4장. 미분법

3장에서는 정의로 기본 함수를 미분했습니다. 이 장의 규칙들(곱, 몫, 연쇄법칙)을 쓰면 기본 함수를 더하고, 곱하고, 나누고, 합성해 만든 모든 함수를 극한 없이 미분할 수 있습니다. 특히 연쇄법칙은 신경망 학습(역전파)의 핵심이므로, 고등학교에서 배웠더라도 꼭 다시 봅니다.

4.1 선형성

정리 4.1. $(af + bg)' = af' + bg'$ .

극한 법칙(1장)에서 바로 나옵니다. 그래서 다항식은 항마다 미분합니다: $(3x^4 - 2x + 7)' = 12x^3 - 2$ .

4.2 곱과 몫

정리 4.2 (곱의 미분법). $(fg)' = f'g + fg'$ .

증명. 가운데 항 $f(x+h)g(x)$ 를 빼고 더하면

\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = f(x+h)\frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x)\frac{f(x+h) - f(x)}{h}

이고, $f$ 가 연속이므로(정리 3.6) $f(x+h) \to f(x)$ 입니다. □

정리 4.3 (몫의 미분법). $\left(\dfrac fg\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ ( $g \ne 0$ ).

예제 4.4. $(x^2 e^x)' = 2xe^x + x^2e^x$ . $(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ .

4.3 연쇄법칙

정리 4.5 (연쇄법칙). $y = f(u)$ , $u = g(x)$ 이면

(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\,g'(x), \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.

증명 개요. $\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)}\cdot\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$ 로 쓰고 $h \to 0$ 이면 첫째 인수는 $f'(g(x))$ 로, 둘째는 $g'(x)$ 로 갑니다. ( $g(x+h) = g(x)$ 가 되는 $h$ 가 있을 때는 따로 다룹니다.) □

“바깥 함수를 미분하고, 안쪽 함수의 도함수를 곱한다”고 기억합니다.

예제 4.6.

$\left((3x^2 + 1)^5\right)' = 5(3x^2 + 1)^4\cdot 6x$
$(\sin x^2)' = \cos(x^2)\cdot 2x$
$(e^{-x^2/2})' = -xe^{-x^2/2}$
$(\sin^3 x)' = 3\sin^2 x\cos x$

4.4 음함수 미분

$x^2 + y^2 = 25$ 처럼 $y$ 가 $x$ 의 식으로 풀려 있지 않아도, $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 양변을 미분할 수 있습니다.

예제 4.7. $x^2 + y^2 = 25$ 를 $x$ 로 미분하면 $2x + 2y\,y' = 0$ 이므로 $y' = -x/y$ 입니다. 점 $(3, 4)$ 에서 접선의 기울기는 $-3/4$ 입니다.

4.5 역함수와 로그의 미분

정리 4.8 (역함수의 미분). $f$ 가 미분 가능하고 $f'(x) \ne 0$ 이면 $(f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(x)}$ ( $y = f(x)$ ).

증명. $f(f^{-1}(y)) = y$ 를 연쇄법칙으로 미분하면 $f'(f^{-1}(y))\,(f^{-1})'(y) = 1$ 입니다. □

정리 4.9. $(\ln x)' = \dfrac1x$ ( $x > 0$ ). 더 일반적으로 $(\ln|x|)' = \dfrac1x$ ( $x \ne 0$ ).

증명. $y = \ln x$ 이면 $e^y = x$ 입니다. 양변을 미분하면 $e^y y' = 1$ , 곧 $y' = 1/e^y = 1/x$ 입니다. □

정리 4.10 (실수 지수). $(x^r)' = rx^{r-1}$ ( $x > 0$ , $r$ 은 실수).

증명. $x^r = e^{r\ln x}$ 이므로 연쇄법칙으로 $e^{r\ln x}\cdot\frac rx = rx^{r-1}$ 입니다. □

로그 미분법. 곱과 거듭제곱이 복잡하면 로그를 취한 뒤 미분합니다.

예제 4.11. $y = x^x$ ( $x > 0$ ). $\ln y = x\ln x$ 를 미분하면 $y'/y = \ln x + 1$ 이므로 $y' = x^x(\ln x + 1)$ 입니다.

정리 4.12 (역삼각함수). $(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$ .

증명 ( $\arctan$ ). $y = \arctan x$ 이면 $\tan y = x$ 이고 미분하면 $\sec^2 y\cdot y' = 1$ , $y' = \cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$ 입니다. □

4.6 관련 변화율

시간에 따라 함께 변하는 양들의 관계식을 $t$ 로 미분하면 변화율 사이의 관계가 나옵니다.

예제 4.13. 둥근 풍선의 반지름이 2 cm/s로 커질 때, 반지름이 5 cm인 순간 부피의 증가율은? $V = \frac43\pi r^3$ 을 $t$ 로 미분하면 $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt} = 4\pi\cdot25\cdot2 = 200\pi$ cm³/s입니다.

예제 4.14. 길이 10 m인 사다리가 벽에 기대 있고, 아래 끝이 1 m/s로 벽에서 멀어집니다. 아래 끝이 벽에서 6 m일 때 위 끝이 내려오는 속도는? $x^2 + y^2 = 100$ 을 미분하면 $2x\dot x + 2y\dot y = 0$ 입니다. $x = 6$ 이면 $y = 8$ 이므로 $\dot y = -\frac{6\cdot1}{8} = -0.75$ m/s입니다.

쓰이는 곳. 신경망 학습의 역전파(backpropagation)는 연쇄법칙을 층마다 되풀이하는 것입니다. 자동 미분(PyTorch, JAX)도 이 장의 규칙을 컴퓨터가 기계적으로 적용합니다. 로그 미분법은 확률모델의 로그 가능도를 미분할 때 매번 씁니다.

4.7 이 장의 요약

규칙	식
곱	$(fg)' = f'g + fg'$
몫	$(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$
연쇄	$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$
역함수	$(f^{-1})' = 1/f'$
로그	$(\ln x)' = 1/x$

문제

4.1 [계산] · 확인 문제

$x = 0$ 에서의 미분계수를 씁니다.

함수	미분계수
$(2x + 1)^5$	[?]
$x e^{3x}$	[?]
$\dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$	[?]
$\sin(3x)\cos(x)$	[?]

정답

풀이

$5(2x+1)^4\cdot2 = 10$ .
$e^{3x} + 3xe^{3x} = 1$ .
$\frac{(x^2 + 1) - (x + 1)2x}{(x^2+1)^2} = 1$ .
$3\cos 3x\cos x - \sin 3x\sin x = 3$ .

4.2 [계산] · 확인 문제

$f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 일 때 $f'(1)$ 은?

정답

풀이

$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ 이므로 $f'(1) = 1$ 입니다.

4.3 [계산] · 확인 문제

곡선 $x^3 + y^3 = 9$ 위의 점 $(1, 2)$ 에서 접선의 기울기는?

정답

-1/4

풀이

$3x^2 + 3y^2y' = 0$ 이므로 $y' = -x^2/y^2 = -1/4$ 입니다.

4.4 [계산]

$y = x^x$ 일 때 $x = e$ 에서의 미분계수를 $e$ 의 거듭제곱 꼴로 쓰면 $ke^e$ 입니다. $k$ 는?

정답

풀이

$y' = x^x(\ln x + 1)$ 이므로 $x = e$ 에서 $e^e(1 + 1) = 2e^e$ 입니다.

4.5 [계산]

원뿔 모양 그릇(꼭짓점이 아래, 높이와 윗면 반지름이 같음)에 물을 초당 $9\pi$ cm³씩 붓습니다. 물의 깊이가 3 cm일 때 깊이가 올라가는 속도는? (cm/s)

힌트 1

반지름 = 깊이이므로 $V = \frac13\pi h^3$ 입니다.

정답

풀이

$V = \frac13\pi h^3$ 에서 $\frac{dV}{dt} = \pi h^2\frac{dh}{dt}$ 이므로 $9\pi = 9\pi\frac{dh}{dt}$ , $\frac{dh}{dt} = 1$ cm/s입니다.

4.6 [증명]

곱의 미분법과 $(1/g)' = -g'/g^2$ 을 써서 몫의 미분법을 유도합니다. 그리고 $(1/g)' = -g'/g^2$ 은 연쇄법칙으로 보입니다.

풀이

$1/g = u^{-1}$ ( $u = g$ )로 보면 연쇄법칙으로 $(1/g)' = -u^{-2}u' = -g'/g^2$ 입니다. 그러면 $(f/g)' = (f\cdot\frac1g)' = f'\frac1g + f\cdot\left(-\frac{g'}{g^2}\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ 입니다.