27장. 조르당 형식

대각화가 되지 않는 행렬은 얼마나 대각행렬에 가깝게 만들 수 있을까요? 이 장의 답이 조르당 형식입니다. 대각선 바로 위에 1이 몇 개 남는 모양까지는 언제나 만들 수 있습니다. 미분방정식의 해에 t·eᵗ 같은 항이 나오는 이유가 여기서 설명됩니다(고급).

27.1 대각화할 수 없을 때의 최선

질문. 층밀림 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$은 고유벡터가 한 방향뿐이라 대각화할 수 없었습니다. 이런 연산자에 대해서도 “가장 단순한 행렬”이 있을까요? 고유벡터가 모자랄 때 그 빈자리를 무엇으로 채울 수 있을까요?

24장에서 복소 공간의 연산자는 언제나 위삼각화되었습니다. 하지만 위삼각행렬은 유일하지 않고, 대각선 위의 성분들은 기저에 따라 마구 바뀝니다. 이 장의 목표는 위삼각보다 훨씬 강한 결론입니다. 모든 복소 연산자는 어떤 기저에서

꼴의 블록들이 대각선에 늘어선 행렬, 즉 조르당 형식이 됩니다. 대각화 가능하면 모든 블록이 $1 \times 1$입니다. 대각화가 안 되는 정도는 블록의 크기로 정확히 측정됩니다.

빈자리를 채우는 것은 일반화 고유벡터입니다. 이 장에서 $V$는 유한차원 복소벡터공간, $n = \dim V$, $T \in \mathcal{L}(V)$입니다.

27.2 거듭제곱의 영공간

정리 27.1 (영공간의 사슬).

이고, 어떤 $k$에서 $\operatorname{null} T^k = \operatorname{null} T^{k+1}$이면 그 이후로 모두 같습니다. 특히 $\operatorname{null} T^n = \operatorname{null} T^{n+1} = \operatorname{null} T^{n+2} = \cdots$입니다.

증명. $T^kv = 0$이면 $T^{k+1}v = T(T^kv) = 0$이므로 포함관계가 성립합니다. $\operatorname{null} T^k = \operatorname{null} T^{k+1}$이라 하고 $v \in \operatorname{null} T^{k+2}$이면 $T^{k+1}(Tv) = 0$이므로 $Tv \in \operatorname{null} T^{k+1} = \operatorname{null} T^k$, 즉 $T^{k+1}v = 0$. 따라서 $\operatorname{null} T^{k+2} = \operatorname{null} T^{k+1}$이고, 반복합니다. 사슬이 진짜로 커지는 동안은 차원이 매번 1 이상 늘어나므로, $n$번 안에 멈춥니다. ■

정리 27.2 (영공간과 치역으로 나누기). $V = \operatorname{null} T^n \oplus \operatorname{range} T^n$.

증명. $v \in \operatorname{null} T^n \cap \operatorname{range} T^n$이면 $v = T^nu$이고 $T^nv = T^{2n}u = 0$. 정리 27.1에 의해 $\operatorname{null} T^{2n} = \operatorname{null} T^n$이므로 $T^nu = 0$, 즉 $v = 0$. 교집합이 $\{0\}$이고, 기본정리에 의해 $\dim\operatorname{null} T^n + \dim\operatorname{range} T^n = n$이므로 직합이 $V$입니다. ■

$\operatorname{null} T \oplus \operatorname{range} T = V$는 일반적으로 거짓입니다($T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$이면 $\operatorname{null} T = \operatorname{range} T = \operatorname{span}(e_1)$). 충분히 큰 거듭제곱을 취해야 영공간과 치역이 깔끔하게 갈라집니다.

▶ 문제 27.1–27.3

27.3 일반화 고유벡터

정의 27.3 (일반화 고유벡터). $\lambda$가 $T$의 고윳값일 때, 어떤 양의 정수 $k$에 대해 $(T - \lambda I)^kv = 0$인 $v \ne 0$을 일반화 고유벡터(generalized eigenvector)라 합니다. 이들과 0을 모은

을 일반화 고유공간(generalized eigenspace)이라 합니다.

정리 27.1에 의해 지수를 $n$으로 잡으면 충분합니다. $E(\lambda, T) \subseteq G(\lambda, T)$입니다.

예제 27.4. 층밀림 $S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$: $E(1, S) = \operatorname{span}(e_1)$이지만 $(S - I)^2 = O$이므로 $G(1, S) = \mathbb{C}^2$. $e_2$는 고유벡터가 아니지만 일반화 고유벡터입니다: $(S - I)e_2 = e_1$, $(S - I)^2e_2 = 0$. 고유벡터가 모자란 자리를 $e_2$가 채웁니다.

정리 27.5 (일반화 고유벡터는 독립). 서로 다른 고윳값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$의 일반화 고유벡터 $v_1, \ldots, v_m$은 일차독립입니다.

증명. $a_1v_1 + \cdots + a_mv_m = 0$이라 합시다. $k$를 $(T - \lambda_1I)^kv_1 \ne 0$인 가장 큰 정수라 하고 $w = (T - \lambda_1I)^kv_1$로 두면 $(T - \lambda_1I)w = 0$, 즉 $w$는 $\lambda_1$의 고유벡터입니다. 따라서 모든 $\lambda$에 대해 $(T - \lambda I)w = (\lambda_1 - \lambda)w$. 이제 등식에

을 걸면(인수들은 교환합니다), $j \ge 2$인 항은 $(T - \lambda_jI)^n$이 죽이고, 첫 항은

이 됩니다. 이것이 0이고 계수와 $w$가 0이 아니므로 $a_1 = 0$. 같은 논리로 모든 $a_j = 0$. ■

▶ 문제 27.4–27.5

27.4 멱영 연산자

정의 27.6 (멱영). 어떤 양의 정수 $k$에 대해 $N^k = 0$인 연산자를 멱영(nilpotent)이라 합니다.

$(T - \lambda I)|_{G(\lambda, T)}$는 정의에 의해 멱영입니다. 일반화 고유공간 위에서 $T$는 “$\lambda I$ + 멱영”입니다. 그래서 멱영 연산자를 이해하는 것이 핵심입니다.

정리 27.7 (멱영 연산자의 기본 성질). $N$이 $V$ 위의 멱영 연산자이면

1. $N^n = 0$.
2. 0이 유일한 고윳값입니다.
3. 어떤 기저에서 $\mathcal{M}(N)$은 대각선을 포함해 그 아래가 모두 0인 위삼각행렬입니다.

증명. (1) $G(0, N) = V$이므로 $\operatorname{null} N^n = V$. (2) $Nv = \lambda v$이면 $0 = N^nv = \lambda^nv$. (3) $\operatorname{null} N \subseteq \operatorname{null} N^2 \subseteq \cdots \subseteq \operatorname{null} N^n = V$의 각 단계에서 기저를 차례로 늘려 갑니다. $\operatorname{null} N^j$에 새로 추가된 벡터 $v$는 $Nv \in \operatorname{null} N^{j-1}$이므로 앞의 벡터들의 일차결합입니다. ■

▶ 문제 27.6–27.7

27.5 일반화 고유공간으로의 분해

정리 27.8 (일반화 고유공간 분해). $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$이 $T$의 서로 다른 고윳값 전부이면

이고, 각 $G(\lambda_j, T)$는 $T$에 대해 불변이며, $(T - \lambda_jI)|_{G(\lambda_j, T)}$는 멱영입니다.

증명. 불변성: $v \in \operatorname{null}(T - \lambda_jI)^n$이면 $T$와 $(T - \lambda_jI)^n$이 교환하므로 $Tv$도 그렇습니다. 멱영성은 정의에서 바로.

분해: $n$에 대한 귀납법. 고윳값 $\lambda_1$을 잡고 정리 27.2를 $T - \lambda_1I$에 쓰면

$U$도 $T$에 대해 불변이고, $\lambda_1$이 고윳값이므로 $G(\lambda_1, T) \ne \{0\}$, $\dim U < n$. $T|_U$의 고윳값은 $\lambda_2, \ldots, \lambda_m$ 중 일부입니다($\lambda_1$의 고유벡터가 $U$에 있으면 $G(\lambda_1, T) \cap U \ne \{0\}$이 되어 모순). 귀납 가정에 의해 $U$는 $T|_U$의 일반화 고유공간들의 직합이고, 각 $G(\lambda_j, T|_U) \subseteq G(\lambda_j, T)$입니다. 따라서 $V = G(\lambda_1, T) + \cdots + G(\lambda_m, T)$. 직합인 것은 정리 27.5에서 나옵니다. ■

정의 27.9 (중복도). $\dim G(\lambda, T)$를 고윳값 $\lambda$의 중복도(multiplicity)라 합니다.

16장의 대수적 중복도(AM)입니다. 기하적 중복도 $\dim E(\lambda, T)$는 $\dim G(\lambda, T)$ 이하이므로 16.5절의 GM $\le$ AM이 증명됩니다. 분해 정리에 의해 중복도의 합은 $n$입니다.

각 $G(\lambda_j, T)$에서 정리 27.7(3)의 기저를 잡으면, $T$의 행렬은 블록 대각이고 각 블록은 대각이 $\lambda_j$인 위삼각행렬입니다.

▶ 문제 27.8–27.9

27.6 특성다항식과 케일리–해밀턴 정리

정의 27.10 (특성다항식). $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$의 중복도가 $d_1, \ldots, d_m$일 때

을 $T$의 특성다항식(characteristic polynomial)이라 합니다.

차수는 $d_1 + \cdots + d_m = n$이고 근은 정확히 고윳값입니다. 위의 블록 위삼각 행렬로 계산하면 $\det(zI - \mathcal{M}(T)) = q(z)$이므로, 16장의 $\det(A - \lambda I)$와 부호($(-1)^n$)만 다릅니다. 여기서는 행렬식 없이 정의했습니다.

정리 27.11 (케일리–해밀턴). $q(T) = 0$.

증명. $v \in G(\lambda_j, T)$이면 $(T - \lambda_jI)^{d_j}v = 0$입니다($G(\lambda_j, T)$ 위에서 $T - \lambda_jI$는 $d_j$차원 공간의 멱영 연산자이므로 정리 27.7(1)). $q(T)$의 인수들은 교환하므로 $q(T)v = 0$. 일반화 고유공간들이 $V$를 직합으로 덮으므로 $q(T) = 0$. ■

따름정리 27.12 (최소다항식과 특성다항식). 최소다항식은 특성다항식을 나눕니다. 따라서 $\deg m_T \le n$입니다.

“행렬을 자기 특성다항식에 넣으면 0이 됩니다.” 행렬식 정의 $q(\lambda) = \det(\lambda I - A)$에 $\lambda = A$를 넣으면 $\det(AI - A) = \det O = 0$이라는 “증명”은 틀렸습니다($q(A)$는 행렬이고 $\det(\cdots)$는 수입니다). 위의 증명이 올바른 이유를 보여 줍니다.

예제 27.13. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$의 특성다항식은 $z^2 - 5z - 2$입니다. 케일리–해밀턴에 의해 $A^2 = 5A + 2I$. 따라서 $A^3 = 5A^2 + 2A = 5(5A + 2I) + 2A = 27A + 10I$. 모든 거듭제곱이 $A$와 $I$의 일차결합으로 줄어듭니다(문제 27.11).

▶ 문제 27.10–27.11

27.7 조르당 형식

정의 27.14 (조르당 블록). $k \times k$ 행렬

을 조르당 블록(Jordan block)이라 합니다. 대각이 $\lambda$, 바로 위 대각이 1, 나머지는 0입니다.

$J_k(\lambda) = \lambda I + N_k$이고, $N_k$는 $e_k \mapsto e_{k-1} \mapsto \cdots \mapsto e_1 \mapsto 0$인 멱영 행렬입니다. 기저 벡터들이 사슬을 이룹니다.

그림 27.1. $N$의 사슬 기저와 조르당 블록 $J_3(0) \oplus J_2(0) \oplus J_1(0)$. 화살표는 $N$의 작용. $\operatorname{null} N^j$는 왼쪽부터 $j$개의 열이므로, $\dim\operatorname{null} N^j - \dim\operatorname{null} N^{j-1}$은 $j$번째 열의 점의 개수, 곧 길이 $\ge j$인 사슬의 개수입니다.

정리 27.15 (멱영 연산자의 조르당 형식). $N$이 멱영이면 $V$의 기저가 있어서 $\mathcal{M}(N)$이 블록 대각이고 각 블록이 $J_k(0)$ 꼴입니다. 즉 $V$의 기저가

꼴이고 $N^{k_i}v_i = 0$입니다.

증명. $n$에 대한 귀납법. $N \ne 0$이라 하자($N = 0$이면 아무 기저나 됩니다). $\operatorname{range} N \subsetneq V$이고(멱영이므로 전사가 아닙니다) $N|_{\operatorname{range} N}$은 멱영이므로, 귀납 가정에 의해 $\operatorname{range} N$의 기저

가 있습니다. 각 $u_i \in \operatorname{range} N$이므로 $u_i = Nv_i$인 $v_i$를 고릅니다. 그러면 사슬을 하나씩 늘려

를 얻습니다. 이 목록이 독립임을 보입시다. 일차결합이 0이면 $N$을 걸어 $\operatorname{range} N$의 기저의 일차결합이 0이 되므로 $v_i, Nv_i, \ldots$의 계수 중 $N^{k_i}v_i$의 것을 뺀 나머지가 0입니다. 남은 것은 $\sum c_iN^{k_i}v_i = \sum c_iN^{k_i - 1}u_i = 0$이고, 이들은 $\operatorname{range} N$의 기저의 일부이므로 $c_i = 0$.

이제 $\operatorname{null} N$을 봅시다. $N^{k_i}v_i = N^{k_i - 1}u_i$ ($i = 1, \ldots, r$)는 $\operatorname{null} N \cap \operatorname{range} N$에 있고 독립입니다. 이것을 $\operatorname{null} N$의 기저로 늘리는 벡터 $w_1, \ldots, w_p$를 추가합니다(각각 길이 1인 사슬, $Nw_j = 0$). 차원을 세면: 목록의 길이는 $\dim\operatorname{range} N + r + p$이고, $\dim\operatorname{null} N = r + p$이므로(위에서 고른 $\operatorname{null} N \cap \operatorname{range} N$의 원소 $r$개는 $\operatorname{range} N$의 사슬 끝들인데, $\operatorname{null}(N|_{\operatorname{range} N})$의 차원이 정확히 사슬의 개수 $r$입니다) 길이는 $\dim\operatorname{range} N + \dim\operatorname{null} N = n$입니다. 독립성은 앞과 같은 논리(문제 27.13)이므로 기저입니다. ■

정리 27.16 (조르당 형식). $\mathbb{F} = \mathbb{C}$이면 모든 $T \in \mathcal{L}(V)$에 대해 $V$의 기저가 있어

입니다. 블록들은 순서를 제외하고 $T$에 의해 유일하게 결정됩니다.

증명. 존재: 정리 27.8로 $V = \bigoplus G(\lambda_j, T)$로 나누고, 각 $G(\lambda_j, T)$에서 멱영 연산자 $(T - \lambda_jI)|_G$에 정리 27.15를 씁니다. 그 기저에서 $T = \lambda_jI + N$은 $J_k(\lambda_j)$ 블록들이 됩니다. 유일성: 블록의 개수와 크기는 다음 수들로 결정됩니다(문제 27.14).

■

27.7.1 조르당 형식 구하기

예제 27.17. $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. 고윳값은 1뿐(중복도 3). $N = A - I = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, $\operatorname{rank} N = 2$이므로 $\dim\operatorname{null} N = 1$: 블록이 1개, 크기 3. 조르당 형식은 $J_3(1)$.

사슬을 만듭시다. $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \ne O$이므로 $N^2v \ne 0$인 $v = e_3$을 고릅니다. $Nv = (1, 1, 0)$, $N^2v = (1, 0, 0)$. 기저 $M = \begin{bmatrix} N^2v & Nv & v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$에서

예제 27.18. 고윳값 2만 가지는 $4 \times 4$ 행렬 $A$에 대해 $\dim\operatorname{null}(A - 2I) = 2$, $\dim\operatorname{null}(A - 2I)^2 = 4$이면: 블록 수 2, 크기 2 이상인 블록 $4 - 2 = 2$개. 따라서 $J_2(2) \oplus J_2(2)$. 만약 $\dim\operatorname{null}(A - 2I)^2 = 3$, $\dim\operatorname{null}(A - 2I)^3 = 4$이면 블록 2개 중 크기 $\ge 2$가 1개, $\ge 3$이 1개이므로 $J_3(2) \oplus J_1(2)$.

27.7.2 조르당 형식의 거듭제곱

$J = \lambda I + N$ ($N^k = 0$)이고 $\lambda I$와 $N$이 교환하므로 이항정리가 성립합니다.

예를 들어 $J_2(1)^t = \begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ (문제 5.9). 대각화 가능하면 $A^t$의 성분은 $\lambda^t$들의 결합이지만, 조르당 블록이 있으면 $t\lambda^t$, $t^2\lambda^t$ 같은 항이 나타납니다. 16.4절에서 고윳값이 1인데도 $\mathbf{u}_k$가 발산한 이유가 이것입니다.

▶ 문제 27.12–27.15

쓰이는 곳. 선형 미분방정식 $x' = Ax$의 해 $e^{tA}$를 계산할 때, $A$가 대각화되지 않으면 조르당 형식이 $te^{\lambda t}$ 같은 항을 줍니다. 제어 이론과 수치해석의 안정성 분석에서 씁니다.

이 장의 요약

• $\operatorname{null} T^k$의 사슬은 $n$ 안에 멈추고, $V = \operatorname{null} T^n \oplus \operatorname{range} T^n$.
• 일반화 고유공간 $G(\lambda, T) = \operatorname{null}(T - \lambda I)^n$. 서로 다른 고윳값의 일반화 고유벡터는 독립.
• 복소 공간에서 $V = \bigoplus G(\lambda_j, T)$. 각 조각 위에서 $T = \lambda_jI$ + (멱영).
• 특성다항식 $q(z) = \prod(z - \lambda_j)^{d_j}$, $d_j = \dim G(\lambda_j, T)$. 케일리–해밀턴: $q(T) = 0$. $\deg m_T \le n$.
• 멱영 연산자는 사슬 기저를 갖고, 모든 복소 연산자는 조르당 블록들의 블록 대각행렬로 표현됩니다.
• 크기 $\ge k$인 블록의 개수 $= \dim\operatorname{null}(T - \lambda I)^k - \dim\operatorname{null}(T - \lambda I)^{k-1}$.
• $J^t$에는 $\binom{t}{j}\lambda^{t-j}$항이 나타납니다.

문제

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