Linearism › 미적분학 › CA.5

5장. 평균값 정리와 그래프

미적분학 · 2부. 미분

기본 · 약 15분 · 연습문제 6

요약

극값과 임계점, 롤의 정리와 평균값 정리, 증가·감소 판정, 오목성과 변곡점, 그래프 그리기, 로피탈 정리

도함수는 한 점의 변화율이지만, 평균값 정리를 거치면 함수 전체의 모양(증가하는 곳, 감소하는 곳, 휘는 방향)에 대한 정보가 됩니다. 이 장에서는 고등학교에서 배운 증감표와 극값 판정이 왜 맞는지를 평균값 정리로 증명하고, 0/0 꼴 극한을 미분으로 구하는 로피탈 정리를 다룹니다.

5.1 극값과 임계점

정의 5.1. f(c)f(c)가 cc 근처의 모든 xx에 대해 f(c)≥f(x)f(c) \ge f(x)이면 극댓값(local maximum), f(c)≤f(x)f(c) \le f(x)이면 극솟값(local minimum)입니다. 둘을 합쳐 극값(extremum)이라 합니다.

정리 5.2 (페르마). ff가 cc에서 극값을 갖고 미분 가능하면 f′(c)=0f'(c) = 0입니다.

증명. 극댓값이라 합시다. h>0h > 0이면 f(c+h)−f(c)h≤0\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \le 0이므로 우극한 f′(c)≤0f'(c) \le 0, h<0h < 0이면 ≥0\ge 0이므로 좌극한 f′(c)≥0f'(c) \ge 0. 둘이 같으므로 f′(c)=0f'(c) = 0입니다. □

정의 5.3. f′(c)=0f'(c) = 0이거나 f′(c)f'(c)가 없는 점을 임계점(critical point)이라 합니다.

거꾸로는 성립하지 않습니다: f(x)=x3f(x) = x^3은 f′(0)=0f'(0) = 0이지만 0에서 극값이 아닙니다.

5.2 롤의 정리와 평균값 정리

정리 5.4 (롤의 정리). ff가 [a,b][a, b]에서 연속, (a,b)(a, b)에서 미분 가능하고 f(a)=f(b)f(a) = f(b)이면 f′(c)=0f'(c) = 0인 c∈(a,b)c \in (a, b)가 있습니다.

증명. 최대·최소 정리(2장)로 ff는 [a,b][a, b]에서 최댓값과 최솟값을 갖습니다. 둘 다 끝점에서 나오면 ff는 상수이고 모든 점에서 f′=0f' = 0입니다. 아니면 하나가 내부의 점 cc에서 나오고, 페르마 정리로 f′(c)=0f'(c) = 0입니다. □

정리 5.5 (평균값 정리). ff가 [a,b][a, b]에서 연속, (a,b)(a, b)에서 미분 가능하면

f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

인 c∈(a,b)c \in (a, b)가 있습니다.

증명. 할선을 빼 g(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)로 두면 g(a)=g(b)=f(a)g(a) = g(b) = f(a)이므로 롤의 정리를 씁니다. □

그림으로는 “할선과 평행한 접선이 어딘가에 있다”, 운동으로는 “평균 속도가 시속 80 km이면 어느 순간에는 정확히 시속 80 km”라는 뜻입니다.

5.3 증가와 감소

정리 5.6. 구간에서 f′>0f' > 0이면 ff는 증가, f′<0f' < 0이면 감소, f′=0f' = 0이면 상수입니다.

증명. x1<x2x_1 < x_2이면 평균값 정리로 f(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1)f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)이고, 부호가 f′(c)f'(c)의 부호와 같습니다. □

따름정리 5.7. 구간에서 f′=g′f' = g'이면 f−gf - g는 상수입니다. (7장의 부정적분이 “+ C”를 갖는 이유입니다.)

정리 5.8 (일계도함수 판정). 임계점 cc에서 f′f'의 부호가 ++에서 −-로 바뀌면 극대, −-에서 ++로 바뀌면 극소, 바뀌지 않으면 극값이 아닙니다.

5.4 오목성과 변곡점

정의 5.9. 구간에서 f′f'이 증가하면 그래프가 아래로 볼록(위로 오목, ∪ 모양), 감소하면 위로 볼록(∩ 모양)입니다. 볼록성이 바뀌는 점을 변곡점(inflection point)이라 합니다.

정리 5.10. f′′>0f'' > 0이면 아래로 볼록, f′′<0f'' < 0이면 위로 볼록입니다.

정리 5.11 (이계도함수 판정). f′(c)=0f'(c) = 0이고 f′′(c)<0f''(c) < 0이면 극대, f′′(c)>0f''(c) > 0이면 극소입니다. f′′(c)=0f''(c) = 0이면 판정할 수 없습니다.

5.5 그래프 그리기

예제 5.12. f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1), f′′(x)=6xf''(x) = 6x.

xx (−∞,−1)(-\infty, -1) −1-1 (−1,0)(-1, 0) 00 (0,1)(0, 1) 11 (1,∞)(1, \infty)
f′f' ++ 0 −- −- 0 ++
f′′f'' −- −- 0 ++ ++
ff 증가 ∩ 극대 2 감소 ∩ 변곡점 감소 ∪ 극소 −2-2 증가 ∪

극댓값 f(−1)=2f(-1) = 2, 극솟값 f(1)=−2f(1) = -2, 변곡점 (0,0)(0, 0)입니다.

5.6 로피탈 정리

정리 5.13 (로피탈 정리). lim⁡f=lim⁡g=0\lim f = \lim g = 0 (또는 둘 다 ±∞\pm\infty)이고 lim⁡f′g′\lim \frac{f'}{g'}이 존재하면 lim⁡fg=lim⁡f′g′\displaystyle\lim\frac fg = \lim\frac{f'}{g'}입니다.

증명은 평균값 정리를 두 함수로 늘린 코시 평균값 정리로 합니다.

예제 5.14.

  • lim⁡x→0ex−1−xx2=lim⁡ex−12x=lim⁡ex2=12\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim\frac{e^x - 1}{2x} = \lim\frac{e^x}{2} = \frac12 (두 번 씀)
  • lim⁡x→∞ln⁡xx=lim⁡1/x1=0\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim\frac{1/x}{1} = 0 (로그는 어떤 거듭제곱보다 느림)
  • lim⁡x→∞x10ex=0\lim_{x\to\infty}\frac{x^{10}}{e^x} = 0 (열 번 쓰면 10!/ex10!/e^x; 지수함수는 어떤 다항식보다 빠름)

0⋅∞0\cdot\infty나 1∞1^\infty 꼴은 분수나 로그로 바꾼 뒤 씁니다. 예: lim⁡x→0+xln⁡x=lim⁡ln⁡x1/x=lim⁡1/x−1/x2=lim⁡(−x)=0\lim_{x\to0^+}x\ln x = \lim\frac{\ln x}{1/x} = \lim\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim(-x) = 0.

로피탈 정리는 00\frac00이나 ∞∞\frac\infty\infty 꼴에서만 씁니다. lim⁡x→0x+1x+2\lim_{x\to0}\frac{x + 1}{x + 2}에 쓰면 틀린 답 1이 나옵니다(정답 12\frac12).

쓰이는 곳. 최적화 알고리즘의 수렴 증명은 평균값 정리를 많이 씁니다. 손실 함수가 볼록(아래로 볼록)하면 극소점이 곧 최소점이라는 것, 이계도함수의 부호로 극대·극소를 판정하는 것이 머신러닝 최적화 이론의 출발점입니다.

5.7 이 장의 요약

  • 극값 ⇒ 임계점. 거꾸로는 아님.
  • 평균값 정리: 할선과 평행한 접선. f′>0f' > 0 ⇒ 증가, f′=0f' = 0 ⇒ 상수.
  • f′′f''의 부호 = 볼록 방향. 로피탈은 0/00/0, ∞/∞\infty/\infty에서만.

문제

5.1 [계산] · 확인 문제

f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1의 극값과 변곡점을 씁니다.

항목 값
극대가 되는 xx [?]
극댓값 [?]
극소가 되는 xx [?]
극솟값 [?]
변곡점의 xx [?]
정답
1
5
3
1
2
풀이

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3), f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12. f′′(1)=−6<0f''(1) = -6 < 0이라 x=1x = 1에서 극대 f(1)=5f(1) = 5, f′′(3)=6>0f''(3) = 6 > 0이라 x=3x = 3에서 극소 f(3)=1f(3) = 1. f′′=0f'' = 0인 x=2x = 2에서 부호가 바뀌므로 변곡점입니다.

5.2 [계산] · 확인 문제

f(x)=x2f(x) = x^2에 [1,3][1, 3]에서 평균값 정리를 쓸 때 나오는 cc는?

정답
2
풀이

9−13−1=4=2c\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4 = 2c이므로 c=2c = 2입니다.

5.3 [계산] · 확인 문제

로피탈 정리로 극한을 구합니다.

극한 값
lim⁡x→0e2x−1x\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x} - 1}{x} [?]
lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x^3} [?]
lim⁡x→1ln⁡xx−1\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x - 1} [?]
정답
2
1/6
1
풀이
  1. 2e2x1→2\frac{2e^{2x}}{1} \to 2.
  2. 1−cos⁡x3x2→sin⁡x6x→16\frac{1 - \cos x}{3x^2} \to \frac{\sin x}{6x} \to \frac16.
  3. 1/x1→1\frac{1/x}{1} \to 1.

5.4 [계산]

lim⁡x→0+xx\lim_{x\to0^+} x^x는?

힌트 1

xx=exln⁡xx^x = e^{x\ln x}이고 xln⁡x→0x\ln x \to 0입니다.

정답
1
풀이

xln⁡x→0x\ln x \to 0(본문)이고 ete^t는 연속이므로 xx=exln⁡x→e0=1x^x = e^{x\ln x} \to e^0 = 1입니다.

5.5 [계산]

f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x}의 최댓값은? (소수 넷째 자리까지)

정답
0.3679
풀이

f′(x)=(1−x)e−xf'(x) = (1 - x)e^{-x}이므로 x=1x = 1에서 ++에서 −-로 바뀌어 극대이자 최대입니다. f(1)=1/e≈0.3679f(1) = 1/e \approx 0.3679입니다.

5.6 [증명]

평균값 정리를 써서 모든 x,yx, y에 대해 ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣|\sin x - \sin y| \le |x - y|임을 보입니다.

풀이

x≠yx \ne y이면 평균값 정리로 sin⁡x−sin⁡y=cos⁡c (x−y)\sin x - \sin y = \cos c\,(x - y)인 cc가 xx와 yy 사이에 있습니다. ∣cos⁡c∣≤1|\cos c| \le 1이므로 ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣|\sin x - \sin y| \le |x - y|입니다. x=yx = y이면 양변이 0입니다.