $\phi/\omega$만큼 옮겨집니다.

예제 0.9. $3\sin(4t)$는 진폭 3, 주기 $2\pi/4 = \pi/2$입니다. $\cos(2t - \frac{\pi}{2})$는 진폭 1, 주기 $\pi$이고, 정리 0.7(4), (7)에서 $\cos(2t - \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2t) = \sin 2t$입니다.

0.6 탄젠트와 역함수

정의 0.10. $\cos\theta \ne 0$일 때

로 정합니다.

이 값은 원점과 $P = (\cos\theta, \sin\theta)$를 잇는 직선의 기울기(세로 변화/가로 변화)다. $\cos\theta = 0$인 $\theta = \pm\frac{\pi}{2}, \ldots$에서는 직선이 수직이라 기울기가 정의되지 않습니다. $\tan 0 = 0$, $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$입니다. 반 바퀴 돌아도 같은 직선이므로 $\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$, 곧 주기가 $\pi$입니다.

거꾸로 기울기를 알 때 각을 구하는 함수가 필요합니다.

정의 0.11. 실수 $m$에 대해 $\arctan m$은 $\tan\theta = m$이고 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$인 각 $\theta$입니다.

$\arctan 0 = 0$, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$, $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$이고, $m \to \infty$이면 $\arctan m \to \frac{\pi}{2}$, $m \to -\infty$이면 $-\frac{\pi}{2}$로 갑니다. 이 과목에서는 위상을 구할 때 씁니다(예: $-\arctan(\omega/a)$). 계산기에서는 $\tan^{-1}$ 또는 atan입니다. 마찬가지로 $\arcsin$, $\arccos$은 $\sin$, $\cos$의 값에서 각을 구하는 함수입니다.

점의 방향각. 점 $(a, b)$가 원점에서 볼 때 어느 방향에 있는지, 즉 $a = r\cos\theta$, $b = r\sin\theta$ ($r = \sqrt{a^2 + b^2}$)인 각 $\theta$는

입니다. $\arctan$은 오른쪽 반평면의 각만 돌려주므로 $a < 0$이면 반 바퀴를 더해야 합니다. 프로그래밍 언어의 atan2(b, a)는 이 경우 구분을 알아서 해 줍니다. 2장 2.3절에서 복소수 $a + jb$의 편각이 바로 이 각입니다.

예제 0.12. 점 $(1, 1)$의 방향각은 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$입니다. 점 $(-1, -1)$은 $\arctan\frac{-1}{-1} = \frac{\pi}{4}$에 $\pi$를 더해 $\frac{5\pi}{4}$다(같은 방향을 $-\frac{3\pi}{4}$라 해도 됩니다). $\pi$를 더하지 않으면 정반대 방향을 답하게 됩니다.

0.7 덧셈정리

두 각을 더한 각의 사인과 코사인을 각각의 값으로 나타내는 공식입니다. 삼각함수의 계산 규칙은 거의 다 여기서 나옵니다.

정리 0.13 (덧셈정리).

증명. 1단계: $\cos(\alpha - \beta)$. 단위원 위에 $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$, $Q = (\cos\beta, \sin\beta)$를 잡습니다(그림 0.4 왼쪽). 두 점 사이 거리의 제곱은

다. 이제 그림 전체를 원점 둘레로 $-\beta$만큼 돌립니다(오른쪽). $Q$는 $(1, 0)$으로, $P$는 각 $\alpha - \beta$인 점 $P' = (\cos(\alpha - \beta), \sin(\alpha - \beta))$로 갑니다. 거리의 제곱은

다. 돌려도 거리는 변하지 않으므로 두 식이 같습니다. 따라서 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$입니다.

2단계: $\cos(\alpha + \beta)$. 1단계에서 $\beta$ 대신 $-\beta$를 넣고 $\cos(-\beta) = \cos\beta$, $\sin(-\beta) = -\sin\beta$를 씁니다.

3단계: $\sin(\alpha + \beta)$. 여각 공식(정리 0.7(7))으로 사인을 코사인으로 바꿉니다.

$\sin(\alpha - \beta)$는 다시 $\beta$ 대신 $-\beta$를 넣습니다. $\blacksquare$

그림 0.4. 덧셈정리의 증명. 전체를 $-\beta$만큼 돌려도 굵은 선분의 길이는 같습니다.

따름정리 0.14 (배각, 반각 공식).

증명. 첫 줄은 덧셈정리에서 $\alpha = \beta = \theta$로 둔 것입니다. $\cos 2\theta$의 나머지 두 꼴은 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 또는 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$를 넣은 것입니다. 둘째 줄은 그 두 꼴을 $\cos^2\theta$, $\sin^2\theta$에 대해 푼 것입니다. 마지막 식은 $\sin^2$의 식에서 $\theta$를 $\theta/2$로 바꾼 것입니다. $\blacksquare$

둘째 줄의 식들은 제곱을 없애는 데 씁니다. $\cos^2$이나 $\sin^2$을 적분할 때, 그리고 7장에서 삼각 펄스의 변환을 정리할 때 나옵니다.

예제 0.15. $\cos 15^\circ = \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659$입니다.

참고 0.16. 덧셈정리를 외우기 어렵다면 걱정하지 않아도 됩니다. 2장 2.4절의 오일러 공식 $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$를 배우면 지수법칙 $e^{j\alpha} e^{j\beta} = e^{j(\alpha + \beta)}$의 실수부와 허수부가 그대로 덧셈정리입니다. 삼각함수의 복잡한 공식들이 지수함수의 단순한 법칙으로 바뀐다는 것이 복소지수함수를 쓰는 이유이기도 합니다.

0.8 작은 각

각이 작을 때 $\sin\theta$는 $\theta$ 자신과 거의 같습니다. 1장의 정리 1.1($\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$)이 이 사실이고, 그 증명에 쓰는 그림이 그림 0.5다.

그림 0.5. 단위원에서 각 $h$에 대한 세 도형. 삼각형 $OAP$ $\subset$ 부채꼴 $OAP$ $\subset$ 삼각형 $OAT$.

• 삼각형 $OAP$는 밑변 $OA = 1$, 높이 $\sin h$입니다. 넓이는 $\frac{1}{2}\sin h$입니다.
• 부채꼴 $OAP$는 반지름 1, 각 $h$입니다. 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot h = \frac{1}{2}h$입니다. 원 전체의 넓이 $\pi$에 비율 $\frac{h}{2\pi}$를 곱한 것입니다.
• 삼각형 $OAT$는 밑변 1, 높이 $AT = \tan h$입니다. 기울기가 $\tan h$인 직선이 $x = 1$에서 갖는 높입니다. 넓이는 $\frac{1}{2}\tan h$입니다.

포함 관계에서 $\frac{1}{2}\sin h < \frac{1}{2}h < \frac{1}{2}\tan h$, 즉

다.

$h$가 작아지면 세 도형이 거의 겹치므로 세 값이 거의 같아집니다. 호의 길이 $h$와 그 양 끝을 잇는 현의 높이 $\sin h$가 구별되지 않을 만큼 호가 곧아지는 것입니다.

$\theta$가 작을 때 (라디안으로)

다. $\cos$의 근사는 반각 공식에서 나옵니다. $1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2} \approx 2\left(\frac{\theta}{2}\right)^2 = \frac{\theta^2}{2}$이기 때문입니다. 도($^\circ$)로 재면 이 근사가 성립하지 않습니다($\sin 1^\circ = 0.01745 \ne 1$). 라디안을 쓰는 가장 실질적인 이유입니다.

쓰이는 곳. 트랜스포머의 사인 위치 인코딩 $\sin(pos/10000^{2i/d})$, 교류 전기, 파동 방정식의 해가 모두 이 장의 사인·코사인으로 쓰입니다.

0.9 연습문제

2/3
-1/4
135
300

10
10

-12/13
12/5

5
0.02
50

0.9659

0.3827

2/3
-1/2