미분방정식 정의·정리

미지의 함수 $y(t)$와 그 도함수 $y', y'', \dots$ 사이의 관계식을 미분방정식(differential equation)이라 합니다. 등장하는 가장 높은 도함수의 차수를 방정식의 계수(order)라 합니다.

방정식을 만족하는 함수를 해(solution)라 합니다. 상수를 포함해 모든 해를 나타낸 식을 일반해(general solution), 시작값 $y(t_0) = y_0$를 함께 준 문제를 초기값 문제(initial value problem)라 합니다.

$y' = g(t)h(y)$ 꼴을 변수분리형(separable)이라 합니다.

$P' = rP\left(1 - \dfrac PK\right)$를 로지스틱 방정식(logistic equation)이라 합니다.

$f(t, y)$와 $\partial f/\partial y$가 $(t_0, y_0)$ 근처에서 연속이면, 초기값 문제 $y' = f(t, y)$, $y(t_0) = y_0$의 해가 $t_0$ 근처에서 존재하고 유일합니다.

$y' + p(t)y = q(t)$ 꼴을 일계 선형 방정식(first-order linear equation)이라 합니다. $q = 0$이면 동차(homogeneous), 아니면 비동차(nonhomogeneous)라 합니다.

$y' + p(t)y = q(t)$의 일반해는

선형 방정식의 일반해 = (동차 방정식의 일반해) + (특수해 하나).

$ar^2 + br + c = 0$을 특성방정식(characteristic equation)이라 합니다.

1. $D > 0$, 서로 다른 실근 $r_1, r_2$: $y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$.
2. $D = 0$, 중근 $r$: $y = (C_1 + C_2t)e^{rt}$.
3. $D < 0$, 복소근 $\alpha \pm i\beta$: $y = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)$.

입력 $F_0\cos\omega t$에 대한 정상 상태 응답은 $x_p = |X|\cos(\omega t - \phi)$이고

$A$($n \times n$)가 일차독립인 고유벡터 $\mathbf v_1, \dots, \mathbf v_n$(고윳값 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$)을 가지면

$e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \cdots$를 행렬 지수함수(matrix exponential)라 합니다. $\mathbf x' = A\mathbf x$, $\mathbf x(0) = \mathbf x_0$의 해는 $\mathbf x(t) = e^{At}\mathbf x_0$입니다.

$\mathbf x' = A\mathbf x$의 모든 해가 $\mathbf 0$으로 갈 필요충분조건은 모든 고윳값의 실수부가 음수인 것입니다.

자율계 $\mathbf x' = \mathbf f(\mathbf x)$($t$가 식에 직접 나오지 않음)에서 $\mathbf f(\mathbf x^*) = \mathbf 0$인 점을 평형점(equilibrium) 또는 고정점이라 합니다. 그곳에서 출발하면 영원히 머뭅니다.

평형점 근처에서 출발한 해가 계속 근처에 머물면 안정(stable), 게다가 $\mathbf x^*$로 다가가면 점근적으로 안정(asymptotically stable), 아니면 불안정(unstable)이라 합니다.

$J$의 모든 고윳값의 실수부가 음수이면 $\mathbf x^*$는 점근적으로 안정, 하나라도 양수이면 불안정입니다. 실수부가 0인 고윳값이 있으면(중심 등) 선형화로는 판정할 수 없습니다.

$V(\mathbf x^*) = 0$이고 근처에서 $V(\mathbf x) > 0$인 함수 $V$가

$\mathbf x' = -\nabla f(\mathbf x)$를 경사 흐름(gradient flow)이라 합니다. 경사하강법 $\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k - \eta\nabla f(\mathbf x_k)$는 이 방정식을 간격 $\eta$의 오일러 방법(7장)으로 푼 것입니다.

$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n)$, $t_{n+1} = t_n + h$.

전역 오차가 $O(h^p)$인 방법을 $p$차 방법이라 합니다.

오일러 방법은 1차입니다. 간격을 절반으로 하면 오차가 절반, 정확도 한 자리를 얻으려면 계산이 10배입니다. $p$차 방법은 간격을 절반으로 하면 오차가 $2^p$분의 1이 됩니다.

$t \ge 0$에서 정의된 $f(t)$의 라플라스 변환(Laplace transform)은

헤비사이드 계단함수(Heaviside step function) $u(t - a)$는 $t < a$에서 0, $t \ge a$에서 1입니다. 스위치를 시각 $a$에 켜는 것입니다.

$\mathcal L\{u(t - a)f(t - a)\} = e^{-as}F(s)$.

$H(s)$의 분모가 0이 되는 $s$를 극점(pole)이라 합니다.

모든 극점의 실수부가 음수이면 시스템은 안정합니다(충격 응답이 0으로 감). 극점이 허수축에 가까울수록 감쇠가 약하고, 허수부가 진동수를 줍니다.