3장. 이계 선형 방정식과 진동

요약

용수철–질량 계, 상수계수 동차 방정식, 특성방정식의 세 경우, 단순조화운동, 감쇠 진동(부족·임계·과감쇠), 해의 중첩

용수철에 매단 추, 진자, 기타 줄, 전기 회로의 전류, 건물의 흔들림은 모두 “제자리로 돌아오려는 힘”과 “마찰”이 있는 진동입니다. 뉴턴의 제2법칙 $F = ma$ 에서 가속도가 위치의 2계 도함수이므로, 이런 운동은 이계 미분방정식으로 쓰입니다. 이 장에서는 상수계수 이계 선형 방정식을 특성방정식 하나로 완전히 푸는 방법을 배우고, 감쇠의 세 가지 경우를 구별합니다.

3.1 용수철–질량 계

질량 $m$ 인 물체가 용수철(탄성 계수 $k$ )에 매달려 있고, 속도에 비례하는 마찰(감쇠 계수 $c$ )을 받습니다. 평형 위치에서 벗어난 거리를 $x(t)$ 라 하면

mx'' = \underbrace{-kx}_{\text{복원력(훅의 법칙)}}\;\underbrace{-\,cx'}_{\text{마찰}}, \qquad \text{곧} \quad mx'' + cx' + kx = 0.

해를 정하려면 처음 위치 $x(0)$ 와 처음 속도 $x'(0)$ , 두 가지 조건이 필요합니다. 이계 방정식의 일반해에는 상수가 두 개 있습니다.

3.2 특성방정식

$ay'' + by' + cy = 0$ 에 $y = e^{rt}$ 를 넣으면 $e^{rt}(ar^2 + br + c) = 0$ 이므로

정의 3.1. $ar^2 + br + c = 0$ 을 특성방정식(characteristic equation)이라 합니다.

그 근 $r$ 마다 $e^{rt}$ 가 해이고, 선형이므로 해의 일차결합도 해입니다(중첩 원리, superposition). 판별식 $D = b^2 - 4ac$ 에 따라 세 경우가 있습니다.

정리 3.2.

$D > 0$ , 서로 다른 실근 $r_1, r_2$ : $y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$ .
$D = 0$ , 중근 $r$ : $y = (C_1 + C_2t)e^{rt}$ .
$D < 0$ , 복소근 $\alpha \pm i\beta$ : $y = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)$ .

경우 3은 오일러 공식 $e^{(\alpha + i\beta)t} = e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t)$ (푸리에 해석 2장)에서 실수부와 허수부가 각각 해라는 사실에서 나옵니다. 경우 2에서 $te^{rt}$ 가 해라는 것은 직접 넣어 확인할 수 있습니다(문제 3.5).

예제 3.3. $y'' - 5y' + 6y = 0$ : $r^2 - 5r + 6 = 0$ , $r = 2, 3$ . $y = C_1e^{2t} + C_2e^{3t}$ .

예제 3.4. $y'' + 4y' + 13y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ : $r = -2 \pm 3i$ . $y = e^{-2t}(C_1\cos3t + C_2\sin3t)$ . $y(0) = C_1 = 1$ , $y'(0) = -2C_1 + 3C_2 = 0$ 에서 $C_2 = \frac23$ .

3.3 단순조화운동

마찰이 없으면( $c = 0$ ) $mx'' + kx = 0$ , 특성근 $r = \pm i\omega_0$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ .

x(t) = C_1\cos\omega_0t + C_2\sin\omega_0t = A\cos(\omega_0t - \phi).

$\omega_0$ 를 고유 진동수(natural frequency, 각진동수), 주기는 $T = 2\pi/\omega_0$ 입니다. 진폭 $A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}$ 은 초기 조건으로 정해지지만, 주기는 진폭과 상관없습니다. 질량이 크면 느리고, 용수철이 단단하면 빠릅니다.

예제 3.5. $m = 2$ kg, $k = 50$ N/m이면 $\omega_0 = 5$ rad/s, 주기 $2\pi/5 \approx 1.257$ 초입니다.

3.4 감쇠 진동

$mx'' + cx' + kx = 0$ 의 판별식 $c^2 - 4mk$ 의 부호로 세 경우가 갈립니다. 감쇠비(damping ratio) $\zeta = \dfrac{c}{2\sqrt{mk}}$ 로 쓰면 깔끔합니다.

경우	조건	움직임
부족감쇠(underdamped)	$\zeta < 1$	진폭이 $e^{-ct/2m}$ 로 줄며 진동
임계감쇠(critically damped)	$\zeta = 1$	진동 없이 가장 빠르게 평형으로
과감쇠(overdamped)	$\zeta > 1$	진동 없이 천천히 평형으로

부족감쇠에서 실제 진동수는 $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$ 로, 고유 진동수보다 조금 느립니다.

공학적 의미: 자동차 서스펜션과 문 닫힘 장치는 임계감쇠 근처로 설계합니다. 덜 감쇠하면 출렁이고, 더 감쇠하면 굼뜹니다. 제어 시스템에서 “오버슈트”는 부족감쇠의 흔적입니다.

예제 3.6. $x'' + 2x' + 5x = 0$ : $\zeta = \frac{2}{2\sqrt5} \approx 0.447$ , 부족감쇠. 근 $-1 \pm 2i$ 이므로 $x = e^{-t}(C_1\cos2t + C_2\sin2t)$ , 진폭이 $e^{-t}$ 로 줄며 각진동수 2로 진동합니다.

3.5 이 장의 요약

$ay'' + by' + cy = 0$ → 특성방정식 $ar^2 + br + c = 0$ .
실근 두 개 / 중근 / 복소근 → 지수 / $te^{rt}$ / 감쇠 진동.
고유 진동수 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ . 감쇠비 $\zeta$ 로 부족·임계·과감쇠를 구별.

쓰이는 곳. 기계 진동과 내진 설계, RLC 회로(인덕터가 질량, 축전기가 용수철, 저항이 마찰 역할), 분자 진동과 양자역학의 조화 진동자, 제어 시스템의 2차 응답(오버슈트, 정착 시간), 확률적 최적화의 모멘텀 방법(감쇠 진동자의 이산판으로 볼 수 있고, 최적의 $\beta$ 는 임계감쇠에 해당)이 이 장의 방정식입니다.

문제

3.1 [계산] · 확인 문제

$y'' - y' - 6y = 0$ 의 특성근을 작은 것부터 씁니다.

근	값
작은 근	[?]
큰 근	[?]

정답

-2
3

풀이

$r^2 - r - 6 = (r - 3)(r + 2) = 0$ 입니다.

3.2 [계산] · 확인 문제

$y'' + 9y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = 3$ 의 해에서 $y(\pi/6)$ 은?

정답

풀이

$y = 2\cos3t + \sin3t$ 이므로 $y(\pi/6) = 2\cos\frac\pi2 + \sin\frac\pi2 = 1$ 입니다.

3.3 [계산] · 확인 문제

$m = 1$ , $k = 16$ 인 용수철–질량 계가 임계감쇠가 되는 감쇠 계수 $c$ 는?

정답

풀이

$c^2 = 4mk = 64$ 이므로 $c = 8$ 입니다.

3.4 [계산] · 확인 문제

$x'' + 2x' + 10x = 0$ 인 부족감쇠 진동의 주기(진동의 한 주기 시간)는? (소수 넷째 자리까지)

정답

2.0944

풀이

근 $-1 \pm 3i$ 이므로 진동의 각진동수 3, 주기 $2\pi/3 \approx 2.0944$ 입니다.

3.5 [증명]

특성방정식 $ar^2 + br + c = 0$ 이 중근 $r_0$ 를 가지면 $te^{r_0t}$ 도 해임을 보입니다.

풀이

중근이면 $r_0 = -b/(2a)$ , 곧 $2ar_0 + b = 0$ 이고 $ar_0^2 + br_0 + c = 0$ 입니다. $y = te^{r_0t}$ 에서 $y' = (1 + r_0t)e^{r_0t}$ , $y'' = (2r_0 + r_0^2t)e^{r_0t}$ 이므로 $ay'' + by' + cy = e^{r_0t}[t(ar_0^2 + br_0 + c) + (2ar_0 + b)] = 0$ 입니다.