9장. 적분법

미분은 규칙만 따르면 언제나 계산되지만, 적분(원시함수 찾기)은 그렇지 않습니다. 이 장의 기법들은 미분 규칙을 거꾸로 읽어 얻은 것입니다. 치환적분은 연쇄법칙의, 부분적분은 곱의 미분법의 거꾸로입니다. 끝없는 구간의 적분(이상적분)은 확률과 물리에서 매우 자주 나옵니다.

9.1 치환적분

정리 9.1 (치환적분). $u = g(x)$이면

증명. $F' = f$이면 연쇄법칙으로 $\frac{d}{dx}F(g(x)) = f(g(x))g'(x)$입니다. □

라이프니츠 기호로 $du = g'(x)\,dx$라 쓰면 기계적으로 바꿀 수 있습니다. 정적분이면 끝도 함께 바꿉니다.

예제 9.2. $\int 2x\cos(x^2)\,dx$: $u = x^2$, $du = 2x\,dx$이므로 $\int\cos u\,du = \sin(x^2) + C$.

예제 9.3. $\int_0^1 xe^{-x^2}\,dx$: $u = -x^2$, $du = -2x\,dx$, 끝은 $0 \to 0$, $1 \to -1$이므로 $-\frac12\int_0^{-1}e^u\,du = \frac12(1 - e^{-1})$.

예제 9.4. $\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}dx$: $u = \cos x$이므로 $-\int\frac{du}u = -\ln|\cos x| + C$.

어떤 부분의 도함수가 (상수배를 빼고) 함께 곱해져 있으면 그 부분을 $u$로 둡니다.

9.2 부분적분

정리 9.5 (부분적분). $\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$, 곧 $\displaystyle\int f g' \,dx = fg - \int f' g\,dx$.

증명. $(fg)' = f'g + fg'$의 양변을 적분합니다. □

미분하면 간단해지는 것을 $u$, 적분하기 쉬운 것을 $dv$로 둡니다. 흔히 “로그 > 역삼각 > 대수(다항) > 삼각 > 지수” 순서로 $u$를 고릅니다.

예제 9.6. $\int xe^x\,dx$: $u = x$, $dv = e^x dx$이면 $xe^x - \int e^x dx = (x - 1)e^x + C$.

예제 9.7. $\int\ln x\,dx$: $u = \ln x$, $dv = dx$이면 $x\ln x - \int x\cdot\frac1x dx = x\ln x - x + C$.

예제 9.8 (되돌아오는 경우). $I = \int e^x\sin x\,dx$. 부분적분을 두 번 하면 $I = -e^x\cos x + e^x\sin x - I$이므로 $I = \frac12e^x(\sin x - \cos x) + C$.

9.3 삼각함수의 적분

배각 공식 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}2$, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}2$로 차수를 낮춥니다.

예제 9.9. $\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \int_0^\pi\frac{1 - \cos 2x}2dx = \frac\pi2$.

$\sin$이나 $\cos$ 가운데 하나가 홀수 제곱이면 하나를 떼어 $du$로 쓰고 나머지를 $\sin^2 + \cos^2 = 1$로 바꿉니다: $\int\sin^3 x\,dx = \int(1 - \cos^2 x)\sin x\,dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}3 + C$.

삼각치환. $\sqrt{a^2 - x^2}$가 있으면 $x = a\sin\theta$로 두면 근호가 $a\cos\theta$가 됩니다. 예: $\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \frac\pi4$ (사분원의 넓이).

9.4 부분분수

유리함수 $\frac{p(x)}{q(x)}$는 분모를 인수분해해 간단한 분수의 합으로 쪼갭니다.

예제 9.10. $\displaystyle\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$. 양변에 $(x-1)(x+1)$을 곱해 $1 = A(x + 1) + B(x - 1)$, $x = 1$을 넣으면 $A = \frac12$, $x = -1$이면 $B = -\frac12$. 그러므로

분자의 차수가 분모 이상이면 먼저 나눗셈을 합니다.

9.5 이상적분

구간이 끝없거나 함수가 끝없이 커지는 경우의 적분은 극한으로 정의합니다.

정의 9.11. $\displaystyle\int_a^\infty f\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. 극한이 있으면 수렴(convergence), 없으면 발산(divergence)합니다. $f$가 $x = a$ 근처에서 끝없이 커지면 $\displaystyle\int_a^b f\,dx = \lim_{c\to a^+}\int_c^b f\,dx$로 정의합니다.

정리 9.12 ($p$-적분). $\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$는 $p > 1$이면 $\frac{1}{p - 1}$로 수렴하고, $p \le 1$이면 발산합니다. $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}$는 $p < 1$이면 $\frac1{1-p}$로 수렴하고 $p \ge 1$이면 발산합니다.

증명 ($p = 1$). $\int_1^b\frac{dx}x = \ln b \to \infty$. □

예제 9.13. $\int_0^\infty e^{-x}dx = \lim_{b\to\infty}(1 - e^{-b}) = 1$. 가우스 적분 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt\pi$는 원시함수를 초등함수로 쓸 수 없지만 값은 알려져 있습니다(이중적분과 극좌표를 써서 구합니다).

쓰이는 곳. 기댓값과 분산 계산(부분적분), 확률분포의 정규화 상수(이상적분, 가우스 적분), 물리의 퍼텐셜 계산이 이 장의 기법을 씁니다.

9.6 이 장의 요약

문제

78
1
1
π/4

0.2027

1/2

1

2,3