25장. 내적공간

요약

내적의 공리와 복소 내적, 노름과 수직, 피타고라스와 코시–슈바르츠, 정규직교 기저와 파르스발 등식, 그람–슈미트와 슈어의 정리, 리스 표현 정리, 직교여공간과 직교사영, 함수의 근사와 푸리에 급수

내적은 길이와 각도를 재는 도구입니다. 이 장에서는 숫자 목록의 내적을 함수의 내적 ∫f(x)g(x)dx 같은 것까지 넓혀 내적공간을 정의합니다. 그러면 '함수 사이의 거리'나 '함수를 다른 함수들로 가장 잘 근사하기'가 기하 문제가 됩니다. 푸리에 급수와 양자역학의 수학적 바탕입니다(심화).

25.1 길이와 각을 추상화하기

질문. 두 함수 사이의 “거리”나 “각”을 말할 수 있을까요? 복소 벡터 $(1, i)$ 의 길이는 얼마일까요? $1^2 + i^2 = 0$ 이라고 하면 영이 아닌 벡터의 길이가 0이 되어 버립니다. 무엇을 바꿔야 할까요?

20–24장은 길이도 각도 없는 선형대수였습니다. 2장과 13–14장에서는 내적 덕분에 수직, 사영, 최소제곱, 정규직교 기저를 얻었습니다. 이 장에서는 내적을 공리로 정의해 그 결과들을 추상적인 공간으로 옮깁니다. 그러면 함수 공간에서의 “최소제곱 근사”가 곧 푸리에 급수라는 것을 보게 됩니다.

이 장에서 $\mathbb{F}$ 는 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$ 이고, $\bar a$ 는 $a$ 의 켤레복소수입니다( $a$ 가 실수이면 $\bar a = a$ ).

25.2 내적

정의 25.1 (내적). $V$ 위의 내적(inner product)은 $u, v \in V$ 의 순서쌍에 수 $\langle u, v \rangle \in \mathbb{F}$ 를 대응시키는 함수로, 다음을 만족합니다.

(양수성) $\langle v, v \rangle \ge 0$ (특히 실수입니다).
(정부호성) $\langle v, v \rangle = 0 \iff v = 0$ .
(첫째 자리 선형성) $\langle au + bw, v \rangle = a\langle u, v \rangle + b\langle w, v \rangle$ .
(켤레 대칭) $\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}$ .

내적이 주어진 벡터공간을 내적공간(inner product space)이라 합니다.

실수 공간에서는 (4)가 그냥 대칭 $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$ 입니다. 복소 공간에서 켤레가 필요한 이유는 (1) 때문입니다. $\langle iv, iv \rangle = i\langle v, iv \rangle = i\overline{\langle iv, v \rangle} = i\overline{i\langle v, v \rangle} = i\bar i\langle v, v \rangle = \langle v, v \rangle$ 가 되어야 양수성이 유지됩니다. 켤레 없이 정의하면 $\langle iv, iv \rangle = i^2\langle v, v \rangle = -\langle v, v \rangle$ 가 되어 길이의 제곱이 음수가 됩니다.

(3)과 (4)를 합치면 둘째 자리에서는

\langle u, av + bw \rangle = \bar a\langle u, v \rangle + \bar b\langle u, w \rangle

입니다(켤레선형(conjugate linear)). 물리학 책은 반대로 둘째 자리를 선형으로 잡는 경우가 많으니 주의합시다.

예제 25.2.

$\mathbb{R}^n$ : $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^T\mathbf{y} = \sum x_iy_i$ (2장의 내적).
$\mathbb{C}^n$ : $\langle \mathbf{z}, \mathbf{w} \rangle = \sum z_i\bar w_i = \mathbf{w}^*\mathbf{z}$ . ( $\mathbf{w}^* = \bar{\mathbf{w}}^T$ 는 켤레전치.) 질문의 $(1, i)$ 는 $\langle (1, i), (1, i) \rangle = 1 \cdot 1 + i \cdot \bar i = 2$ , 길이 $\sqrt2$ .
가중 내적: $\mathbb{R}^2$ 에서 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 2x_1y_1 + 5x_2y_2$ . 일반적으로 양정치 $S$ 에 대해 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{y}^TS\mathbf{x}$ (문제 25.2).
(†) 연속함수 $f, g : [-1, 1] \to \mathbb{R}$ 에 대해 $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\,dx$ . 성질 (2)는 “연속이고 음이 아닌 함수의 적분이 0이면 그 함수는 0”에서 나옵니다.

마지막 예는 $\mathbb{R}^n$ 의 내적에서 합 $\sum_i$ 를 적분 $\int dx$ 로 바꾼 것입니다. 함수를 “무한히 많은 성분을 가진 벡터”로 보면 자연스럽습니다.

▶ 문제 25.1–25.3

25.3 노름, 수직, 코시–슈바르츠

정의 25.3 (노름과 수직). $\lVert v \rVert = \sqrt{\langle v, v \rangle}$ 를 $v$ 의 노름(norm)이라 합니다. $\langle u, v \rangle = 0$ 이면 $u$ 와 $v$ 가 수직(orthogonal)이라 합니다.

정리 25.4 (피타고라스). $u \perp v$ 이면 $\lVert u + v \rVert^2 = \lVert u \rVert^2 + \lVert v \rVert^2$ .

증명. $\lVert u + v \rVert^2 = \langle u + v, u + v \rangle = \langle u, u \rangle + \langle u, v \rangle + \langle v, u \rangle + \langle v, v \rangle = \lVert u \rVert^2 + \lVert v \rVert^2$ . ■

정리 25.5 (수직 분해). $v \ne 0$ 이면 모든 $u$ 는 $u = cv + w$ ( $w \perp v$ )로 쓰이며, $c = \dfrac{\langle u, v \rangle}{\lVert v \rVert^2}$ 입니다.

증명. $w = u - cv$ 로 두면 $\langle w, v \rangle = \langle u, v \rangle - c\lVert v \rVert^2 = 0$ 인 $c$ 가 정확히 위의 값입니다. ■

13장의 직선 위로의 사영입니다. 이것만으로 코시–슈바르츠를 판별식 없이 증명할 수 있습니다.

정리 25.6 (코시–슈바르츠 부등식). $\lvert \langle u, v \rangle \rvert \le \lVert u \rVert\lVert v \rVert$ . 등호는 한쪽이 다른 쪽의 스칼라배일 때만 성립합니다.

증명. $v = 0$ 이면 양변이 모두 0이므로 성립합니다. 아니면 $u = cv + w$ ( $w \perp v$ , $c = \langle u, v \rangle/\lVert v \rVert^2$ )로 쓰고 피타고라스를 쓰면

\lVert u \rVert^2 = \lvert c \rvert^2\lVert v \rVert^2 + \lVert w \rVert^2 \ge \lvert c \rvert^2\lVert v \rVert^2 = \frac{\lvert \langle u, v \rangle \rvert^2}{\lVert v \rVert^2}.

등호는 $w = 0$ , 즉 $u = cv$ 일 때. ■

직관. $u$ 를 $v$ 방향 성분과 수직 성분으로 나누면, $u$ 의 길이는 $v$ 방향 성분의 길이보다 깁니다. 빗변이 밑변보다 긴 것과 같습니다.

예제 25.7 (†). 함수 내적에 적용하면 $\left(\int_{-1}^1 fg\right)^2 \le \int_{-1}^1 f^2 \cdot \int_{-1}^1 g^2$ 입니다. 적분 부등식이 기하학적인 사실에서 나왔습니다.

삼각부등식 $\lVert u + v \rVert \le \lVert u \rVert + \lVert v \rVert$ 와 평행사변형 법칙 $\lVert u + v \rVert^2 + \lVert u - v \rVert^2 = 2\lVert u \rVert^2 + 2\lVert v \rVert^2$ 도 13장, 2장과 같은 증명으로 성립합니다(문제 25.5).

▶ 문제 25.4–25.6

25.4 정규직교 기저

정의 25.8 (정규직교 목록). $\langle e_j, e_k \rangle = \delta_{jk}$ ( $j = k$ 이면 1, 아니면 0)인 목록을 정규직교(orthonormal)라 합니다.

예: $\mathbb{R}^2$ 에서 $\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right)$ , $\left(-\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right)$ 는 정규직교입니다. 함수에서는 내적을 $\langle f, g\rangle = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,dx$ 로 재면 $\cos x$ , $\sin x$ , $\cos 2x$ , $\sin 2x$ , …가 정규직교 목록이고, 이것이 푸리에 급수의 바탕입니다.

정리 25.9 (정규직교 기저에서의 좌표). $e_1, \ldots, e_n$ 이 $V$ 의 정규직교 기저이면 모든 $v$ 에 대해

v = \langle v, e_1 \rangle e_1 + \cdots + \langle v, e_n \rangle e_n, \qquad \lVert v \rVert^2 = \lvert \langle v, e_1 \rangle \rvert^2 + \cdots + \lvert \langle v, e_n \rangle \rvert^2.

증명. $v = \sum a_je_j$ 이면 $\langle v, e_k \rangle = \sum a_j\langle e_j, e_k \rangle = a_k$ . 둘째 식은 피타고라스를 반복한 것입니다. ■

둘째 식을 파르스발 등식(Parseval's identity)이라 합니다. 길이의 제곱은 각 방향 성분의 제곱의 합입니다.

정리 25.10 (그람–슈미트). $v_1, \ldots, v_m$ 이 독립이면, 각 $k$ 에 대해 $\operatorname{span}(e_1, \ldots, e_k) = \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)$ 인 정규직교 목록 $e_1, \ldots, e_m$ 이 있습니다. 구체적으로

f_k = v_k - \langle v_k, e_1 \rangle e_1 - \cdots - \langle v_k, e_{k-1} \rangle e_{k-1}, \qquad e_k = \frac{f_k}{\lVert f_k \rVert}.

증명은 14장과 같습니다. 복소수에서는 계수가 $\langle v_k, e_j \rangle$ (순서 주의)인 것만 확인하면 됩니다: $\langle f_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j \rangle - \langle v_k, e_j \rangle\langle e_j, e_j \rangle = 0$ .

따름정리 25.11 (정규직교 기저의 존재). 모든 유한차원 내적공간은 정규직교 기저를 갖습니다. 또 모든 정규직교 목록은 정규직교 기저로 늘릴 수 있습니다.

정리 25.12 (슈어의 정리). $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 이면 모든 $T \in \mathcal{L}(V)$ 는 어떤 정규직교 기저에 대해 위삼각행렬을 갖습니다.

증명. 정리 24.13으로 $T$ 를 위삼각으로 만드는 기저 $v_1, \ldots, v_n$ 을 잡습니다. 정리 24.12에 의해 각 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)$ 가 불변입니다. 그람–슈미트를 적용하면 $\operatorname{span}(e_1, \ldots, e_k) = \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)$ 이므로 같은 부분공간들이 불변이고, 다시 정리 24.12에 의해 $e_1, \ldots, e_n$ 에 대해서도 위삼각입니다. ■

행렬로는 모든 복소 정사각행렬 $A$ 를 $A = QTQ^*$ ( $Q$ 는 유니터리, $T$ 는 위삼각)로 쓸 수 있다는 뜻입니다. 대각화는 안 될 수 있지만, 직교하는 좌표계에서 삼각화는 항상 됩니다. 26장의 스펙트럴 정리는 이 정리에서 바로 나옵니다.

▶ 문제 25.7–25.10

25.5 리스 표현 정리

정리 25.13 (리스 표현 정리). $V$ 가 유한차원 내적공간이면, $V$ 위의 모든 선형범함수 $\varphi$ 에 대해

\varphi(v) = \langle v, u \rangle \quad (\forall v \in V)

인 $u \in V$ 가 정확히 하나 존재합니다.

증명. 존재: 정규직교 기저 $e_1, \ldots, e_n$ 을 잡고 $u = \overline{\varphi(e_1)}e_1 + \cdots + \overline{\varphi(e_n)}e_n$ 으로 두면

\langle v, u \rangle = \sum_j \varphi(e_j)\langle v, e_j \rangle = \varphi\left(\sum_j \langle v, e_j \rangle e_j\right) = \varphi(v).

유일: $\langle v, u \rangle = \langle v, u' \rangle$ 가 모든 $v$ 에 대해 성립하면 $\langle v, u - u' \rangle = 0$ 이고, $v = u - u'$ 을 넣으면 $u = u'$ . ■

22장의 쌍대공간 $V'$ 의 모든 원소가 “어떤 벡터와의 내적”으로 표현된다는 뜻입니다. 내적이 있으면 $V'$ 를 $V$ 와 동일시할 수 있습니다. $\mathbb{R}^n$ 에서 행벡터 $\mathbf{a}^T$ 와 열벡터 $\mathbf{a}$ 를 같은 것으로 보는 이유가 이것입니다.

예제 25.14 (†). $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 에서 $\langle p, q \rangle = \int_{-1}^1 pq$ , $\varphi(p) = p(0)$ 이라 합시다. 리스 정리에 의해 모든 $p \in \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 에 대해 $p(0) = \int_{-1}^1 p(x)u(x)\,dx$ 인 다항식 $u$ 가 있습니다. 계산하면 $u(x) = \frac98 - \frac{15}{8}x^2$ 입니다(문제 25.12). 한 점에서의 값이 적분으로 표현되었습니다.

▶ 문제 25.11–25.12

25.6 직교여공간과 사영

정의 25.15 (직교여공간). $U \subseteq V$ 에 대해 $U^\perp = \{v \in V : \langle v, u \rangle = 0\ \forall u \in U\}$ .

예: $\mathbb{R}^3$ 에서 $U$ 가 $z$ 축이면 $U^\perp$ 는 $xy$ 평면입니다. $U$ 가 평면 $x + y + z = 0$ 이면 $U^\perp$ 는 법선벡터 $(1, 1, 1)$ 이 생성하는 직선입니다.

정리 25.16 (직교 분해). $U$ 가 유한차원 부분공간이면

V = U \oplus U^\perp, \qquad (U^\perp)^\perp = U.

증명. $U$ 의 정규직교 기저 $e_1, \ldots, e_m$ 을 잡고, $v \in V$ 에 대해

u = \langle v, e_1 \rangle e_1 + \cdots + \langle v, e_m \rangle e_m, \qquad w = v - u

로 두면 $u \in U$ 이고 $\langle w, e_k \rangle = \langle v, e_k \rangle - \langle v, e_k \rangle = 0$ 이므로 $w \in U^\perp$ . 따라서 $V = U + U^\perp$ . $U \cap U^\perp$ 의 원소는 자기 자신과 수직이므로 0. 둘째 식은 문제 25.13. ■

정의 25.17 (직교사영). $v = u + w$ ( $u \in U$ , $w \in U^\perp$ )일 때 $P_Uv = u$ 로 정의한 $P_U \in \mathcal{L}(V)$ 를 $U$ 위로의 직교사영(orthogonal projection)이라 합니다. $U$ 의 정규직교 기저로

P_Uv = \langle v, e_1 \rangle e_1 + \cdots + \langle v, e_m \rangle e_m.

예: $U$ 가 $\mathbb{R}^2$ 의 $x$ 축이면 $e_1 = (1, 0)$ 이고 $P_U(3, 4) = \langle (3, 4), e_1\rangle e_1 = (3, 0)$ 입니다. 빛을 위에서 비출 때 $x$ 축에 떨어지는 그림자입니다.

14장의 $P = QQ^T$ 입니다. 직교사영의 성질: $P_U^2 = P_U$ , $\operatorname{range} P_U = U$ , $\operatorname{null} P_U = U^\perp$ , $\lVert P_Uv \rVert \le \lVert v \rVert$ .

정리 25.18 (최소화). $U$ 가 유한차원 부분공간이고 $v \in V$ 이면, 모든 $u \in U$ 에 대해

\lVert v - P_Uv \rVert \le \lVert v - u \rVert

이고, 등호는 $u = P_Uv$ 일 때만 성립합니다. 즉 $P_Uv$ 는 $U$ 에서 $v$ 에 가장 가까운 점입니다.

증명. $v - u = (v - P_Uv) + (P_Uv - u)$ 에서 첫째는 $U^\perp$ , 둘째는 $U$ 에 있으므로 피타고라스에 의해 $\lVert v - u \rVert^2 = \lVert v - P_Uv \rVert^2 + \lVert P_Uv - u \rVert^2$ . ■

13장의 최소제곱 정리와 같은 증명입니다. 그런데 이제 $V$ 는 함수 공간일 수도 있습니다.

25.7 (†) 함수의 근사와 푸리에 급수

질문. 구간 $[-\pi, \pi]$ 에서 함수 $f(x) = x$ 를 $\sin x, \sin 2x, \ldots$ 의 일차결합으로 가장 잘 근사하려면 계수를 어떻게 정해야 할까요?

$[-\pi, \pi]$ 위의 연속함수 공간에 내적 $\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,dx$ 를 줍시다. 적분 계산으로 다음을 확인할 수 있습니다.

\langle \sin jx, \sin kx \rangle = \begin{cases} \pi & (j = k) \\ 0 & (j \ne k) \end{cases}, \qquad \langle \cos jx, \sin kx \rangle = 0, \qquad \langle 1, \sin kx \rangle = 0.

즉 $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots$ 는 서로 수직입니다. 정규화하면 정규직교 목록이 됩니다.

$U_N = \operatorname{span}(1, \cos x, \sin x, \ldots, \cos Nx, \sin Nx)$ 라 하면, $f$ 에 가장 가까운 $U_N$ 의 원소는 정리 25.18에 의해 직교사영

P_{U_N}f = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^N (a_k\cos kx + b_k\sin kx), \qquad a_k = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx\,dx, \qquad b_k = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin kx\,dx

입니다. 이것이 푸리에 급수의 부분합입니다. 계수 공식은 “정규직교 기저에서 좌표는 내적”(정리 25.9)을 그대로 쓴 것입니다.

$f(x) = x$ 이면 홀함수이므로 $a_k = 0$ 이고, 부분적분으로 $b_k = \dfrac{2(-1)^{k+1}}{k}$ 입니다. 따라서

x \approx 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\right).

직관. 푸리에 급수는 함수를 “서로 수직인 진동들”로 분해하는 것입니다. 신호처리에서 소리를 주파수 성분으로 나누는 것, 이미지 압축(JPEG)에서 블록을 코사인 성분으로 나누는 것이 모두 이 직교 분해입니다. 행렬의 언어로는 $\mathbb{R}^n$ 에서 정규직교 기저 $\mathbf{q}_k$ 를 써서 $\mathbf{x} = \sum (\mathbf{q}_k^T\mathbf{x})\mathbf{q}_k$ 로 쓰는 것과 같습니다(14장). 유한한 경우가 이산 푸리에 변환(DFT)입니다.

▶ 문제 25.13–25.15

쓰이는 곳. 함수의 내적 $\langle f, g\rangle = \int f g$ 는 푸리에 계수, 최소제곱 함수 근사, 양자역학의 확률 진폭 $\langle\psi|\phi\rangle$ 에 쓰입니다. 커널 방법은 데이터를 내적이 정의된 큰 공간으로 보내는 기법입니다.

이 장의 요약

내적: 양수성, 정부호성, 첫째 자리 선형, 켤레 대칭. 복소수에서는 $\langle \mathbf{z}, \mathbf{w} \rangle = \sum z_i\bar w_i$ .
피타고라스, 수직 분해, 코시–슈바르츠, 삼각부등식이 공리만으로 증명됩니다.
정규직교 기저에서 $v = \sum \langle v, e_j \rangle e_j$ , $\lVert v \rVert^2 = \sum \lvert \langle v, e_j \rangle \rvert^2$ . 그람–슈미트로 언제나 만들 수 있습니다.
슈어: 복소 연산자는 정규직교 기저에서 위삼각화됩니다.
리스: 모든 선형범함수는 $\langle \cdot, u \rangle$ 꼴입니다.
$V = U \oplus U^\perp$ . 직교사영 $P_Uv$ 는 $U$ 에서 $v$ 에 가장 가까운 점입니다.
함수 공간에서 삼각함수로의 직교사영이 푸리에 급수입니다.

문제

25.1 [계산] · 확인 문제

$\mathbb{C}^2$ 에서 $u = (1, i)$ , $v = (2, 1 + i)$ 에 대해 $\langle u, v \rangle$ , $\langle v, u \rangle$ , $\lVert u \rVert$ , $\lVert v \rVert$ 를 구하고 코시–슈바르츠 부등식을 확인합니다. 노름은 소수 셋째 자리까지 적습니다.

값	실수부	허수부
$\langle u, v \rangle$	[?]	[?]
$\langle v, u \rangle$	[?]	[?]
$\lVert u \rVert$	[?]	0
$\lVert v \rVert$	[?]	0

정답

풀이

$\langle u, v \rangle = 1 \cdot 2 + i \cdot \overline{(1 + i)} = 2 + i(1 - i) = 3 + i$ . $\langle v, u \rangle = \overline{3 + i} = 3 - i$ . $\lVert u \rVert = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ , $\lVert v \rVert = \sqrt{4 + 2} = \sqrt6$ . $\lvert 3 + i \rvert = \sqrt{10} \le \sqrt{12}$ .

25.2 [증명]

$S$ 가 $n \times n$ 실대칭 양정치 행렬이면 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{y}^TS\mathbf{x}$ 는 $\mathbb{R}^n$ 위의 내적임을 보입니다.

풀이

첫째 자리 선형: $\mathbf{y}^TS(a\mathbf{x} + b\mathbf{z}) = a\mathbf{y}^TS\mathbf{x} + b\mathbf{y}^TS\mathbf{z}$ . 대칭: $\mathbf{y}^TS\mathbf{x} = (\mathbf{y}^TS\mathbf{x})^T = \mathbf{x}^TS\mathbf{y}$ . 양수성·정부호성: $\mathbf{x}^TS\mathbf{x} > 0$ ( $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ ).

25.3 [계산] · 확인 문제

$\mathbb{R}^2$ 위의 내적인지 판정합니다. ( $\mathbf{x} = (x_1, x_2)$ , $\mathbf{y} = (y_1, y_2)$ .) 내적이면 O, 아니면 X를 적습니다.

식	내적인가
(a) $x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + x_2y_2$	[?]
(b) $x_1y_1 - x_2y_2$	[?]
(c) $2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2$	[?]

정답

X
X
O

풀이

(a) $(x_1 + x_2)(y_1 + y_2)$ , $\mathbf{x} = (1, -1)$ 이면 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle = 0$ . 아님.

(b) $\mathbf{x} = (0, 1)$ 이면 $-1 < 0$ . 아님.

25.4 [계산] · 확인 문제

(†) $[-1, 1]$ 위의 연속함수에 $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 fg$ 를 줍시다. $\lVert 1 \rVert$ , $\lVert x \rVert$ , $\langle 1, x \rangle$ , $\langle 1, x^2 \rangle$ 을 구하고, $1$ 과 $x^2$ 사이의 각의 코사인을 구합니다. 소수 셋째 자리까지 적습니다.

$\lVert 1 \rVert$	$\lVert x \rVert$	$\langle 1, x \rangle$	$\langle 1, x^2 \rangle$	$\cos\theta$
[?]	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

$\lVert 1 \rVert = \sqrt2$ , $\lVert x \rVert = \sqrt{2/3}$ , $\langle 1, x \rangle = 0$ (수직), $\langle 1, x^2 \rangle = \frac23$ . $\lVert x^2 \rVert = \sqrt{2/5}$ , $\cos\theta = \dfrac{2/3}{\sqrt2\sqrt{2/5}} = \dfrac{\sqrt5}{3}$ .

25.5 [증명]

내적공간에서 삼각부등식과 평행사변형 법칙을 증명합니다.

풀이

$\lVert u + v \rVert^2 = \lVert u \rVert^2 + 2\operatorname{Re}\langle u, v \rangle + \lVert v \rVert^2 \le \lVert u \rVert^2 + 2\lvert \langle u, v \rangle \rvert + \lVert v \rVert^2 \le (\lVert u \rVert + \lVert v \rVert)^2$ (코시–슈바르츠). 평행사변형: $\lVert u \pm v \rVert^2 = \lVert u \rVert^2 \pm 2\operatorname{Re}\langle u, v \rangle + \lVert v \rVert^2$ 를 더합니다.

25.6 [도전]

실내적공간에서 $\langle u, v \rangle = \frac14\left(\lVert u + v \rVert^2 - \lVert u - v \rVert^2\right)$ 임을 보입니다(편극 항등식). 노름이 내적을 결정한다는 뜻입니다.

풀이

문제 25.5의 전개에서 두 식을 빼면 $\lVert u + v \rVert^2 - \lVert u - v \rVert^2 = 4\langle u, v \rangle$ (실수).

25.7 [계산]

(†) $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 에 $\langle p, q \rangle = \int_{-1}^1 pq$ 를 주고 $1, x, x^2$ 에 그람–슈미트를 적용합니다. (결과는 르장드르 다항식의 상수배입니다.)

풀이

$e_1 = \frac{1}{\sqrt2}$ . $\langle x, e_1 \rangle = 0$ 이므로 $f_2 = x$ , $e_2 = \sqrt{\frac32}x$ . $f_3 = x^2 - \langle x^2, e_1 \rangle e_1 - \langle x^2, e_2 \rangle e_2 = x^2 - \frac13$ . $\lVert f_3 \rVert^2 = \int_{-1}^1 \left(x^2 - \frac13\right)^2 = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}$ . $e_3 = \sqrt{\frac{45}{8}}\left(x^2 - \frac13\right)$ .

25.8 [계산]

$\mathbb{C}^2$ 에서 $(1, i)$ , $(1, 1)$ 에 그람–슈미트를 적용합니다. 결과가 정규직교임을 확인합니다.

풀이

$e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, i)$ . $\langle (1, 1), e_1 \rangle = \frac{1 - i}{\sqrt2}$ . $f_2 = (1, 1) - \frac{1 - i}{2}(1, i) = \left(\frac{1 + i}{2}, \frac{1 - i}{2}\right)$ . $\lVert f_2 \rVert^2 = \frac24 + \frac24 = 1$ , $e_2 = f_2$ . $\langle e_2, e_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt2}\left(\frac{1 + i}{2} + \frac{1 - i}{2} \cdot \overline{i}\right) = \frac{1}{\sqrt2} \cdot \frac{1 + i - i - 1}{2} = 0$ .

25.9 [증명]

파르스발 등식 $\lVert v \rVert^2 = \sum \lvert \langle v, e_j \rangle \rvert^2$ 을 증명합니다.

풀이

$v = \sum a_je_j$ , $a_j = \langle v, e_j \rangle$ . $\lVert v \rVert^2 = \left\langle \sum a_je_j, \sum a_ke_k \right\rangle = \sum_{j,k} a_j\bar a_k\langle e_j, e_k \rangle = \sum \lvert a_j \rvert^2$ .

25.10 [도전] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ 을 슈어 분해합니다. 즉 정규직교 기저 $q_1, q_2$ 를 찾아 $Q^TAQ$ 가 위삼각이 되게 합니다. $q_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, 1)$ , $q_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -1)$ 로 잡았을 때 $Q^TAQ$ 를 적습니다.

	1열	2열
1행	[?]	[?]
2행	[?]	[?]

정답

풀이

$\operatorname{tr} = 4$ , $\det = 4$ , $\lambda = 2$ (중근). 고유벡터 $q_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, 1)$ . $q_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -1)$ . $Aq_1 = 2q_1$ , $Aq_2 = \frac{1}{\sqrt2}(0, -4) = -2q_1 + 2q_2$ . $Q^TAQ = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ .

25.11 [계산] · 확인 문제

$\mathbb{R}^3$ 의 선형범함수 $\varphi(\mathbf{x}) = 2x_1 - x_2 + 3x_3$ 을 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{u} \rangle$ 로 나타내는 $\mathbf{u}$ 를 구합니다.

$u_1$	$u_2$	$u_3$
[?]	[?]	[?]

정답

2
-1
3

풀이

$\mathbf{u} = (2, -1, 3)$ .

25.12 [계산] · 확인 문제

(†) 25.5절의 예제에서 $u(x) = \frac98 - \frac{15}{8}x^2$ 을 유도합니다. ( $u = a + bx + cx^2$ 로 놓고 $p = 1, x, x^2$ 을 넣습니다.)

$a$	$b$	$c$
[?]	[?]	[?]

정답

9/8
0
-15/8

풀이

$p = 1$ : $2a + \frac23c = 1$ . $p = x$ : $\frac23b = 0$ . $p = x^2$ : $\frac23a + \frac25c = 0$ . $c = -\frac53a$ , $2a - \frac{10}{9}a = 1$ , $a = \frac98$ , $c = -\frac{15}{8}$ .

25.13 [증명]

$U$ 가 유한차원 부분공간이면 $(U^\perp)^\perp = U$ 임을 보입니다.

풀이

$u \in U$ 이면 모든 $w \in U^\perp$ 와 수직이므로 $U \subseteq (U^\perp)^\perp$ . 역으로 $v \in (U^\perp)^\perp$ 이면 $v = P_Uv + w$ ( $w \in U^\perp$ )이고 $0 = \langle v, w \rangle = \langle P_Uv, w \rangle + \lVert w \rVert^2 = \lVert w \rVert^2$ 이므로 $w = 0$ , $v \in U$ .

25.14 [계산] · 확인 문제

$U = \operatorname{span}\{(1, 1, 0), (0, 1, 1)\} \subseteq \mathbb{R}^3$ 의 정규직교 기저를 구하고, $(1, 2, 3)$ 을 $U$ 위로 직교사영합니다. 잔차가 $U$ 의 법선 방향인지 확인합니다.

사영의 첫째 성분	둘째 성분	셋째 성분
[?]	[?]	[?]

정답

1/3
8/3
7/3

풀이

$e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, 1, 0)$ , $f_2 = (0, 1, 1) - \frac12(1, 1, 0) = \left(-\frac12, \frac12, 1\right)$ , $e_2 = \frac{1}{\sqrt6}(-1, 1, 2)$ . $P\mathbf{v} = \frac32(1, 1, 0) + \frac76(-1, 1, 2) = \left(\frac13, \frac83, \frac73\right)$ . 잔차 $\frac23(1, -1, 1)$ , 법선 $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1) = (1, -1, 1)$ 과 평행.

25.15 [계산] · 확인 문제

(†) $[-1, 1]$ 에서 $f(x) = x^2$ 에 가장 가까운 일차함수 $a + bx$ 를 $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 fg$ 에 대해 구합니다. 그 결과를 그래프로 설명합니다.

$a$	$b$
[?]	[?]

정답

1/3
0

풀이

$\operatorname{span}(1, x)$ 의 정규직교 기저 $\frac{1}{\sqrt2}$ , $\sqrt{\frac32}x$ . $\langle x^2, 1 \rangle = \frac23$ , $\langle x^2, x \rangle = 0$ . 사영 $= \frac{2/3}{2} = \frac13$ . 가장 가까운 일차함수는 상수 $\frac13$ . 포물선 $y = x^2$ 을 위아래로 균형 있게 가르는 수평선이며, $x^2 - \frac13$ 이 1과 $x$ 모두와 수직입니다.