12장. 테일러 급수

요약

거듭제곱급수와 수렴 반지름, 항별 미분·적분, 테일러 다항식과 나머지, 주요 함수의 매클로린 급수, 오일러 공식

6장의 선형근사는 함수를 접선(1차식)으로 어림했습니다. 더 높은 차수의 다항식으로 어림하면 더 정확해지고, 차수를 끝없이 올리면 많은 함수가 “무한 차수의 다항식”, 곧 거듭제곱급수와 같아집니다. 계산기가 $\sin$ 과 $e^x$ 를 계산하는 방법이고, 복소수로 넓히면 오일러 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 가 나옵니다.

12.1 거듭제곱급수

정의 12.1. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n(x - a)^n$ 꼴의 급수를 $a$ 를 중심으로 하는 거듭제곱급수(power series)라 합니다.

정리 12.2 (수렴 반지름). 거듭제곱급수마다 $0 \le R \le \infty$ 인 $R$ 이 있어, $|x - a| < R$ 이면 절대수렴하고 $|x - a| > R$ 이면 발산합니다. $R$ 을 수렴 반지름(radius of convergence)이라 합니다. 끝점 $|x - a| = R$ 은 따로 살펴야 합니다.

$R$ 은 보통 비 판정으로 구합니다: $\lim\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = L$ 이면 $R = 1/L$ .

예제 12.3. $\sum x^n$ 은 $R = 1$ 이고 $|x| < 1$ 에서 $\frac1{1 - x}$ 입니다(등비급수). $\sum\frac{x^n}{n!}$ 은 $\frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac1{n+1} \to 0$ 이라 $R = \infty$ 입니다.

정리 12.4 (항별 미분·적분). 수렴 반지름 안에서 거듭제곱급수는 항별로 미분하고 적분할 수 있고, 수렴 반지름은 그대로입니다.

예제 12.5. $\frac1{1 + x} = 1 - x + x^2 - \cdots$ 를 항별 적분하면 $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots$ ( $|x| < 1$ , 끝점 $x = 1$ 에서도 성립하여 $\ln 2 = 1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ ). $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ 를 적분하면 $\arctan x = x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \cdots$ 이고, $x = 1$ 이면 $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ (라이프니츠)입니다.

12.2 테일러 다항식

$f$ 와 $a$ 에서의 값, 도함수, 이계도함수, …가 모두 같은 다항식을 찾습니다.

정의 12.6. $f$ 의 $a$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식(Taylor polynomial)은

T_n(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2 + \cdots.

$a = 0$ 이면 매클로린 다항식(Maclaurin polynomial)이라 합니다. $T_1$ 은 6장의 선형근사입니다.

계수가 $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ 인 이유: $(x - a)^k$ 를 $k$ 번 미분하면 $k!$ 이 나오므로, $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ 가 되려면 그 계수로 나눠야 합니다.

정리 12.7 (테일러 정리, 라그랑주 나머지). $f$ 가 $n + 1$ 번 미분 가능하면 $f(x) = T_n(x) + R_n(x)$ 이고, $x$ 와 $a$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1}.

$n = 0$ 이면 평균값 정리(5장)입니다. 나머지를 막으면 근사의 오차를 보장할 수 있습니다.

예제 12.8. $e^{0.1}$ 을 $T_2$ 로 어림하면 $1 + 0.1 + 0.005 = 1.105$ 이고, 오차는 $\frac{e^c}{3!}(0.1)^3 \le \frac{e^{0.1}}{6}\cdot0.001 < 0.0002$ 입니다. (실제 $1.10517\ldots$ )

12.3 테일러 급수

$n \to \infty$ 에서 $R_n(x) \to 0$ 이면 $f$ 는 그 테일러 급수와 같습니다.

정리 12.9 (주요 매클로린 급수).

\begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots & (R = \infty)\\ \sin x &= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots & (R = \infty)\\ \cos x &= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots & (R = \infty)\\ \frac{1}{1 - x} &= \sum_{n=0}^\infty x^n & (R = 1)\\ \ln(1 + x) &= \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} & (R = 1) \end{aligned}

증명 ( $e^x$ ). 모든 도함수가 $e^x$ 이므로 계수는 $\frac1{n!}$ 입니다. 나머지는 $|R_n(x)| \le \frac{e^{|x|}|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ 이고, 계승이 어떤 거듭제곱보다 빨리 커지므로 0으로 갑니다. □

$\sin$ 은 기함수라 홀수 차수만, $\cos$ 은 우함수라 짝수 차수만 있습니다. 항별 미분하면 $(\sin x)' = \cos x$ 가 급수에서도 확인됩니다.

12.4 급수의 활용

극한. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \lim\frac{-x^3/6 + x^5/120 - \cdots}{x^3} = -\frac16$ . 로피탈 정리를 세 번 쓰는 것보다 빠릅니다.

적분. 원시함수를 초등함수로 쓸 수 없는 $e^{-x^2}$ 도 급수로는 적분됩니다:

\int_0^1e^{-x^2}dx = \int_0^1\left(1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + \cdots\right)dx = 1 - \frac13 + \frac1{10} - \frac1{42} + \cdots \approx 0.7468.

12.5 오일러 공식

$e^x$ 의 급수에 $x = i\theta$ ( $i^2 = -1$ )를 넣고 실수부와 허수부를 모으면

e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \cdots = \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \cdots\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\right)

이므로

정리 12.10 (오일러 공식). $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ . 특히 $e^{i\pi} + 1 = 0$ .

지수함수와 삼각함수가 복소수에서는 하나라는 이 공식이 푸리에 해석의 출발점이고, 복소해석학에서 본격적으로 다룹니다.

쓰이는 곳. 최적화의 이차 근사(뉴턴 방법), 활성화 함수와 손실 함수의 근사, 물리의 섭동 이론, 계산기가 $\sin$ , $e^x$ 를 계산하는 방법이 테일러 급수입니다. 오일러 공식은 푸리에 해석과 교류 회로의 출발점입니다.

12.6 이 장의 요약

거듭제곱급수는 수렴 반지름 안에서 다항식처럼 미분·적분할 수 있습니다.
$T_n = \sum\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ , 오차 $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ .
$e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ 의 급수는 모든 $x$ 에서 수렴합니다. $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ .

문제

12.1 [계산] · 확인 문제

$f(x) = e^{2x}$ 의 매클로린 급수 $\sum c_nx^n$ 의 계수를 씁니다.

계수	값
$c_0$	[?]
$c_1$	[?]
$c_2$	[?]
$c_3$	[?]

정답

풀이

$e^{2x} = \sum\frac{(2x)^n}{n!}$ 이므로 $c_n = \frac{2^n}{n!}$ : $1, 2, 2, \frac86 = \frac43$ .

12.2 [계산] · 확인 문제

$\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(x - 3)^n}{2^n}$ 의 수렴 반지름은?

정답

풀이

등비급수로 $\left|\frac{x - 3}{2}\right| < 1$ , 곧 $|x - 3| < 2$ 에서 수렴하므로 $R = 2$ 입니다.

12.3 [계산] · 확인 문제

급수로 구한 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1 - x - x^2/2}{x^3}$ 은?

정답

1/6

풀이

분자는 $\frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$ 이므로 극한은 $\frac16$ 입니다.

12.4 [계산]

$\cos x$ 의 4차 매클로린 다항식으로 $\cos(0.5)$ 를 어림한 값은? (소수 다섯째 자리까지)

정답

0.87760

풀이

$1 - \frac{0.25}2 + \frac{0.0625}{24} = 1 - 0.125 + 0.0026042 = 0.8776042$ 입니다. 실제 값은 $0.8775826\ldots$ 입니다.

12.5 [계산]

$\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}$ 의 값은? (소수 넷째 자리까지)

정답

2.7183

풀이

$e^x$ 의 급수에 $x = 1$ 을 넣은 것이므로 $e \approx 2.7183$ 입니다.

12.6 [증명]

오일러 공식에서 $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ , $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ 를 유도합니다.

풀이

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 이고 $\theta$ 에 $-\theta$ 를 넣으면 $\cos$ 은 우함수, $\sin$ 은 기함수이므로 $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ 입니다. 두 식을 더해 2로 나누면 $\cos\theta$ , 빼서 $2i$ 로 나누면 $\sin\theta$ 가 나옵니다.