24장. 고윳값, 불변부분공간, 최소다항식

요약

불변부분공간과 고유벡터, 행렬식 없이 증명하는 고윳값의 존재, 최소다항식의 존재·유일성과 근, 위삼각화와 위삼각행렬에서 읽는 것, 최소다항식으로 판정하는 대각화 가능성, 교환하는 연산자의 공통 고유벡터

16장에서 계산으로 다룬 고윳값과 고유벡터를 추상 벡터공간의 선형사상에서 다시 정의합니다. 변환이 자기 자신 안으로 보내는 부분공간(불변부분공간)과, 변환이 만족하는 가장 작은 다항식(최소다항식)이 새로 나옵니다. 대각화가 되지 않는 경우를 이해하는 열쇠입니다(심화).

24.1 행렬식 없이 고윳값을 다루기

질문. 16장에서는 행렬식으로 고윳값을 찾았습니다: $\det(A - \lambda I) = 0$ . 그런데 행렬식은 계산은 편해도, 왜 고윳값이 존재하는지를 설명해 주지는 않습니다. 행렬도 행렬식도 쓰지 않고, 연산자 자체만 보고 “복소 벡터공간 위의 연산자는 반드시 고유벡터를 갖습니다”를 증명할 수 있을까요?

이 장은 연산자 $T \in \mathcal{L}(V)$ 의 구조를 연구하는 3부의 중심부입니다. 도구는 두 가지, 불변부분공간과 다항식입니다. 이 장의 결론은 다음과 같습니다.

복소 유한차원 공간 위의 연산자는 고윳값을 갖습니다.
그런 연산자는 어떤 기저에서 위삼각행렬이 됩니다.
대각화 가능한 것은 최소다항식이 중근을 갖지 않는 것과 같습니다.

이 장에서 $V$ 는 $\{0\}$ 이 아닌 유한차원 벡터공간이고, $n = \dim V$ 입니다.

24.2 불변부분공간과 고유벡터

정의 24.1 (불변부분공간). $T \in \mathcal{L}(V)$ 와 부분공간 $U$ 에 대해, 모든 $u \in U$ 에서 $Tu \in U$ 이면 $U$ 를 $T$ 에 대한 불변부분공간(invariant subspace)이라 합니다.

불변부분공간은 “ $T$ 가 밖으로 내보내지 않는” 부분입니다. 그 안에서는 $T$ 를 $U$ 위의 연산자 $T|_U \in \mathcal{L}(U)$ 로 볼 수 있습니다. 큰 공간의 연산자를 작은 공간의 연산자들로 쪼개어 이해하는 것이 이 장과 27장의 전략입니다.

예제 24.2. $\{0\}$ , $V$ , $\operatorname{null} T$ , $\operatorname{range} T$ 는 언제나 불변입니다. 예를 들어 $u \in \operatorname{range} T$ 이면 $Tu \in \operatorname{range} T$ 는 당연합니다. 미분 $D$ 에 대해 $\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 은 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 의 불변부분공간입니다(미분해도 차수가 늘지 않습니다).

1차원 불변부분공간 $U = \operatorname{span}(v)$ ( $v \ne 0$ )를 생각합시다. $Tv \in U$ 이므로 $Tv = \lambda v$ 인 $\lambda$ 가 있습니다. 즉 1차원 불변부분공간이 고유벡터입니다.

정의 24.3 (고윳값과 고유벡터). $T \in \mathcal{L}(V)$ 에 대해 $Tv = \lambda v$ 인 $v \ne 0$ 이 있으면 $\lambda \in \mathbb{F}$ 를 $T$ 의 고윳값(eigenvalue), $v$ 를 고유벡터(eigenvector)라 합니다. $E(\lambda, T) = \operatorname{null}(T - \lambda I)$ 를 고유공간(eigenspace)이라 합니다.

정리 24.4 (고윳값의 동치 조건). $\lambda \in \mathbb{F}$ 에 대해 다음은 동치입니다.

$\lambda$ 는 $T$ 의 고윳값입니다.
$T - \lambda I$ 는 단사가 아닙니다.
$T - \lambda I$ 는 전사가 아닙니다.
$T - \lambda I$ 는 가역이 아닙니다.

증명. (1) $\iff$ (2)는 $Tv = \lambda v \iff (T - \lambda I)v = 0$ . (2) $\iff$ (3) $\iff$ (4)는 정리 22.16. ■

행렬식 대신 “가역이 아님”으로 고윳값을 판정했습니다.

정리 24.5 (서로 다른 고윳값의 고유벡터는 독립). $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ 이 서로 다른 고윳값이고 $v_k$ 가 각각의 고유벡터이면 $v_1, \ldots, v_m$ 은 일차독립입니다. 따라서 $T$ 의 고윳값은 많아야 $n$ 개입니다.

증명은 정리 16.7과 같습니다.

▶ 문제 24.1–24.4

24.3 고윳값의 존재

정리 24.6 (복소 공간의 연산자는 고윳값을 갖습니다). $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 이면 모든 $T \in \mathcal{L}(V)$ 는 고윳값을 갖습니다.

증명. $v \ne 0$ 을 아무거나 고릅니다. $n + 1$ 개의 벡터

v, Tv, T^2v, \ldots, T^nv

는 $n$ 차원 공간에서 일차종속입니다. 따라서 모두 0은 아닌 $a_0, \ldots, a_n$ 으로 $a_0v + a_1Tv + \cdots + a_nT^nv = 0$ 입니다. $v \ne 0$ 이므로 $a_1, \ldots, a_n$ 이 모두 0일 수는 없습니다(그러면 $a_0v = 0$ 에서 $a_0 = 0$ ). 따라서 다항식 $p(z) = a_0 + a_1z + \cdots + a_nz^n$ 은 상수가 아닙니다. 대수학의 기본정리로 인수분해하면

p(z) = c(z - \lambda_1) \cdots (z - \lambda_m) \quad (c \ne 0,\ m \ge 1).

정리 23.11에 의해

0 = p(T)v = c(T - \lambda_1I)(T - \lambda_2I) \cdots (T - \lambda_mI)v.

영이 아닌 $v$ 가 연산자들의 곱에 의해 0이 되었으므로, 적어도 하나의 $T - \lambda_jI$ 는 단사가 아닙니다. 그 $\lambda_j$ 가 고윳값입니다. ■

직관. $v$ 에 $T$ 를 계속 걸어 보면 $n$ 차원 공간 안에서 결국 “돌아오는” 관계가 생깁니다. 그 관계를 다항식으로 쓰고 인수분해하면, 어딘가에서 일차식 하나가 벡터를 죽입니다. 그 일차식이 고윳값을 알려 줍니다.

실수 공간에서는 실패합니다. $\mathbb{R}^2$ 의 $90^\circ$ 회전에는 고윳값이 없습니다. 증명에서 $p(z) = 1 + z^2$ 같은 다항식이 실수 범위에서 일차식으로 쪼개지지 않기 때문입니다. 다만 23장의 결과에 의해 실수 공간의 연산자도 언제나 1차원 또는 2차원 불변부분공간을 갖습니다(문제 24.6).

▶ 문제 24.5–24.6

24.4 최소다항식

정의 24.7 (최소다항식). $p(T) = 0$ 을 만족하는 모닉(monic) 다항식(최고차 계수가 1) 중 차수가 가장 작은 것을 $T$ 의 최소다항식(minimal polynomial)이라 하고 $m_T$ 로 씁니다.

정리 24.8 (최소다항식의 존재와 유일성). $T \in \mathcal{L}(V)$ 의 최소다항식은 존재하고 유일합니다.

증명. 존재: $\dim\mathcal{L}(V) = n^2$ 이므로 $I, T, T^2, \ldots, T^{n^2}$ ( $n^2 + 1$ 개)은 종속입니다. 따라서 $p(T) = 0$ 인 영이 아닌 다항식이 있고, 최고차 계수로 나누면 모닉입니다. 그런 것 중 차수가 가장 작은 것을 고릅니다. 유일: 차수가 같은 두 최소다항식 $p$ , $q$ 가 있으면 $p - q$ 는 $(p - q)(T) = 0$ 이고 차수가 더 작습니다. 영다항식이 아니면 최고차 계수로 나눠 더 작은 차수의 모닉 다항식이 되어 모순. 따라서 $p = q$ . ■

27장에서 $\deg m_T \le n$ 임을 보입니다(케일리–해밀턴 정리). 지금은 $n^2$ 이하라는 것만 알면 됩니다.

정리 24.9 (최소다항식은 모든 소멸다항식을 나눕니다). $q(T) = 0$ 인 것은 $m_T$ 가 $q$ 를 나누는 것과 동치입니다.

증명. (⇐) $q = m_Ts$ 이면 $q(T) = m_T(T)s(T) = 0$ . (⇒) 나눗셈 정리로 $q = m_Ts + r$ , $\deg r < \deg m_T$ . $r(T) = q(T) - m_T(T)s(T) = 0$ 입니다. $r \ne 0$ 이면 최소성에 모순이므로 $r = 0$ . ■

정리 24.10 (최소다항식의 근은 고윳값). $\lambda \in \mathbb{F}$ 가 $m_T$ 의 근인 것은 $\lambda$ 가 $T$ 의 고윳값인 것과 동치입니다.

증명. (⇒) $m_T(z) = (z - \lambda)q(z)$ 로 쓰면 $\deg q < \deg m_T$ 이므로 $q(T) \ne 0$ , 즉 $q(T)v \ne 0$ 인 $v$ 가 있습니다. $0 = m_T(T)v = (T - \lambda I)q(T)v$ 이므로 $q(T)v$ 가 고유벡터입니다. (⇐) $Tv = \lambda v$ ( $v \ne 0$ )이면 $0 = m_T(T)v = m_T(\lambda)v$ (문제 23.10)이므로 $m_T(\lambda) = 0$ . ■

예제 24.11.

$A = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ : $(A - 2I)(A - 3I) = O$ 이고 일차식 하나로는 0이 안 되므로 $m_A = (z - 2)(z - 3)$ .
$B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ : $(B - 2I)(B - 3I) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \ne O$ . $(B - 2I)^2(B - 3I) = O$ 이므로 $m_B = (z - 2)^2(z - 3)$ .

두 행렬은 고윳값이 같지만 최소다항식이 다릅니다. 최소다항식이 고윳값보다 더 많은 정보를 담고 있습니다. 16장에서 $A$ 는 대각화 가능, $B$ 는 불가능했습니다. 이 차이가 최소다항식의 중근으로 나타납니다(24.6절).

최소다항식을 구하는 실용적인 방법: 고윳값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ 를 구한 뒤, $(z - \lambda_1)^{e_1} \cdots (z - \lambda_k)^{e_k}$ 꼴에서 지수를 1부터 늘려 가며 0이 되는 가장 작은 것을 찾습니다. 정리 24.10에 의해 각 지수는 적어도 1입니다.

▶ 문제 24.7–24.10

24.5 위삼각행렬

정리 24.12 (위삼각의 조건). $V$ 의 기저 $v_1, \ldots, v_n$ 에 대해 다음은 동치입니다.

$\mathcal{M}(T)$ 는 위삼각입니다.
각 $k$ 에 대해 $Tv_k \in \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)$ .
각 $k$ 에 대해 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)$ 는 $T$ 에 대해 불변입니다.

증명. (1) $\iff$ (2): 제 $k$ 열이 $Tv_k$ 의 좌표이고, 위삼각이란 제 $k$ 열의 $k + 1$ 번째 이후가 0이라는 것입니다. (2) $\iff$ (3): (3)⇒(2)는 분명하고, (2)이면 $j \le k$ 에 대해 $Tv_j \in \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_j) \subseteq \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)$ . ■

위삼각행렬은 “점점 커지는 불변부분공간의 사슬” $\operatorname{span}(v_1) \subseteq \operatorname{span}(v_1, v_2) \subseteq \cdots$ 를 기록한 것입니다.

정리 24.13 (위삼각화 (슈어의 정리의 대수적 형태)). $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 이면 모든 $T \in \mathcal{L}(V)$ 는 어떤 기저에 대해 위삼각행렬을 갖습니다.

증명. $n$ 에 대한 귀납법. 정리 24.6으로 고유벡터 $v_1$ ( $Tv_1 = \lambda_1v_1$ )을 잡습니다. $U = \operatorname{span}(v_1)$ 은 불변이므로 몫공간 $V/U$ 위의 연산자

T/U \in \mathcal{L}(V/U), \qquad (T/U)(v + U) = Tv + U

가 잘 정의됩니다( $v + U = v' + U$ 이면 $v - v' \in U$ , $T(v - v') \in U$ 이므로 $Tv + U = Tv' + U$ ). $\dim V/U = n - 1$ 이므로 귀납 가정에 의해 $V/U$ 의 기저 $v_2 + U, \ldots, v_n + U$ 가 있어 각 $k$ 에 대해

(T/U)(v_k + U) \in \operatorname{span}(v_2 + U, \ldots, v_k + U).

이것은 $Tv_k - (a_2v_2 + \cdots + a_kv_k) \in U$ , 즉 $Tv_k \in \operatorname{span}(v_1, v_2, \ldots, v_k)$ 라는 뜻입니다. $v_1, \ldots, v_n$ 은 $V$ 의 기저이고(문제 24.11), 정리 24.12(2)를 만족합니다. ■

몫공간이 진가를 발휘하는 증명입니다. 고유벡터 하나를 찾으면, 그 방향을 “접어 버린” 작은 공간에서 같은 일을 반복합니다. 17장의 스펙트럴 정리는 같은 귀납이었지만 직교여공간을 썼습니다. 내적이 없으면 직교여공간 대신 몫공간을 씁니다.

정리 24.14 (위삼각행렬에서 읽는 것). $\mathcal{M}(T)$ 가 위삼각이고 대각성분이 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 이면

$T$ 의 고윳값은 정확히 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 입니다.
$T$ 가 가역인 것은 모든 $\lambda_k \ne 0$ 인 것과 동치입니다.
$(T - \lambda_1I) \cdots (T - \lambda_nI) = 0$ .

증명. (2) 어떤 $\lambda_k = 0$ 이면 $T$ 는 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)$ 를 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_{k-1})$ 안으로 보내므로 그 부분공간에서 단사가 아닙니다(차원이 줄어듭니다). 모두 0이 아니면 $Tv_k = \lambda_kv_k$ + (앞의 것들)에서 귀납적으로 모든 $v_k$ 가 치역에 있어 전사. (1) $T - \lambda I$ 의 행렬은 대각이 $\lambda_k - \lambda$ 인 위삼각입니다. (2)에 의해 $\lambda$ 가 고윳값 $\iff$ 어떤 $\lambda_k = \lambda$ . (3) $(T - \lambda_kI)$ 는 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)$ 를 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_{k-1})$ 로 보냅니다( $k$ 번째 대각이 0이 되므로). 오른쪽부터 차례로 적용하면 $V = \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_n)$ 이 한 단계씩 줄어 결국 $\{0\}$ 이 됩니다. ■

(3)은 $q(z) = (z - \lambda_1) \cdots (z - \lambda_n)$ 이 $q(T) = 0$ 을 만족한다는 것입니다. 이 $q$ 가 27장의 특성다항식이고, (3)이 케일리–해밀턴 정리이며, 그래서 $\deg m_T \le n$ 입니다.

▶ 문제 24.11–24.13

24.6 대각화 가능성

정리 24.15 (대각화 가능의 동치 조건). $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ 이 $T$ 의 서로 다른 고윳값 전부일 때, 다음은 동치입니다.

$T$ 는 대각화 가능합니다(고유벡터로 된 기저가 있습니다).
$V = E(\lambda_1, T) \oplus \cdots \oplus E(\lambda_m, T)$ .
$\dim V = \dim E(\lambda_1, T) + \cdots + \dim E(\lambda_m, T)$ .
최소다항식이 서로 다른 일차식들의 곱입니다: $m_T(z) = (z - \lambda_1) \cdots (z - \lambda_m)$ .

증명. 고유공간들의 합은 언제나 직합입니다(정리 24.5를 각 고유공간의 원소에 적용). 따라서 합의 차원은 각 차원의 합이고, (1) $\iff$ (2) $\iff$ (3)이 나옵니다.

(1)⇒(4): 고유벡터 기저의 각 $v$ 에 대해 $(T - \lambda_1I) \cdots (T - \lambda_mI)v = 0$ 입니다( $v$ 의 고윳값에 해당하는 인수가 $v$ 를 죽이고, 인수들은 교환합니다). 따라서 이 다항식이 $T$ 를 0으로 만듭니다. 정리 24.10에 의해 $m_T$ 는 각 $(z - \lambda_j)$ 를 인수로 가지므로 이것이 최소다항식입니다.

(4)⇒(2): 라그랑주 다항식

L_j(z) = \prod_{i \ne j}\frac{z - \lambda_i}{\lambda_j - \lambda_i}

을 생각합시다. $L_j(\lambda_k) = 1$ ( $k = j$ ), $0$ ( $k \ne j$ )이므로 $\sum_j L_j(z) - 1$ 은 차수 $m - 1$ 이하이고 근이 $m$ 개, 즉 영다항식입니다(따름정리 23.4). 따라서

I = L_1(T) + \cdots + L_m(T).

모든 $v$ 를 $v = \sum_j L_j(T)v$ 로 쓸 수 있습니다. 그런데 $(T - \lambda_jI)L_j(T) = c_jm_T(T) = 0$ ( $c_j$ 는 상수)이므로 $L_j(T)v \in E(\lambda_j, T)$ 입니다. 따라서 $V = \sum_j E(\lambda_j, T)$ 이고, 이 합은 직합입니다. ■

(4)⇒(2)의 증명에서 $L_j(T)$ 는 $V$ 를 $j$ 번째 고유공간으로 사영하는 연산자입니다. 대칭행렬의 스펙트럴 분해 $S = \sum\lambda_j$ (사영)를 내적 없이 만든 것입니다.

예제 24.16.

$A^2 = A$ (사영)이면 $m_A$ 는 $z^2 - z = z(z - 1)$ 을 나누므로 중근이 없고, 대각화 가능합니다.
$A^k = I$ (어떤 $k \ge 1$ , $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ )이면 $m_A$ 는 $z^k - 1$ 을 나누고, $z^k - 1$ 은 서로 다른 $k$ 개의 근(1의 $k$ 제곱근)을 가지므로 대각화 가능합니다.
$N^2 = 0$ , $N \ne 0$ 이면 $m_N = z^2$ 이므로 대각화 불가능합니다.

고윳값을 하나도 계산하지 않고 대각화 가능성을 판정했습니다.

▶ 문제 24.14–24.16

24.7 교환하는 연산자

정리 24.17 (교환하면 공통 고유벡터). $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 이고 $ST = TS$ 이면 $S$ 와 $T$ 는 공통 고유벡터를 갖습니다.

증명. $T$ 의 고윳값 $\lambda$ 를 잡읍시다. $E = E(\lambda, T)$ 는 $S$ 에 대해 불변입니다: $v \in E$ 이면 $T(Sv) = S(Tv) = \lambda Sv$ 이므로 $Sv \in E$ . 정리 24.6을 $S|_E \in \mathcal{L}(E)$ 에 적용하면 $S$ 의 고유벡터 $v \in E$ 가 있고, 이것은 $T$ 의 고유벡터이기도 합니다. ■

같은 논리로, 교환하는 두 대각화 가능 연산자는 동시에 대각화됩니다(같은 기저에서 둘 다 대각). 양자역학에서 “동시에 측정할 수 있는 물리량”이 교환하는 연산자로 표현되는 이유가 이것입니다.

▶ 문제 24.17

쓰이는 곳. 동역학계에서 불변부분공간은 '한번 들어가면 빠져나오지 못하는 방향'이고, 최소다항식은 행렬 함수 $f(A)$ 를 계산하는 데 쓰입니다.

이 장의 요약

불변부분공간: $T$ 가 밖으로 내보내지 않는 부분공간. 1차원 불변부분공간 = 고유벡터.
$\lambda$ 가 고윳값 $\iff$ $T - \lambda I$ 가 단사/전사/가역이 아닙니다.
복소 유한차원 공간의 연산자는 고윳값을 갖습니다( $v, Tv, \ldots, T^nv$ 의 종속관계 + 대수학의 기본정리).
최소다항식 $m_T$ : $T$ 를 0으로 만드는 가장 작은 모닉 다항식. 다른 소멸다항식을 모두 나누고, 근은 정확히 고윳값.
$\mathbb{C}$ 위에서 모든 연산자는 위삼각화됩니다. 대각이 고윳값이고, $\prod(T - \lambda_kI) = 0$ .
대각화 가능 $\iff$ 고유공간들의 직합이 $V$ $\iff$ $m_T$ 가 중근이 없습니다.
교환하는 연산자는 공통 고유벡터를 갖습니다.

문제

24.1 [계산]

$\mathbb{R}^2$ 에서 다음 연산자의 불변부분공간을 모두 구합니다. (a) $90^\circ$ 회전 (b) $\operatorname{diag}(2, 3)$ (c) $\operatorname{diag}(2, 2)$

풀이

(a) $\{0\}$ , $\mathbb{R}^2$ 뿐(1차원 불변부분공간 = 고유벡터가 없습니다). (b) $\{0\}$ , $x$ 축, $y$ 축, $\mathbb{R}^2$ . (c) $2I$ 이므로 모든 부분공간.

24.2 [증명]

$ST = TS$ 이면 $\operatorname{null} S$ 와 $\operatorname{range} S$ 는 $T$ 에 대해 불변임을 보입니다.

풀이

$v \in \operatorname{null} S$ 이면 $S(Tv) = T(Sv) = T0 = 0$ . $Sv \in \operatorname{range} S$ 이면 $T(Sv) = S(Tv) \in \operatorname{range} S$ .

24.3 [계산]

(a) 미분 $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_3(\mathbb{R}))$ 의 고윳값과 고유벡터를 구합니다. (b) $\mathbb{F}^\infty$ 의 왼쪽 밀기 $L(x_1, x_2, \ldots) = (x_2, x_3, \ldots)$ 에 대해 모든 $\lambda \in \mathbb{F}$ 가 고윳값임을 보입니다. (c) 오른쪽 밀기 $R(x_1, x_2, \ldots) = (0, x_1, x_2, \ldots)$ 는 고윳값이 없음을 보입니다.

풀이

(a) $Dp = \lambda p$ 에서 $\lambda \ne 0$ 이면 차수 비교로 $p = 0$ . $\lambda = 0$ : 상수 다항식. 고윳값은 0뿐.

(b) $v = (1, \lambda, \lambda^2, \ldots)$ 이면 $Lv = (\lambda, \lambda^2, \ldots) = \lambda v$ .

(c) $Rv = \lambda v$ 이면 첫 성분 $0 = \lambda x_1$ , 다음 $x_1 = \lambda x_2$ , $\cdots$ . $\lambda = 0$ 이면 $Rv = 0$ 에서 $v = 0$ . $\lambda \ne 0$ 이면 $x_1 = 0$ , 그다음 $x_2 = x_1/\lambda = 0$ , $\cdots$ , $v = 0$ .

24.4 [증명]

$T$ 가 가역이면 $\lambda$ 가 $T$ 의 고윳값인 것과 $\frac1\lambda$ 이 $T^{-1}$ 의 고윳값인 것이 동치이고, 고유벡터도 같음을 보입니다.

풀이

$Tv = \lambda v$ 이면 $T$ 가 가역이라 $\lambda \ne 0$ ( $v \ne 0$ ), $v = T^{-1}Tv = \lambda T^{-1}v$ 이므로 $T^{-1}v = \frac1\lambda v$ . 역방향도 같은 논리.

24.5 [계산]

$T \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^2)$ , $T = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 에 정리 24.6의 증명을 그대로 적용해 봅니다. $v = e_1$ 에서 시작해 종속관계와 다항식을 구하고, 인수분해에서 고유벡터를 찾습니다.

풀이

$v = e_1$ , $Tv = e_2$ , $T^2v = -e_1$ . 관계: $T^2v + v = 0$ , $p(z) = z^2 + 1 = (z - i)(z + i)$ . $(T - iI)(T + iI)e_1 = 0$ . $(T + iI)e_1 = (i, 1) \ne 0$ 이므로 이것이 고윳값 $i$ 의 고유벡터. 확인: $T(i, 1) = (-1, i) = i(i, 1)$ .

24.6 [도전]

$V$ 가 유한차원 실벡터공간이면 모든 $T \in \mathcal{L}(V)$ 는 1차원 또는 2차원 불변부분공간을 가짐을 보입니다.

힌트. 정리 24.6의 증명을 따라가되, 다항식을 실수 범위에서 인수분해합니다(정리 23.8).

풀이

$v \ne 0$ , $v, Tv, \ldots, T^nv$ 의 종속관계에서 상수가 아닌 실다항식 $p$ 로 $p(T)v = 0$ . $p$ 를 실수 일차식과 이차식으로 인수분해하면 $p(T)$ 는 그 인수들의 곱이고, 어떤 인수 $q(T)$ 가 단사가 아닙니다. $q(z) = z - \lambda$ 이면 고유벡터, 1차원 불변. $q(z) = z^2 + bz + c$ 이면 $q(T)u = 0$ 인 $u \ne 0$ 이 있고 $T^2u = -bTu - cu$ 이므로 $\operatorname{span}(u, Tu)$ 가 불변(차원 1 또는 2).

24.7 [계산] · 확인 문제

최소다항식을 구합니다. 표에는 최소다항식의 차수를 적습니다.

\text{(a)}\ I_2 \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \operatorname{diag}(2, 3, 3) \qquad \text{(e)}\ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

(a)	(b)	(c)	(d)	(e)
[?]	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

(a) $z - 1$ . (b) $(z - 1)^2$ ( $A - I \ne O$ , $(A - I)^2 = O$ ). (c) $z^2 - 1$ (고윳값 $\pm1$ , 둘 다 필요; $A^2 = I$ ). (d) $(z - 2)(z - 3)$ . (e) $z^3$ ( $N^2 \ne O$ , $N^3 = O$ ).

24.8 [계산] · 확인 문제

미분 $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_3(\mathbb{R}))$ 의 최소다항식을 구합니다. 그 차수를 적습니다.

정답

풀이

$D^4 = 0$ 이고 $D^3x^3 = 6 \ne 0$ 이므로 $m_D = z^4$ . 이 경우 $\deg m_D = \dim V$ .

24.9 [증명]

$T$ 가 가역인 것은 $m_T$ 의 상수항이 0이 아닌 것과 동치임을 보입니다. 이때 $T^{-1}$ 은 $T$ 의 다항식으로 쓸 수 있음을 보입니다.

풀이

상수항 $= m_T(0)$ 이고, $m_T(0) = 0 \iff 0$ 이 고윳값 $\iff$ $T$ 가 가역이 아님. $m_T(z) = z^k + \cdots + a_1z + a_0$ , $a_0 \ne 0$ 이면 $T(T^{k-1} + \cdots + a_1I) = -a_0I$ 이므로 $T^{-1} = -\frac{1}{a_0}(T^{k-1} + \cdots + a_1I)$ .

24.10 [계산] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 의 최소다항식을 구하고, 문제 24.9의 방법으로 $A^{-1}$ 을 $A$ 의 다항식으로 구합니다. 곱해서 확인합니다.

	1열	2열
1행	[?]	[?]
2행	[?]	[?]

정답

1
-1/2
0
1/2

풀이

$m_A = (z - 1)(z - 2) = z^2 - 3z + 2$ . $A^{-1} = -\frac12(A - 3I) = \frac12\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 \\ 0 & \frac12 \end{bmatrix}$ . 확인: $AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 + \frac12 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ .

24.11 [증명]

정리 24.13의 증명에서 $v_1, \ldots, v_n$ 이 $V$ 의 기저임을 보입니다.

풀이

$n$ 개이므로 독립만 보이면 됩니다. $\sum a_kv_k = 0$ 이면 $V/U$ 에서 $\sum_{k \ge 2} a_k(v_k + U) = 0 + U$ ( $v_1 \in U$ )이므로 $a_2 = \cdots = a_n = 0$ . 그러면 $a_1v_1 = 0$ , $a_1 = 0$ .

24.12 [계산] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ 을 실수 기저로 위삼각화합니다. 고유벡터 하나를 $v_1 = (1, -1)$ 로 잡고, $v_2 = (0, 1)$ 로 잡습니다. 그 기저에서의 행렬을 적습니다.

	1열	2열
1행	[?]	[?]
2행	[?]	[?]

정답

풀이

$\operatorname{tr} = 4$ , $\det = 4$ : $(\lambda - 2)^2$ . $\lambda = 2$ : $A - 2I = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $v_1 = (1, -1)$ . $v_2 = (0, 1)$ . $Av_2 = (-1, 3) = -1 \cdot v_1 + 2v_2$ . 행렬 $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ .

24.13 [증명]

$T$ 가 어떤 기저에서 대각성분이 모두 0인 위삼각행렬을 가지면 $T^n = 0$ 임을 보입니다.

풀이

정리 24.14(3)에서 모든 $\lambda_k = 0$ 이므로 $T^n = 0$ .

24.14 [계산] · 확인 문제

최소다항식으로 대각화 가능성을 판정합니다. 대각화 가능하면 O, 아니면 X를 적습니다.

행렬	대각화 가능한가
(a) $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$	[?]
(b) $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$	[?]
(c) $A^3 = A$ 를 만족하는 $A$	[?]
(d) $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 을 $\mathbb{R}^2$ 위에서 볼 때	[?]
(d) 같은 행렬을 $\mathbb{C}^2$ 위에서 볼 때	[?]

정답

X
O
O
X
O

풀이

(a) $m = (z - 1)^2$ : 불가능. (b) $m = (z - 1)(z - 2)$ : 가능. (c) $m$ 이 $z^3 - z = z(z - 1)(z + 1)$ 을 나누므로 중근 없음: 가능. (d) $m = z^2 + 1$ . $\mathbb{R}$ 에서는 일차식의 곱이 아니므로(고윳값이 없습니다) 불가능, $\mathbb{C}$ 에서는 $(z - i)(z + i)$ 로 가능.

24.15 [증명]

$T$ 가 대각화 가능하고 $U$ 가 $T$ 에 대해 불변이면, $T|_U$ 도 대각화 가능함을 보입니다.

풀이

$m_T(T|_U) = m_T(T)|_U = 0$ 이므로 $m_{T|_U}$ 는 $m_T$ 를 나눕니다(정리 24.9). $m_T$ 가 중근 없는 일차식들의 곱이면 그 인수도 그렇습니다.

24.16 [계산] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ (고윳값 3, 2)에 대해 라그랑주 다항식으로 $L_1(A)$ , $L_2(A)$ 를 구합니다. 각각이 고유벡터 $(2, 1)$ , $(1, 1)$ 에 무엇을 하는지 확인하고, $L_1(A) + L_2(A) = I$ 를 확인합니다. 표에는 $L_1(A)$ ( $\lambda_1 = 3$ )를 적습니다.

	1열	2열
1행	[?]	[?]
2행	[?]	[?]

정답

2
-2
1
-1

풀이

$\lambda_1 = 3$ , $\lambda_2 = 2$ . $L_1(A) = \frac{A - 2I}{3 - 2} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ , $L_2(A) = \frac{A - 3I}{2 - 3} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ . $L_1(A)(2, 1) = (2, 1)$ , $L_1(A)(1, 1) = (0, 0)$ : 고윳값 3의 고유공간으로의 사영. $L_2(A)$ 는 반대. 합 $= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

24.17 [도전]

$S$ , $T$ 가 대각화 가능하고 $ST = TS$ 이면, 둘 다 대각행렬이 되는 기저가 존재함을 보입니다.

힌트. $T$ 의 각 고유공간은 $S$ 에 대해 불변입니다. 문제 24.15를 씁니다.

풀이

$V = \bigoplus E(\lambda_j, T)$ . 각 $E_j = E(\lambda_j, T)$ 는 $S$ 에 대해 불변(문제 24.2와 같은 논리)이고, 문제 24.15에 의해 $S|_{E_j}$ 는 대각화 가능합니다. 각 $E_j$ 에서 $S$ 의 고유벡터 기저를 잡아 합치면, 그 벡터들은 $T$ 의 고유벡터이기도 합니다( $E_j$ 안에 있으므로).