움직이는 물체의 '지금 이 순간의 속도'는 무엇일까요? 속도는 거리를 시간으로 나눈 것인데, 한 순간에는 거리도 시간도 0입니다. 미분은 이 0/0을 1장의 극한으로 풀어낸 것입니다. 고등학교에서 미분을 계산 규칙으로 배웠다면, 이 장에서는 그 규칙이 정의에서 어떻게 나오는지와 미분이 '가장 잘 맞는 직선의 기울기'라는 뜻을 봅니다.
3.1 평균변화율과 순간변화율
정의 3.1 (평균변화율). x x x a a a a + h a + h a + h f f f
f ( a + h ) − f ( a ) h \frac{f(a + h) - f(a)}{h} h f ( a + h ) − f ( a ) 입니다. 그래프에서는 두 점 ( a , f ( a ) ) (a, f(a)) ( a , f ( a )) ( a + h , f ( a + h ) ) (a + h, f(a + h)) ( a + h , f ( a + h )) 할선 (secant line)의 기울기입니다.
h h h
h를 0에 가깝게 하면 할선(색 직선)이 접선으로 다가가고 기울기가 미분계수로 갑니다. h가 음수여도 같은 값으로 갑니다 이 위젯은 JavaScript가 필요합니다
3.2 미분계수
정의 3.2 (미분계수). 극한
f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} f ′ ( a ) = h → 0 lim h f ( a + h ) − f ( a ) 이 존재하면 f f f a a a 미분 가능 (differentiable)하다고 하고, 그 값을 a a a 미분계수 (derivative at a point)라 합니다.
정의 3.3 (접선). f ′ ( a ) f'(a) f ′ ( a ) ( a , f ( a ) ) (a, f(a)) ( a , f ( a )) y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) y = f(a) + f'(a)(x - a) y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )
예제 3.4. f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 a = 3 a = 3 a = 3
f ′ ( 3 ) = lim h → 0 ( 3 + h ) 2 − 9 h = lim h → 0 6 h + h 2 h = lim h → 0 ( 6 + h ) = 6. f'(3) = \lim_{h\to0}\frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \lim_{h\to0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to0}(6 + h) = 6. f ′ ( 3 ) = h → 0 lim h ( 3 + h ) 2 − 9 = h → 0 lim h 6 h + h 2 = h → 0 lim ( 6 + h ) = 6. 접선은 y = 9 + 6 ( x − 3 ) = 6 x − 9 y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9 y = 9 + 6 ( x − 3 ) = 6 x − 9
3.3 도함수
정의 3.5 (도함수). 각 x x x f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f f f 도함수 (derivative)라 하고 f ′ f' f ′ d f d x \dfrac{df}{dx} d x df d d x f ( x ) \dfrac{d}{dx}f(x) d x d f ( x ) 미분한다 고 합니다.
라이프니츠 기호 d y d x \frac{dy}{dx} d x d y Δ y / Δ x \Delta y / \Delta x Δ y /Δ x
3.4 미분 가능성과 연속성
정리 3.6. f f f a a a a a a
증명. f ( a + h ) − f ( a ) = f ( a + h ) − f ( a ) h ⋅ h → f ′ ( a ) ⋅ 0 = 0 f(a + h) - f(a) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\cdot h \to f'(a) \cdot 0 = 0 f ( a + h ) − f ( a ) = h f ( a + h ) − f ( a ) ⋅ h → f ′ ( a ) ⋅ 0 = 0 lim h → 0 f ( a + h ) = f ( a ) \lim_{h\to0} f(a + h) = f(a) lim h → 0 f ( a + h ) = f ( a )
거꾸로는 성립하지 않습니다.
예제 3.7. f ( x ) = ∣ x ∣ f(x) = |x| f ( x ) = ∣ x ∣ x = 0 x = 0 x = 0 ∣ h ∣ h \frac{|h|}{h} h ∣ h ∣ − 1 -1 − 1 x 3 \sqrt[3]{x} 3 x x = 0 x = 0 x = 0
3.5 기본 함수의 도함수
정리 3.8 (상수와 거듭제곱). ( c ) ′ = 0 (c)' = 0 ( c ) ′ = 0 ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 n n n
증명. 이항정리(이산수학 7강)로 ( x + h ) n = x n + n x n − 1 h + ( n 2 ) x n − 2 h 2 + ⋯ (x + h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \binom n2 x^{n-2}h^2 + \cdots ( x + h ) n = x n + n x n − 1 h + ( 2 n ) x n − 2 h 2 + ⋯
( x + h ) n − x n h = n x n − 1 + ( n 2 ) x n − 2 h + ⋯ → n x n − 1 . \frac{(x + h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1} + \binom n2 x^{n-2}h + \cdots \to nx^{n-1}. h ( x + h ) n − x n = n x n − 1 + ( 2 n ) x n − 2 h + ⋯ → n x n − 1 . □
이 공식은 모든 실수 지수 r r r ( x r ) ′ = r x r − 1 (x^r)' = rx^{r-1} ( x r ) ′ = r x r − 1 ( x ) ′ = 1 2 x (\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x} ( x ) ′ = 2 x 1 ( 1 / x ) ′ = − 1 / x 2 (1/x)' = -1/x^2 ( 1/ x ) ′ = − 1/ x 2
정리 3.9 (삼각함수). ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)' = \cos x ( sin x ) ′ = cos x ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)' = -\sin x ( cos x ) ′ = − sin x
증명. 덧셈정리로
sin ( x + h ) − sin x h = sin x ⋅ cos h − 1 h + cos x ⋅ sin h h → sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1. \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h} \to \sin x\cdot0 + \cos x\cdot 1. h sin ( x + h ) − sin x = sin x ⋅ h cos h − 1 + cos x ⋅ h sin h → sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1. 1장의 정리 1.12 와 그 따름결과를 썼습니다. cos \cos cos
정리 3.10 (지수함수). ( e x ) ′ = e x (e^x)' = e^x ( e x ) ′ = e x
증명. e x + h − e x h = e x ⋅ e h − 1 h \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x\cdot\frac{e^h - 1}{h} h e x + h − e x = e x ⋅ h e h − 1 e e e lim h → 0 e h − 1 h = 1 \lim_{h\to0}\frac{e^h - 1}{h} = 1 lim h → 0 h e h − 1 = 1
일반적인 밑에서는 ( a x ) ′ = a x ln a (a^x)' = a^x\ln a ( a x ) ′ = a x ln a e e e
f ( x ) f(x) f ( x ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
x r x^r x r r x r − 1 rx^{r-1} r x r − 1
e x e^x e x e x e^x e x
a x a^x a x a x ln a a^x \ln a a x ln a
ln x \ln x ln x 1 / x 1/x 1/ x
sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x
cos x \cos x cos x − sin x -\sin x − sin x
3.6 변화율로서의 도함수
예제 3.11. 공을 위로 던졌을 때 높이가 s ( t ) = 20 t − 5 t 2 s(t) = 20t - 5t^2 s ( t ) = 20 t − 5 t 2 v ( t ) = s ′ ( t ) = 20 − 10 t v(t) = s'(t) = 20 - 10t v ( t ) = s ′ ( t ) = 20 − 10 t a ( t ) = v ′ ( t ) = − 10 a(t) = v'(t) = -10 a ( t ) = v ′ ( t ) = − 10 v = 0 v = 0 v = 0 t = 2 t = 2 t = 2 s ( 2 ) = 20 s(2) = 20 s ( 2 ) = 20
도함수를 다시 미분한 f ′ ′ f'' f ′′ 이계도함수 (second derivative)라 합니다. 위치의 이계도함수가 가속도입니다.
쓰이는 곳. 경사하강법은 손실 함수의 도함수(기울기)를 따라 조금씩 내려가는 방법이고, 물리의 속도·가속도, 경제학의 한계비용이 도함수입니다.
3.7 이 장의 요약
f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} f ′ ( a ) = lim h → 0 h f ( a + h ) − f ( a ) 미분 가능 ⇒ 연속. 거꾸로는 아님(∣ x ∣ |x| ∣ x ∣
( x r ) ′ = r x r − 1 (x^r)' = rx^{r-1} ( x r ) ′ = r x r − 1 ( e x ) ′ = e x (e^x)' = e^x ( e x ) ′ = e x ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)' = \cos x ( sin x ) ′ = cos x ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)' = -\sin x ( cos x ) ′ = − sin x
문제
3.1 [계산] · 확인 문제
정의로 구한 f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f ( x ) = x 3 x = 2 x = 2 x = 2
정답 풀이 ( 2 + h ) 3 − 8 h = 12 + 6 h + h 2 → 12 \frac{(2+h)^3 - 8}{h} = 12 + 6h + h^2 \to 12 h ( 2 + h ) 3 − 8 = 12 + 6 h + h 2 → 12
3.2 [계산] · 확인 문제
미분계수를 씁니다.
함수, 점
미분계수
x 5 x^5 x 5 x = 1 x = 1 x = 1 [?]
x \sqrt{x} x x = 4 x = 4 x = 4 [?]
1 / x 1/x 1/ x x = 2 x = 2 x = 2 [?]
sin x \sin x sin x x = π / 3 x = \pi/3 x = π /3 [?]
정답 풀이 5 x 4 = 5 5x^4 = 5 5 x 4 = 5 1 2 4 = 1 4 \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14 2 4 1 = 4 1 − 1 x 2 = − 1 4 -\frac1{x^2} = -\frac14 − x 2 1 = − 4 1 cos π 3 = 1 2 \cos\frac\pi3 = \frac12 cos 3 π = 2 1
3.3 [계산] · 확인 문제
곡선 y = x 2 − 4 x y = x^2 - 4x y = x 2 − 4 x ( 1 , − 3 ) (1, -3) ( 1 , − 3 ) y y y
정답 풀이 y ′ = 2 x − 4 y' = 2x - 4 y ′ = 2 x − 4 x = 1 x = 1 x = 1 − 2 -2 − 2 y = − 3 − 2 ( x − 1 ) = − 2 x − 1 y = -3 - 2(x - 1) = -2x - 1 y = − 3 − 2 ( x − 1 ) = − 2 x − 1 y y y − 1 -1 − 1
3.4 [계산]
예제 3.11의 공이 땅(s = 0 s = 0 s = 0
정답 풀이 20 t − 5 t 2 = 0 20t - 5t^2 = 0 20 t − 5 t 2 = 0 t = 4 t = 4 t = 4 v ( 4 ) = 20 − 40 = − 20 v(4) = 20 - 40 = -20 v ( 4 ) = 20 − 40 = − 20
3.5 [개념]
x = 0 x = 0 x = 0
x 2 x^2 x 2 ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ 1 / x 1/x 1/ x sin x \sin x sin x
정답 풀이 ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ x 2 x^2 x 2 sin x \sin x sin x 1 / x 1/x 1/ x
3.6 [증명]
정의로 ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)' = -\sin x ( cos x ) ′ = − sin x
풀이 cos ( x + h ) = cos x cos h − sin x sin h \cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h cos ( x + h ) = cos x cos h − sin x sin h cos ( x + h ) − cos x h = cos x ⋅ cos h − 1 h − sin x ⋅ sin h h \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} - \sin x\cdot\frac{\sin h}{h} h c o s ( x + h ) − c o s x = cos x ⋅ h c o s h − 1 − sin x ⋅ h s i n h h → 0 h \to 0 h → 0 cos h − 1 h → 0 \frac{\cos h - 1}{h} \to 0 h c o s h − 1 → 0 sin h h → 1 \frac{\sin h}{h} \to 1 h s i n h → 1 − sin x -\sin x − sin x