11장. 수열과 급수

요약

수열의 극한, 단조수렴 정리, 급수와 부분합, 등비급수, 발산 판정, 적분 판정과 p-급수, 비교·비 판정, 교대급수와 절대수렴

무한히 많은 수를 더하면 어떻게 될까요? $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$ 는 2가 되지만, $1 + \frac12 + \frac13 + \cdots$ 는 끝없이 커집니다. 항이 0으로 간다는 것만으로는 부족합니다. 이 장에서는 무한한 합(급수)이 언제 수렴하는지 판정하는 방법을 다룹니다. 12장의 테일러 급수와 푸리에 해석의 푸리에 급수가 이 위에 서 있습니다.

11.1 수열의 극한

정의 11.1. 수열 $a_1, a_2, \dots$ 에 대해 $\lim_{n\to\infty}a_n = L$ 이란 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 어떤 $N$ 이 있어 $n > N$ 이면 $|a_n - L| < \varepsilon$ 이라는 뜻입니다. 극한이 있으면 수렴(convergence), 없으면 발산(divergence)합니다.

함수의 극한 법칙(1장)과 조임 정리가 수열에도 그대로 성립합니다. 또 $f(x) \to L$ ( $x \to \infty$ )이면 $f(n) \to L$ 이므로 로피탈 정리도 쓸 수 있습니다.

예제 11.2. $\lim\frac{\ln n}{n} = 0$ , $\lim\left(1 + \frac1n\right)^n = e$ , $\lim r^n = 0$ ( $|r| < 1$ ), $\lim\sqrt[n]{n} = 1$ .

정리 11.3 (단조수렴 정리). 증가하고 위로 유계인 수열은 수렴합니다.

증명. 상한 $L = \sup a_n$ (완비성, 0장)을 잡으면, 모든 $\varepsilon$ 에 대해 $a_N > L - \varepsilon$ 인 $N$ 이 있고 증가하므로 $n > N$ 에서 $L - \varepsilon < a_n \le L$ 입니다. □

11.2 급수

정의 11.4. 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 의 부분합(partial sum) $S_N = a_1 + \cdots + a_N$ 이 수렴하면 그 극한을 급수의 합이라 합니다.

정리 11.5 (등비급수). $\sum_{n=0}^\infty ar^n$ 은 $|r| < 1$ 이면 $\frac{a}{1 - r}$ 로 수렴하고, $|r| \ge 1$ 이면 ( $a \ne 0$ ) 발산합니다.

증명. $S_N = a\frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}$ (이산수학 6강의 정리 6.4)이고 $|r| < 1$ 이면 $r^{N+1} \to 0$ 입니다. □

예제 11.6. $0.\overline{9} = \frac9{10} + \frac9{100} + \cdots = \frac{9/10}{1 - 1/10} = 1$ .

정리 11.7 (발산 판정). $\sum a_n$ 이 수렴하면 $a_n \to 0$ 입니다. 따라서 $a_n \not\to 0$ 이면 발산합니다.

증명. $a_n = S_n - S_{n-1} \to L - L = 0$ . □

거꾸로는 틀립니다. 조화급수가 반례입니다.

11.3 적분 판정과 p-급수

정리 11.8 (적분 판정). $f$ 가 $[1, \infty)$ 에서 양수, 연속, 감소이고 $a_n = f(n)$ 이면, $\sum a_n$ 과 $\int_1^\infty f\,dx$ 는 함께 수렴하거나 함께 발산합니다.

증명 개요. 높이 $f(n)$ 인 폭 1 직사각형들을 곡선 위아래에 놓으면 $\int_1^{N+1}f\,dx \le S_N \le f(1) + \int_1^N f\,dx$ 입니다. □

따름정리 11.9 ( $p$ -급수). $\sum\frac1{n^p}$ 은 $p > 1$ 이면 수렴, $p \le 1$ 이면 발산합니다. (9장의 정리 9.12)

조화급수 $\sum\frac1n$ 의 부분합은 대략 $\ln N + 0.5772$ 로, 끝없이 커지지만 아주 느립니다. $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ 입니다(오일러, 푸리에 급수로 증명할 수 있습니다).

11.4 비교 판정과 비 판정

정리 11.10 (비교 판정). $0 \le a_n \le b_n$ 일 때 $\sum b_n$ 이 수렴하면 $\sum a_n$ 도 수렴하고, $\sum a_n$ 이 발산하면 $\sum b_n$ 도 발산합니다.

예제 11.11. $\sum\frac{1}{n^2 + n} \le \sum\frac1{n^2}$ 이므로 수렴합니다. (실제로 $\frac1{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n+1}$ 로 쪼개면 합이 1인 망원급수입니다.)

정리 11.12 (비 판정). $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$ 일 때 $\rho < 1$ 이면 (절대)수렴, $\rho > 1$ 이면 발산, $\rho = 1$ 이면 판정할 수 없습니다.

증명 개요. $\rho < r < 1$ 이면 충분히 큰 $n$ 부터 $|a_{n+1}| < r|a_n|$ 이라 등비급수와 비교할 수 있습니다. □

예제 11.13. $\sum\frac{2^n}{n!}$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{n + 1} \to 0$ 이므로 수렴합니다(합은 $e^2 - 1$ ). 계승이 들어 있으면 비 판정이 잘 맞습니다.

11.5 교대급수와 절대수렴

정리 11.14 (교대급수 판정). $b_n$ 이 감소하며 0으로 가면 $\sum(-1)^{n+1}b_n$ 은 수렴하고, 오차는 $|S - S_N| \le b_{N+1}$ 입니다.

예제 11.15. $1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \ln 2$ 로 수렴합니다. 같은 항의 절댓값을 더한 조화급수는 발산하는데도 그렇습니다.

정의 11.16. $\sum|a_n|$ 이 수렴하면 절대수렴(absolute convergence), $\sum a_n$ 은 수렴하지만 $\sum|a_n|$ 은 발산하면 조건수렴(conditional convergence)입니다.

정리 11.17. 절대수렴하면 수렴합니다.

조건수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸면 합이 달라질 수 있습니다(리만 재배열 정리). 절대수렴하는 급수는 순서를 바꿔도 합이 같습니다.

쓰이는 곳. 알고리즘의 계산량 어림(조화급수 $\approx \ln n$ ), 강화학습의 할인된 보상 합 $\sum \gamma^t r_t$ (등비급수), 최적화의 학습률 조건 $\sum \eta_t = \infty$ , $\sum \eta_t^2 < \infty$ 가 모두 급수입니다.

11.6 이 장의 요약

판정	쓰는 때
발산 판정	항이 0으로 가지 않으면 바로 발산
등비, $p$ -급수	비교의 기준
적분 판정	$f(n)$ 이 적분하기 쉬울 때
비교	식이 기준 급수와 닮았을 때
비 판정	계승, 지수가 있을 때
교대급수	부호가 번갈아 바뀔 때

문제

11.1 [계산] · 확인 문제

급수의 합을 씁니다.

급수	합
$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac13\right)^n$	[?]
$\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{2^n}$	[?]
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$	[?]

정답

3/2
5
1

풀이

$\frac{1}{1 - 1/3} = \frac32$ .
$\frac{5/2}{1 - 1/2} = 5$ .
망원급수: $S_N = 1 - \frac1{N+1} \to 1$ .

11.2 [개념] · 확인 문제

수렴하는 급수를 모두 고릅니다.

$\sum\frac{1}{\sqrt n}$
$\sum\frac{1}{n^3}$
$\sum\frac{n}{n + 1}$
$\sum\frac{3^n}{n!}$

정답

2,4

풀이

1번은 $p = 1/2 \le 1$ 이라 발산. 2번은 $p = 3$ 이라 수렴. 3번은 항이 1로 가므로 발산 판정으로 발산. 4번은 비 판정 $\frac{3}{n + 1} \to 0$ 이라 수렴.

11.3 [계산] · 확인 문제

$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac2n\right)^n$ 은? (소수 넷째 자리까지, 또는 $e$ 의 식)

정답

7.3891

풀이

$\left(1 + \frac2n\right)^n = \left[\left(1 + \frac2n\right)^{n/2}\right]^2 \to e^2 \approx 7.3891$ 입니다.

11.4 [계산]

$1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ 의 부분합 $S_N$ 이 합 $\ln 2$ 와 $0.01$ 이내로 가까움을 교대급수의 오차 한계로 보장하려면 $N$ 은 적어도 얼마여야 할까요?

정답

풀이

$|S - S_N| \le b_{N+1} = \frac1{N+1} \le 0.01$ 이면 되므로 $N + 1 \ge 100$ , 곧 $N \ge 99$ 입니다.

11.5 [계산]

순환소수 $0.\overline{36}$ 을 기약분수로 쓴 값은?

정답

4/11

풀이

$\frac{36}{100} + \frac{36}{100^2} + \cdots = \frac{36/100}{1 - 1/100} = \frac{36}{99} = \frac4{11}$ 입니다.

11.6 [증명]

조화급수 $\sum\frac1n$ 이 발산함을 항을 묶어 보입니다.

힌트 1

$\frac13 + \frac14 \ge \frac12$ , $\frac15 + \cdots + \frac18 \ge \frac12$ 처럼 2의 거듭제곱마다 묶습니다.

풀이

$1 + \frac12 + \left(\frac13 + \frac14\right) + \left(\frac15 + \cdots + \frac18\right) + \cdots$ 에서 $k$ 번째 묶음 $\frac{1}{2^{k-1}+1} + \cdots + \frac1{2^k}$ 는 항이 $2^{k-1}$ 개이고 각각 $\frac1{2^k}$ 이상이라 합이 $\frac12$ 이상입니다. 그러므로 $S_{2^k} \ge 1 + \frac k2 \to \infty$ 이고, 부분합이 증가하므로 급수는 발산합니다.