1장. 미분방정식과 변수분리

통장의 돈은 잔액에 비례해 불어나고, 뜨거운 커피는 주변과의 온도 차에 비례해 식고, 방사성 원소는 남은 양에 비례해 붕괴합니다. 세 경우 모두 “변화율 = (현재 양의 함수)”라는 식으로 쓸 수 있고, 이런 식을 미분방정식이라 합니다. 이 장에서는 미분방정식이 무엇인지, 해가 무슨 뜻인지, 가장 기본적인 풀이법인 변수분리를 배웁니다.

1.1 미분방정식이란

정의 1.1. 미지의 함수 $y(t)$와 그 도함수 $y', y'', \dots$ 사이의 관계식을 미분방정식(differential equation)이라 합니다. 등장하는 가장 높은 도함수의 차수를 방정식의 계수(order)라 합니다.

변수가 하나($t$)뿐이면 상미분방정식(ordinary differential equation, ODE), 여럿이면 편미분방정식(partial differential equation, PDE)이라 합니다. 이 과목은 8장을 빼면 상미분방정식을 다룹니다.

예제 1.2.

• $y' = ky$: 일계. 지수 증가($k > 0$)·감쇠($k < 0$).
• $my'' = -ky$: 이계. 용수철에 매단 물체(2부).
• $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$: 편미분방정식. 열의 확산(8장).

정의 1.3. 방정식을 만족하는 함수를 해(solution)라 합니다. 상수를 포함해 모든 해를 나타낸 식을 일반해(general solution), 시작값 $y(t_0) = y_0$를 함께 준 문제를 초기값 문제(initial value problem)라 합니다.

예제 1.4. $y = Ce^{2t}$는 $y' = 2y$의 일반해입니다: $y' = 2Ce^{2t} = 2y$. 초기 조건 $y(0) = 3$이면 $C = 3$, 해는 $y = 3e^{2t}$입니다.

1.2 기울기장

$y' = f(t, y)$는 평면의 각 점 $(t, y)$에서 해 곡선이 가져야 할 기울기를 알려 줍니다. 각 점에 그 기울기의 짧은 선분을 그린 그림을 기울기장(slope field 또는 direction field)이라 합니다. 해는 이 선분들에 늘 접하며 흐르는 곡선입니다. 식으로 풀 수 없을 때도 해의 모양을 짐작할 수 있고, 7장의 수치 풀이는 이 선분을 따라 조금씩 걸어가는 방법입니다.

1.3 변수분리형

정의 1.5. $y' = g(t)h(y)$ 꼴을 변수분리형(separable)이라 합니다.

풀이. $h(y) \ne 0$이면 $\dfrac{dy}{h(y)} = g(t)\,dt$로 나누고 양변을 적분합니다.

($dy$, $dt$를 따로 떼는 것은 치환적분 $\int\frac{y'(t)}{h(y(t))}dt = \int\frac{dy}{h(y)}$를 짧게 쓴 기호입니다.)

예제 1.6 (지수 증가와 감쇠). $y' = ky$. $\int\frac{dy}y = \int k\,dt$에서 $\ln|y| = kt + C$, $y = Ae^{kt}$.

방사성 붕괴에서 양이 절반이 되는 시간(반감기)은 $e^{kT} = \frac12$에서 $T = \frac{\ln2}{|k|}$입니다.

예제 1.7 (뉴턴의 냉각 법칙). 온도 $T$, 주변 온도 $T_a$이면 $T' = -k(T - T_a)$. $u = T - T_a$로 두면 $u' = -ku$이므로 $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$. 90°C 커피가 20°C 방에서 10분 뒤 55°C가 되었다면 $35 = 70e^{-10k}$에서 $k = \frac{\ln2}{10}$, 곧 온도 차의 반감기가 10분입니다.

예제 1.8. $y' = ty^2$, $y(0) = 1$. $\int y^{-2}dy = \int t\,dt$에서 $-\frac1y = \frac{t^2}2 + C$, $y(0) = 1$에서 $C = -1$. 그러므로 $y = \dfrac{2}{2 - t^2}$. 이 해는 $t \to \sqrt2$에서 무한대로 갑니다. 방정식은 매끄러워도 해가 유한 시간에 폭발(blow-up)할 수 있습니다.

1.4 로지스틱 방정식

자원이 무한하면 인구는 $P' = rP$로 지수 증가하지만, 실제로는 환경이 감당할 수 있는 크기 $K$(수용력, carrying capacity)가 있습니다.

정의 1.9. $P' = rP\left(1 - \dfrac PK\right)$를 로지스틱 방정식(logistic equation)이라 합니다.

• $P$가 작으면 $P' \approx rP$: 지수 증가.
• $P$가 $K$에 가까우면 $P' \approx 0$: 멈춤.

부분분수 $\frac{1}{P(1 - P/K)} = \frac1P + \frac{1/K}{1 - P/K}$로 변수분리해 풀면

S자 곡선이고, $K = 1$, $r = 1$이면 머신러닝의 시그모이드 함수 $\sigma(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}$(확률과 통계 9장)가 바로 이 해입니다. 성장 속도가 가장 빠른 때는 $P = K/2$일 때입니다.

1.5 해의 존재와 유일성

정리 1.10 (피카르–린델뢰프, 개요). $f(t, y)$와 $\partial f/\partial y$가 $(t_0, y_0)$ 근처에서 연속이면, 초기값 문제 $y' = f(t, y)$, $y(t_0) = y_0$의 해가 $t_0$ 근처에서 존재하고 유일합니다.

유일성의 뜻: 서로 다른 해 곡선은 만나지 않습니다. 같은 점을 지나면 같은 해입니다.

예제 1.11 (유일성이 깨지는 경우). $y' = 3y^{2/3}$, $y(0) = 0$은 $y = 0$과 $y = t^3$이 모두 해입니다. $\partial f/\partial y = 2y^{-1/3}$이 $y = 0$에서 연속이 아니기 때문입니다.

1.6 이 장의 요약

• 미분방정식 = 함수와 도함수의 관계. 계수, 일반해, 초기값 문제.
• 기울기장: 해 곡선은 선분에 접하며 흐릅니다.
• 변수분리: $\int dy/h(y) = \int g(t)\,dt$. 지수 증가·감쇠, 냉각, 로지스틱.
• 조건이 좋으면 해가 존재하고 유일하지만, 유한 시간에 폭발할 수는 있습니다.

쓰이는 곳. 방사성 연대 측정, 약물의 체내 농도(약동학), 전염병 모형(SIR 모형은 로지스틱의 연립판), RC 회로의 충전, 인구·시장 성장 모형, 머신러닝의 시그모이드와 학습 곡선, 스케일링 법칙의 포화 곡선 맞춤이 이 장의 방정식입니다.

문제

4

11460

8.1548

125