2장. 일계 선형 방정식

1장의 변수분리는 강력하지만, $y' + 2y = \sin t$처럼 외부에서 힘이 들어오는 방정식은 변수를 나눌 수 없습니다. 이 장에서는 이런 일계 선형 방정식을 언제나 풀 수 있는 방법인 적분인자를 배웁니다. 그리고 해가 “스스로의 감쇠(과도 응답)”와 “외부 입력을 따라가는 부분(정상 상태)”의 합으로 나뉜다는, 선형 시스템 전체를 꿰뚫는 사실을 처음 만납니다.

2.1 일계 선형 방정식

정의 2.1. $y' + p(t)y = q(t)$ 꼴을 일계 선형 방정식(first-order linear equation)이라 합니다. $q = 0$이면 동차(homogeneous), 아니면 비동차(nonhomogeneous)라 합니다.

“선형”은 $y$와 $y'$가 일차로만(제곱, 곱, $\sin y$ 없이) 나온다는 뜻입니다. $q(t)$를 입력(input) 또는 강제항(forcing term)이라 부릅니다.

2.2 적분인자

아이디어. 양변에 $\mu(t)$를 곱해 왼쪽이 곱의 미분 $(\mu y)'$이 되게 만듭니다. $(\mu y)' = \mu y' + \mu'y$이므로 $\mu' = p\mu$이면 됩니다. 이 변수분리형을 풀면

$\mu$를 적분인자(integrating factor)라 합니다.

정리 2.2. $y' + p(t)y = q(t)$의 일반해는

증명. 양변에 $\mu$를 곱하면 $(\mu y)' = \mu q$. 적분하면 $\mu y = \int\mu q\,dt + C$. □

예제 2.3. $y' + 2y = 6$, $y(0) = 0$. $\mu = e^{2t}$이므로 $(e^{2t}y)' = 6e^{2t}$, $e^{2t}y = 3e^{2t} + C$, $y = 3 + Ce^{-2t}$. $y(0) = 0$에서 $C = -3$: $y = 3(1 - e^{-2t})$. 0에서 출발해 3으로 다가갑니다.

예제 2.4. $ty' + 2y = t^2$($t > 0$). 먼저 $y' + \frac2ty = t$로 나눕니다. $\mu = e^{2\ln t} = t^2$이므로 $(t^2y)' = t^3$, $t^2y = \frac{t^4}4 + C$, $y = \frac{t^2}4 + \frac{C}{t^2}$.

2.3 해의 구조

예제 2.3의 해 $y = 3 + Ce^{-2t}$를 보면

• $Ce^{-2t}$: 동차 방정식 $y' + 2y = 0$의 일반해 $y_h$.
• $3$: 비동차 방정식을 만족하는 해 하나, 특수해(particular solution) $y_p$.

정리 2.5. 선형 방정식의 일반해 = (동차 방정식의 일반해) + (특수해 하나).

증명. $y$와 $y_p$가 모두 비동차 방정식의 해이면, 차 $y - y_p$는 $(y - y_p)' + p(y - y_p) = q - q = 0$을 만족하므로 동차해입니다. □

선형대수의 “$A\mathbf x = \mathbf b$의 해 = ($A\mathbf x = \mathbf 0$의 해) + 특수해 하나”와 정확히 같은 구조입니다. 미분 연산 $L[y] = y' + py$가 선형 사상이기 때문입니다. 이 구조는 3–5장에서 계속 쓰입니다.

2.4 RC 회로와 시간 상수

저항 $R$과 축전기 $C$를 전압 $V$에 연결하면, 축전기 전압 $v(t)$는 키르히호프 법칙에 따라

예제 2.6. $V$가 일정하고 $v(0) = 0$이면 예제 2.3과 같은 방식으로 $v(t) = V(1 - e^{-t/RC})$. $\tau = RC$를 시간 상수(time constant)라 합니다.

• $t = \tau$에서 $v = V(1 - e^{-1}) \approx 0.632V$.
• $t = 5\tau$에서 99% 이상 충전. 공학에서는 “$5\tau$면 끝났다”고 봅니다.

$R = 10\,\mathrm{k\Omega}$, $C = 100\,\mu\mathrm F$이면 $\tau = 10^4\cdot10^{-4} = 1$초입니다.

2.5 과도 응답과 정상 상태

예제 2.7. $y' + y = \cos t$. $\mu = e^t$, $\int e^t\cos t\,dt = \frac{e^t}2(\cos t + \sin t)$이므로

• $Ce^{-t}$: 초기 조건에 따라 다르지만 시간이 지나면 사라짐. 과도 응답(transient response).
• $\frac12(\cos t + \sin t) = \frac{1}{\sqrt2}\cos(t - \frac\pi4)$: 입력과 같은 진동수로 진동하지만 진폭은 $\frac1{\sqrt2}$배, 위상은 $\frac\pi4$ 늦음. 정상 상태 응답(steady-state response).

$p > 0$인 안정한 선형 시스템은 결국 처음 상태를 잊고 입력만 따라갑니다. 진동수에 따라 진폭과 위상이 어떻게 바뀌는지를 정리한 것이 주파수 응답(frequency response)이고, 푸리에 해석 10장(LTI 시스템)과 저역통과 필터(RC 회로가 그 예)가 이 이야기를 이어 갑니다.

2.6 혼합 문제

예제 2.8. 100 L 탱크에 소금 10 kg이 녹아 있습니다. 소금 0.2 kg/L인 물이 분당 5 L 들어오고, 잘 섞인 물이 분당 5 L 나갑니다. 소금 양 $x(t)$는

평형은 $x = 20$ kg(농도 0.2 kg/L). 해는 $x = 20 - 10e^{-t/20}$이고, 시간 상수는 20분입니다.

2.7 이 장의 요약

• $y' + py = q$: 적분인자 $\mu = e^{\int p}$로 $(\mu y)' = \mu q$.
• 일반해 = 동차해 + 특수해(선형성).
• RC 회로의 시간 상수 $\tau = RC$, $5\tau$면 거의 평형.
• 안정한 시스템: 과도 응답은 사라지고 정상 상태가 남습니다.

쓰이는 곳. 전자회로(RC·RL 회로, 필터), 열 전달과 온도 제어, 약물 주입과 농도, 화학 반응 속도, 제어공학의 1차 시스템, 머신러닝의 지수 이동 평균(EMA는 이 방정식의 이산판, 최적화 과목 5장에서 모멘텀과 Adam이 쓰는 $\beta$)이 이 장의 방정식입니다.

문제

4

3.625

0.1

17.7687