26장. 내적공간 위의 연산자

요약

수반연산자와 켤레전치, 자기수반 연산자와 정규 연산자, 복소·실수 스펙트럴 정리, 양연산자와 제곱근, 등거리사상, 극분해와 연산자 버전의 특잇값 분해

내적공간 위의 선형사상 가운데 특히 좋은 성질을 가진 것들(자기수반, 정규, 유니터리)을 다룹니다. 17장의 '대칭행렬은 직교 대각화된다'를 복소수와 추상 공간으로 넓힌 스펙트럼 정리가 중심입니다. 양자역학에서 관측 가능한 양은 자기수반 연산자이고, 시간 변화는 유니터리 연산자입니다(심화·고급).

26.1 전치행렬의 정체

질문. 17장에서 대칭행렬은 정규직교 고유벡터로 대각화되었습니다. 그런데 “대칭”은 행렬의 모양( $a_{ij} = a_{ji}$ )에 대한 조건입니다. 기저를 바꾸면 행렬 모양이 바뀌는데, 기저와 무관한 연산자의 성질로 “대칭”을 말할 수 있을까요? 그리고 대칭이 아닌 행렬 중에도 정규직교 고유벡터를 갖는 것이 있을까(예: 회전)?

5장에서 $(A\mathbf{x}) \cdot \mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot (A^T\mathbf{y})$ 를 보았습니다. 전치는 “내적 안에서 반대편으로 넘길 때 생기는 행렬”입니다. 이 성질을 정의로 삼으면 기저 없이 전치(수반)를 정의할 수 있습니다. 그러면 “대칭”은 “자기수반”이 되고, 정규직교 고유벡터를 갖는 연산자의 정확한 조건이 “정규”임을 증명할 수 있습니다. 이 장이 2부의 17–18장에 대한 3부의 답입니다.

이 장에서 $V$ , $W$ 는 유한차원 내적공간입니다.

26.2 수반연산자

정의 26.1 (수반). $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 의 수반(adjoint) $T^* \in \mathcal{L}(W, V)$ 는 모든 $v \in V$ , $w \in W$ 에 대해

\langle Tv, w \rangle = \langle v, T^*w \rangle

예: $\mathbb{R}^n$ 에서 행렬 $A$ 로 주어진 $T$ 의 수반은 전치행렬 $A^T$ 입니다: $\langle Ax, y\rangle = y^TAx = (A^Ty)^Tx = \langle x, A^Ty\rangle$ . 복소 공간에서는 켤레전치 $A^* = \overline{A}^T$ 입니다.

를 만족하는 사상입니다.

이런 $T^*$ 가 존재하고 유일하다는 것은 리스 표현 정리에서 나옵니다. $w$ 를 고정하면 $v \mapsto \langle Tv, w \rangle$ 는 $V$ 위의 선형범함수이므로, 정리 25.13에 의해 $\langle Tv, w \rangle = \langle v, u \rangle$ 인 $u$ 가 유일하게 있습니다. 그 $u$ 를 $T^*w$ 로 정의합니다. $T^*$ 가 선형임은 문제 26.1에서 확인합니다.

정리 26.2 (수반의 행렬). $V$ , $W$ 의 정규직교 기저에 대해 $\mathcal{M}(T^*)$ 는 $\mathcal{M}(T)$ 의 켤레전치 $\mathcal{M}(T)^* = \overline{\mathcal{M}(T)}^T$ 입니다.

증명. 정규직교 기저 $e_1, \ldots, e_n$ ( $V$ ), $f_1, \ldots, f_m$ ( $W$ )에 대해 $\mathcal{M}(T)_{jk} = \langle Te_k, f_j \rangle$ 입니다(정리 25.9). 따라서

\mathcal{M}(T^*)_{kj} = \langle T^*f_j, e_k \rangle = \overline{\langle e_k, T^*f_j \rangle} = \overline{\langle Te_k, f_j \rangle} = \overline{\mathcal{M}(T)_{jk}}.

■

정규직교 기저가 아니면 성립하지 않습니다(문제 26.3). 실수 공간에서는 켤레가 의미 없으므로 수반은 전치입니다.

정리 26.3 (수반의 성질).

$(S + T)^* = S^* + T^*$ , $(aT)^* = \bar aT^*$ , $(T^*)^* = T$ , $I^* = I$ .
$(ST)^* = T^*S^*$ .
$\operatorname{null} T^* = (\operatorname{range} T)^\perp$ , $\operatorname{range} T^* = (\operatorname{null} T)^\perp$ .

증명. (2) $\langle STv, w \rangle = \langle Tv, S^*w \rangle = \langle v, T^*S^*w \rangle$ . (3) $w \in \operatorname{null} T^* \iff \langle v, T^*w \rangle = 0\ \forall v \iff \langle Tv, w \rangle = 0\ \forall v \iff w \in (\operatorname{range} T)^\perp$ . 둘째는 첫째를 $T^*$ 에 적용하고 직교여공간을 취합니다. 나머지는 문제 26.2. ■

(3)은 13장의 $N(A^T) = C(A)^\perp$ 을 기저 없이 쓴 것입니다. 4대 부분공간의 관계가 수반의 정의에서 바로 나옵니다.

▶ 문제 26.1–26.3

26.3 자기수반 연산자와 정규 연산자

정의 26.4 (자기수반). $T^* = T$ 인 $T \in \mathcal{L}(V)$ 를 자기수반(self-adjoint)이라 합니다. 즉 모든 $v, w$ 에 대해 $\langle Tv, w \rangle = \langle v, Tw \rangle$ .

실수 공간에서 정규직교 기저에 대한 행렬이 대칭인 것, 복소 공간에서는 에르미트(Hermitian) ( $A^* = A$ )인 것과 같습니다. 이제 “대칭”이 기저와 무관한 성질이 되었습니다.

예: $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ 는 대칭이라 자기수반이고, $\begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 2 \end{bmatrix}$ 는 에르미트라 자기수반입니다. $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 은 전치하면 달라지므로 자기수반이 아닙니다.

정리 26.5 (자기수반의 고윳값은 실수). 자기수반 연산자의 고윳값은 모두 실수입니다.

증명. $Tv = \lambda v$ , $v \ne 0$ 이면 $\lambda\lVert v \rVert^2 = \langle Tv, v \rangle = \langle v, Tv \rangle = \bar\lambda\lVert v \rVert^2$ . ■

17장의 정리 17.1보다 증명이 짧습니다. 수반의 정의가 필요한 계산을 대신해 줍니다.

정리 26.6 (복소 공간에서 $\langle Tv, v \rangle = 0$ ). $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 이고 모든 $v$ 에 대해 $\langle Tv, v \rangle = 0$ 이면 $T = 0$ 입니다.

증명. 모든 $u, w$ 에 대해

\langle Tu, w \rangle = \frac{\langle T(u + w), u + w \rangle - \langle T(u - w), u - w \rangle}{4} + i\,\frac{\langle T(u + iw), u + iw \rangle - \langle T(u - iw), u - iw \rangle}{4}

입니다(우변을 전개해 확인). 가정에 의해 우변이 0이므로 $\langle Tu, w \rangle = 0$ , $w = Tu$ 로 두면 $Tu = 0$ . ■

실수 공간에서는 거짓입니다. $\mathbb{R}^2$ 의 $90^\circ$ 회전은 모든 $v$ 를 $v$ 에 수직인 벡터로 보내므로 $\langle Tv, v \rangle = 0$ 이지만 $T \ne 0$ 입니다.

정의 26.7 (정규 연산자). $TT^* = T^*T$ 인 $T \in \mathcal{L}(V)$ 를 정규(normal)라 합니다.

자기수반 연산자는 정규입니다. 회전처럼 자기수반이 아닌 정규 연산자도 있습니다. $R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 이면 $R^* = R^T = -R$ 이고 $RR^* = I = R^*R$ 입니다.

정리 26.8 (정규 연산자의 성질). $T$ 가 정규이면

모든 $v$ 에 대해 $\lVert Tv \rVert = \lVert T^*v \rVert$ .
$Tv = \lambda v$ 이면 $T^*v = \bar\lambda v$ .
서로 다른 고윳값의 고유벡터는 수직입니다.

증명. (1) $\lVert Tv \rVert^2 - \lVert T^*v \rVert^2 = \langle T^*Tv, v \rangle - \langle TT^*v, v \rangle = \langle (T^*T - TT^*)v, v \rangle = 0$ . (2) $T - \lambda I$ 도 정규이므로 (1)에 의해 $\lVert (T - \lambda I)v \rVert = \lVert (T^* - \bar\lambda I)v \rVert$ . 좌변이 0이므로 우변도 0. (3) $Tu = \alpha u$ , $Tv = \beta v$ , $\alpha \ne \beta$ 이면 (2)에 의해 $(\alpha - \beta)\langle u, v \rangle = \langle Tu, v \rangle - \langle u, T^*v \rangle = 0$ . ■

▶ 문제 26.4–26.7

26.4 스펙트럴 정리

정리 26.9 (복소 스펙트럴 정리). $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 일 때, $T \in \mathcal{L}(V)$ 가 정규인 것은 $V$ 가 $T$ 의 고유벡터로 된 정규직교 기저를 갖는 것과 동치입니다.

증명. (⇐) 그 기저에서 $\mathcal{M}(T)$ 가 대각이고, $\mathcal{M}(T^*)$ 는 그 켤레전치이므로 역시 대각입니다. 대각행렬끼리는 교환하므로 $TT^* = T^*T$ .

(⇒) 슈어의 정리(정리 25.12)에 의해 정규직교 기저 $e_1, \ldots, e_n$ 에서 $A = \mathcal{M}(T)$ 는 위삼각입니다. 이 $A$ 가 실은 대각임을 보입시다. $A$ 의 첫째 열은 $(a_{11}, 0, \ldots, 0)$ 이므로 $\lVert Te_1 \rVert^2 = \lvert a_{11} \rvert^2$ . $A^*$ 의 첫째 열은 $A$ 의 첫째 행의 켤레이므로 $\lVert T^*e_1 \rVert^2 = \lvert a_{11} \rvert^2 + \lvert a_{12} \rvert^2 + \cdots + \lvert a_{1n} \rvert^2$ . 정리 26.8(1)에 의해 두 값이 같으므로 $a_{12} = \cdots = a_{1n} = 0$ . 둘째 행에도 같은 논리를 쓰면( $e_2$ 에 대해, 이제 $a_{12} = 0$ 임을 알고) $a_{23} = \cdots = a_{2n} = 0$ . 이렇게 계속하면 대각선 위가 모두 0입니다. ■

정리 26.10 (실수 스펙트럴 정리). $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ 일 때, $T \in \mathcal{L}(V)$ 가 자기수반인 것은 $V$ 가 $T$ 의 고유벡터로 된 정규직교 기저를 갖는 것과 동치입니다.

증명. (⇐) 그 기저에서 행렬이 대각, 즉 대칭입니다. 정리 26.2에 의해 $T^* = T$ .

(⇒) 먼저 $T$ 가 실수 고윳값을 가짐을 보입니다. 24장의 존재 증명을 따라 $v \ne 0$ 에 대해 $p(T)v = 0$ 인 실다항식 $p$ 를 잡고 실수 범위에서 인수분해합니다. 판별식이 음인 이차 인수 $x^2 + bx + c$ ( $b^2 < 4c$ )에 대해 $T^2 + bT + cI$ 는 단사입니다: $u \ne 0$ 이면

\begin{aligned} \langle (T^2 + bT + cI)u, u \rangle &= \lVert Tu \rVert^2 + b\langle Tu, u \rangle + c\lVert u \rVert^2 \ge \lVert Tu \rVert^2 - \lvert b \rvert\lVert Tu \rVert\lVert u \rVert + c\lVert u \rVert^2 \\ &= \left(\lVert Tu \rVert - \frac{\lvert b \rvert\lVert u \rVert}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4}\right)\lVert u \rVert^2 > 0. \end{aligned}

(첫 등호에서 $\langle T^2u, u \rangle = \langle Tu, Tu \rangle$ 로 자기수반을 썼고, 부등호에서 코시–슈바르츠를 썼습니다.) 따라서 $p(T)v = 0$ 을 만드는 것은 일차 인수 중 하나이고, 실수 고윳값과 고유벡터 $e_1$ (단위벡터)이 있습니다.

$U = \operatorname{span}(e_1)$ 이라 하면 $U^\perp$ 는 $T$ 에 대해 불변입니다: $w \in U^\perp$ 이면 $\langle Tw, e_1 \rangle = \langle w, Te_1 \rangle = \lambda\langle w, e_1 \rangle = 0$ . $T|_{U^\perp}$ 도 자기수반이므로 귀납 가정에 의해 $U^\perp$ 에 정규직교 고유벡터 기저가 있습니다. $e_1$ 과 합치면 됩니다. ■

17장의 정리 17.3이 기저 없이, 그리고 복소 공간으로 일반화되어 증명되었습니다. 두 정리를 비교하면 이렇습니다.

복소 공간: 정규 $\iff$ 정규직교 고유벡터 기저. (고윳값은 복소수일 수 있습니다.)
실수 공간: 자기수반 $\iff$ 정규직교 고유벡터 기저. (고윳값은 실수입니다.)

실수 공간에서 회전은 정규이지만 실수 고유벡터가 없으므로 대각화되지 않습니다. 복소수로 보면 고윳값 $e^{\pm i\theta}$ 로 대각화됩니다(16.7절).

▶ 문제 26.8–26.10

26.5 양연산자와 제곱근

정의 26.11 (양연산자). $T$ 가 자기수반이고 모든 $v$ 에 대해 $\langle Tv, v \rangle \ge 0$ 이면 양연산자(positive operator)라 합니다.

17장의 양반정치 행렬입니다. (여기서 “양”은 $\ge 0$ 을 포함합니다. $> 0$ 이면 “양정치”라 합니다.)

예: $T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 이면 $\langle Tv, v\rangle = 2x^2 \ge 0$ 이라 양연산자입니다. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 은 $v = (0, 1)$ 에서 $\langle Tv, v\rangle = -1$ 이라 양연산자가 아닙니다.

정리 26.12 (양연산자의 동치 조건). 다음은 동치입니다.

$T$ 는 양연산자입니다.
$T$ 는 자기수반이고 고윳값이 모두 $\ge 0$ 입니다.
$T = R^2$ 인 양연산자 $R$ 이 있습니다.
$T = S^*S$ 인 $S \in \mathcal{L}(V)$ 가 있습니다.

또 (3)의 $R$ 은 유일하며 $\sqrt{T}$ 로 씁니다.

증명. (1)⇒(2): $Tv = \lambda v$ 이면 $0 \le \langle Tv, v \rangle = \lambda\lVert v \rVert^2$ . (2)⇒(3): 스펙트럴 정리로 $Te_j = \lambda_je_j$ (정규직교). $Re_j = \sqrt{\lambda_j}\,e_j$ 로 정의합니다. (3)⇒(4): $S = R$ ( $R^* = R$ ). (4)⇒(1): $(S^*S)^* = S^*S$ 이고 $\langle S^*Sv, v \rangle = \lVert Sv \rVert^2 \ge 0$ . 유일성은 문제 26.12. ■

양연산자는 음이 아닌 실수의 유사체입니다. 실수 $x \ge 0$ 이 $y^2$ ( $y \ge 0$ )으로 유일하게 쓰이고, $\bar zz$ 꼴인 것과 같습니다.

26.6 등거리사상

정의 26.13 (등거리사상). 모든 $v$ 에 대해 $\lVert Sv \rVert = \lVert v \rVert$ 인 $S \in \mathcal{L}(V)$ 를 등거리사상(isometry)이라 합니다. 복소 공간에서는 유니터리(unitary), 실수 공간에서는 직교(orthogonal) 연산자라고도 합니다.

예: 회전 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ 와 반사 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 는 길이를 바꾸지 않으므로 등거리사상입니다. $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 은 $(1, 0)$ 의 길이를 2로 늘이므로 아닙니다.

정리 26.14 (등거리사상의 동치 조건). 다음은 동치입니다.

$S$ 는 등거리사상입니다.
모든 $u, v$ 에 대해 $\langle Su, Sv \rangle = \langle u, v \rangle$ .
$S^*S = I$ .
$S$ 는 어떤(또는 모든) 정규직교 기저를 정규직교 목록으로 보냅니다.
$S$ 는 가역이고 $S^{-1} = S^*$ .

증명. (1)⇒(2): 편극 항등식(문제 25.6과 그 복소 버전)으로 내적은 노름으로 표현됩니다. (2)⇒(3): $\langle (S^*S - I)u, v \rangle = 0$ 이 모든 $u, v$ 에 대해 성립. (3)⇒(5): 유한차원에서 한쪽 역이면 역입니다. (5)⇒(4): $\langle Se_j, Se_k \rangle = \langle e_j, S^*Se_k \rangle = \delta_{jk}$ . (4)⇒(1): $\lVert Sv \rVert^2 = \left\lVert \sum \langle v, e_j \rangle Se_j \right\rVert^2 = \sum \lvert \langle v, e_j \rangle \rvert^2 = \lVert v \rVert^2$ . ■

행렬로는 $Q^*Q = I$ , 14장의 직교행렬의 복소 버전(유니터리 행렬(unitary matrix))입니다. 등거리사상은 정규이므로 복소 스펙트럴 정리에 의해 정규직교 고유벡터 기저를 갖고, 고윳값은 절댓값이 1입니다( $\lVert \lambda v \rVert = \lVert v \rVert$ ). 즉 유니터리 연산자는 서로 수직인 방향들 각각을 복소평면의 단위원 위의 수만큼 “돌리는” 것입니다.

직관. 복소수의 세 종류와 연산자의 세 종류가 대응합니다.

복소수	연산자	고윳값
실수 ( $\bar z = z$ )	자기수반 ( $T^* = T$ )	실수
음이 아닌 실수	양연산자	$\ge 0$
절댓값 1 ( $\bar zz = 1$ )	등거리 ( $S^*S = I$ )	$\lvert \lambda \rvert = 1$

▶ 문제 26.11–26.13

26.7 극분해와 특잇값 분해

복소수는 $z = e^{i\theta}\lvert z \rvert$ (회전 × 크기)로 쓰입니다. 연산자도 그렇습니다.

정리 26.15 (극분해). 모든 $T \in \mathcal{L}(V)$ 는 등거리사상 $S$ 에 대해

T = S\sqrt{T^*T}

로 쓸 수 있습니다.

증명. $\lVert \sqrt{T^*T}v \rVert^2 = \langle T^*Tv, v \rangle = \lVert Tv \rVert^2$ 이므로, $\sqrt{T^*T}v \mapsto Tv$ 는 $\operatorname{range}\sqrt{T^*T}$ 에서 $\operatorname{range} T$ 로 가는 길이를 보존하는 사상 $S_1$ 로 잘 정의됩니다(같은 상을 가지면 차가 영공간에 있어 $Tv$ 도 같습니다). 두 치역은 차원이 같으므로 직교여공간들도 차원이 같습니다. 정규직교 기저끼리 짝지어 $S_2 : (\operatorname{range}\sqrt{T^*T})^\perp \to (\operatorname{range} T)^\perp$ 를 등거리로 정하고, $S = S_1 \oplus S_2$ 로 두면 됩니다. ■

$\sqrt{T^*T}$ 는 “늘이기”(양연산자, 서로 수직인 방향들을 음이 아닌 배율로), $S$ 는 “돌리기”입니다. 양연산자 $\sqrt{T^*T}$ 를 스펙트럴 정리로 대각화하면 특잇값 분해가 나옵니다.

정리 26.16 (특잇값 분해 (연산자 버전)). $T \in \mathcal{L}(V)$ 의 특잇값(singular values) $s_1, \ldots, s_n$ 을 $\sqrt{T^*T}$ 의 고윳값(중복 포함)이라 합시다. 그러면 정규직교 기저 $e_1, \ldots, e_n$ 과 $f_1, \ldots, f_n$ 이 있어

Tv = s_1\langle v, e_1 \rangle f_1 + \cdots + s_n\langle v, e_n \rangle f_n.

증명. $\sqrt{T^*T}e_j = s_je_j$ 인 정규직교 기저 $e_j$ 를 잡습니다(스펙트럴 정리). 극분해에서 $f_j = Se_j$ 로 두면 $S$ 가 등거리이므로 $f_j$ 도 정규직교. $v = \sum \langle v, e_j \rangle e_j$ 이므로 $Tv = S\sqrt{T^*T}v = \sum \langle v, e_j \rangle s_jSe_j$ . ■

18장의 $A = U\Sigma V^T$ 입니다. $e_j$ 가 $V$ 의 열, $f_j$ 가 $U$ 의 열입니다. 18장에서는 $A^TA$ 의 고유벡터로 직접 구성했고, 여기서는 극분해에서 자연스럽게 나왔습니다.

▶ 문제 26.14–26.15

쓰이는 곳. 양자역학의 관측가능량은 자기수반 연산자이고 측정값은 그 고윳값입니다. 양자컴퓨터의 게이트와 신경망의 직교·유니터리 가중치(기울기 폭발을 막는 방법)는 유니터리 행렬입니다.

이 장의 요약

수반: $\langle Tv, w \rangle = \langle v, T^*w \rangle$ . 정규직교 기저에서 켤레전치. $\operatorname{null} T^* = (\operatorname{range} T)^\perp$ .
자기수반 $T^* = T$ : 고윳값이 실수. 정규 $TT^* = T^*T$ : $\lVert Tv \rVert = \lVert T^*v \rVert$ , 고유벡터가 수직.
복소 스펙트럴: 정규 $\iff$ 정규직교 고유벡터 기저. 실수 스펙트럴: 자기수반 $\iff$ 정규직교 고유벡터 기저.
양연산자 $\iff$ 고윳값 $\ge 0$ 인 자기수반 $\iff$ $S^*S$ . 유일한 양의 제곱근이 있습니다.
등거리사상 $\iff$ $S^*S = I$ $\iff$ 정규직교 기저를 정규직교 기저로. 고윳값의 절댓값이 1.
극분해 $T = S\sqrt{T^*T}$ (돌리기 × 늘이기), 그리고 SVD.

문제

26.1 [증명]

수반 $T^*$ 가 선형임을 보입니다.

풀이

$\langle v, T^*(aw_1 + bw_2) \rangle = \langle Tv, aw_1 + bw_2 \rangle = \bar a\langle Tv, w_1 \rangle + \bar b\langle Tv, w_2 \rangle = \bar a\langle v, T^*w_1 \rangle + \bar b\langle v, T^*w_2 \rangle = \langle v, aT^*w_1 + bT^*w_2 \rangle$ . 모든 $v$ 에 대해 성립하므로(리스의 유일성) $T^*(aw_1 + bw_2) = aT^*w_1 + bT^*w_2$ .

26.2 [증명]

$(aT)^* = \bar aT^*$ , $(T^*)^* = T$ , $I^* = I$ 임을 보입니다.

풀이

$\langle aTv, w \rangle = a\langle v, T^*w \rangle = \langle v, \bar aT^*w \rangle$ . $\langle T^*w, v \rangle = \overline{\langle v, T^*w \rangle} = \overline{\langle Tv, w \rangle} = \langle w, Tv \rangle$ 이므로 $(T^*)^* = T$ . $I$ 는 명백.

26.3 [계산] · 확인 문제

$T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ 의 표준행렬이 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 입니다. 정규직교가 아닌 기저 $v_1 = (1, 0)$ , $v_2 = (1, 1)$ 에 대해 $\mathcal{M}(T)$ 와 $\mathcal{M}(T^*)$ 를 구하고, 후자가 전자의 전치가 아님을 확인합니다.

	1행 1열	1행 2열	2행 1열	2행 2열
$\mathcal{M}(T)$	[?]	[?]	[?]	[?]
$\mathcal{M}(T^*)$	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

$Tv_1 = v_1$ , $Tv_2 = (2, 1) = v_1 + v_2$ : $\mathcal{M}(T) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . $T^*$ 의 표준행렬은 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ . $T^*v_1 = (1, 1) = v_2$ , $T^*v_2 = (1, 2) = -v_1 + 2v_2$ : $\mathcal{M}(T^*) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ .

26.4 [계산] · 확인 문제

정규인지, 자기수반인지 판정합니다. 맞으면 O, 아니면 X를 적습니다.

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}

	(a)	(b)	(c)	(d)
정규인가	[?]	[?]	[?]	[?]
자기수반인가	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

O
X
O
O
O
X
X
X

풀이

(a) 대칭: 자기수반, 정규. (b) $AA^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = A^TA$ : 정규 아님. (c) $AA^T = 2I = A^TA$ : 정규, 자기수반 아님( $\sqrt2R_{45^\circ}$ ). (d) $A^* = -A$ , $AA^* = -A^2 = I = A^*A$ : 정규, 자기수반 아님.

26.5 [증명]

$\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 일 때 $T$ 가 자기수반인 것은 모든 $v$ 에 대해 $\langle Tv, v \rangle \in \mathbb{R}$ 인 것과 동치임을 보입니다.

풀이

(⇒) $\overline{\langle Tv, v \rangle} = \langle v, Tv \rangle = \langle Tv, v \rangle$ . (⇐) $\langle (T - T^*)v, v \rangle = \langle Tv, v \rangle - \langle v, Tv \rangle = \langle Tv, v \rangle - \overline{\langle Tv, v \rangle} = 0$ 이 모든 $v$ 에서 성립하므로 정리 26.6에 의해 $T - T^* = 0$ .

26.6 [증명]

$T$ 가 정규이면 $\operatorname{null} T = \operatorname{null} T^*$ 이고 $\operatorname{range} T = \operatorname{range} T^*$ 임을 보입니다.

풀이

$\lVert Tv \rVert = \lVert T^*v \rVert$ 에서 $Tv = 0 \iff T^*v = 0$ . $\operatorname{range} T = (\operatorname{null} T^*)^\perp = (\operatorname{null} T)^\perp = \operatorname{range} T^*$ (정리 26.3).

26.7 [도전]

$T$ 가 정규이면 모든 $\lambda \in \mathbb{F}$ 에 대해 $T - \lambda I$ 도 정규임을 보입니다. 또 정규가 아닌 $2 \times 2$ 행렬 중 고유벡터가 서로 수직이 아닌 예를 듭니다.

풀이

$(T - \lambda I)^* = T^* - \bar\lambda I$ 이고 $(T - \lambda I)(T^* - \bar\lambda I) = TT^* - \bar\lambda T - \lambda T^* + \lvert \lambda \rvert^2I$ , 반대 순서도 $TT^* = T^*T$ 를 쓰면 같습니다. 예: $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 의 고유벡터 $(1, 0)$ , $(1, 1)$ 은 수직이 아닙니다.

26.8 [계산] · 확인 문제

에르미트 행렬 $A = \begin{bmatrix} 2 & i \\ -i & 2 \end{bmatrix}$ 를 유니터리 행렬로 대각화합니다( $A = Q\Lambda Q^*$ ). 고유벡터가 $\mathbb{C}^2$ 의 내적으로 수직임을 확인합니다. 표에는 고윳값을 큰 것부터 적습니다.

$\lambda_1$	$\lambda_2$
[?]	[?]

정답

3
1

풀이

$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^2 - 1$ , $\lambda = 1, 3$ . $\lambda = 3$ : $-x + iy = 0$ , $\frac{1}{\sqrt2}(i, 1)$ . $\lambda = 1$ : $x + iy = 0$ , $\frac{1}{\sqrt2}(-i, 1)$ . $\langle (i, 1), (-i, 1) \rangle = i \cdot \overline{(-i)} + 1 = i \cdot i + 1 = 0$ . $Q = \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} i & -i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $\Lambda = \operatorname{diag}(3, 1)$ .

26.9 [계산]

회전 $R_\theta$ 를 $\mathbb{C}^2$ 에서 유니터리 행렬로 대각화합니다.

풀이

$e^{i\theta}$ : $\frac{1}{\sqrt2}(1, -i)$ , $e^{-i\theta}$ : $\frac{1}{\sqrt2}(1, i)$ . 두 벡터는 $\langle (1, -i), (1, i) \rangle = 1 + (-i)\overline{(i)} = 1 + (-i)(-i) = 1 - 1 = 0$ 으로 수직. $Q = \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{bmatrix}$ .

26.10 [도전]

$\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 이고 $T$ 가 정규이면 $T = \lambda_1P_1 + \cdots + \lambda_mP_m$ ( $P_j$ 는 서로 다른 고유공간 위로의 직교사영)으로 쓸 수 있음을 보입니다. 이로부터 $T$ 가 자기수반 $\iff$ 모든 $\lambda_j \in \mathbb{R}$ , $T$ 가 등거리 $\iff$ 모든 $\lvert \lambda_j \rvert = 1$ 임을 보입니다.

풀이

스펙트럴 정리로 고유공간들이 서로 수직이고 직합이 $V$ 이므로 $v = \sum P_jv$ , $Tv = \sum\lambda_jP_jv$ . $P_j^* = P_j$ 이므로 $T^* = \sum\bar\lambda_jP_j$ . $T = T^* \iff \bar\lambda_j = \lambda_j$ . $T^*T = \sum\lvert \lambda_j \rvert^2P_j = I = \sum P_j \iff \lvert \lambda_j \rvert = 1$ .

26.11 [계산] · 확인 문제

$\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ 의 양의 제곱근을 구합니다. 제곱해서 확인합니다.

	1열	2열
1행	[?]	[?]
2행	[?]	[?]

정답

풀이

$\lambda = 9$ : $P_1 = \frac12\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $\lambda = 1$ : $P_2 = \frac12\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ . $R = 3P_1 + P_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ . $R^2 = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ .

26.12 [도전]

양연산자의 양의 제곱근은 유일함을 보입니다.

힌트. $R$ 이 양이고 $R^2 = T$ 이면, $R$ 의 고유벡터는 $T$ 의 고유벡터이고 $Rv = \sqrt\lambda\,v$ 여야 합니다.

풀이

$R$ 이 양이고 $R^2 = T$ 라 합시다. $R$ 의 정규직교 고유벡터 기저 $Re_j = r_je_j$ ( $r_j \ge 0$ )에 대해 $Te_j = r_j^2e_j$ . 따라서 $T$ 의 고윳값 $\lambda$ 의 고유공간에서 $R$ 은 $\sqrt\lambda$ 배입니다( $r_j^2 = \lambda$ , $r_j \ge 0$ ). $T$ 의 고유공간들이 $V$ 를 직합으로 덮으므로 $R$ 은 $T$ 에 의해 완전히 결정됩니다.

26.13 [계산] · 확인 문제

등거리사상(유니터리/직교)인지 판정합니다. 맞으면 O, 아니면 X를 적습니다.

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} \frac35 & -\frac45 \\ \frac45 & \frac35 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}

(a)	(b)	(c)
[?]	[?]	[?]

정답

O
X
O

풀이

(a) 직교행렬(회전), 등거리. (b) 아님: $\lVert T(0, 1) \rVert = \sqrt2$ . (c) 열 $\frac{1}{\sqrt2}(1, i)$ , $\frac{1}{\sqrt2}(i, 1)$ 은 길이 1이고 $\langle (1, i), (i, 1) \rangle = 1 \cdot \bar i + i \cdot 1 = -i + i = 0$ . 유니터리.

26.14 [계산] · 확인 문제

$T = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ 의 극분해 $T = S\sqrt{T^TT}$ 를 구합니다. $S$ 가 어떤 회전인지 말합니다. 표에는 $S$ 의 성분을 소수 셋째 자리까지 적습니다.

	1열	2열
1행	[?]	[?]
2행	[?]	[?]

정답

0.894
-0.447
0.447
0.894

풀이

$T^TT = \begin{bmatrix} 25 & 20 \\ 20 & 25 \end{bmatrix}$ , 고윳값 45, 5, 사영 $P_1$ , $P_2$ 는 문제 26.11과 같습니다. $\sqrt{T^TT} = 3\sqrt5P_1 + \sqrt5P_2 = \sqrt5\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ . 역행렬 $\frac{1}{3\sqrt5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ . $S = T\sqrt{T^TT}^{-1} = \frac{1}{3\sqrt5}\begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ . $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt5}$ , $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt5}$ 인 회전(약 $26.6^\circ$ ).

26.15 [증명]

$T$ 가 정규이면 $T$ 의 특잇값은 고윳값의 절댓값임을 보입니다.

풀이

정규직교 고유벡터 기저 $Te_j = \lambda_je_j$ 에서 $T^*e_j = \bar\lambda_je_j$ (정리 26.8), $T^*Te_j = \lvert \lambda_j \rvert^2e_j$ , $\sqrt{T^*T}e_j = \lvert \lambda_j \rvert e_j$ .