1장. 극한

미적분학의 모든 정의(연속, 미분계수, 정적분, 급수의 합)는 극한으로 세워집니다. 이 장에서는 “ $x$ 가 $a$ 에 가까워질 때 $f(x)$ 가 $L$ 에 가까워진다”는 말을 정확한 정의로 바꾸고, 극한을 계산하는 규칙을 정리합니다.

1.1 직관

$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ 은 $x = 1$ 에서 정의되지 않습니다. 그러나 $x \ne 1$ 이면 $f(x) = x + 1$ 이므로, $x$ 가 1에 가까워지면 $f(x)$ 는 2에 가까워집니다.

$x$	0.9	0.99	0.999	1.001	1.01	1.1
$f(x)$	1.9	1.99	1.999	2.001	2.01	2.1

극한은 $x = a$ 에서의 값이 아니라 $a$ 근처의 값이 어디로 가는지를 묻습니다. $f(a)$ 가 정의되지 않거나 다른 값이어도 극한은 있을 수 있습니다.

1.2 ε–δ 정의

“가까워진다”를 정확히 하려면, 원하는 만큼 가깝게(오차 $\varepsilon$ ) 만들 수 있다는 것을 보여야 합니다.

정의 1.1 (극한). $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이란, 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 어떤 $\delta > 0$ 이 있어

0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon

이 성립한다는 뜻입니다.

이산수학 2강의 한정기호로 쓰면 $\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\, (0 < |x - a| < \delta \to |f(x) - L| < \varepsilon)$ 입니다. $\varepsilon$ 은 상대가 정하는 오차, $\delta$ 는 그에 맞춰 내가 고르는 범위입니다. $0 < |x - a|$ 는 $x = a$ 자체는 보지 않는다는 뜻입니다.

예제 1.2. $\lim_{x \to 3}(2x + 1) = 7$ 을 보입니다. $\varepsilon > 0$ 이 주어지면 $|(2x + 1) - 7| = 2|x - 3|$ 이므로 $\delta = \varepsilon/2$ 로 잡으면 $|x - 3| < \delta$ 일 때 $2|x - 3| < \varepsilon$ 입니다.

예제 1.3. $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ 를 보입니다. $|x^2 - 4| = |x - 2||x + 2|$ 입니다. 먼저 $\delta \le 1$ 로 제한하면 $1 < x < 3$ 이라 $|x + 2| < 5$ 입니다. 그러므로 $\delta = \min(1, \varepsilon/5)$ 로 잡으면 $|x^2 - 4| < 5 \cdot \varepsilon/5 = \varepsilon$ 입니다.

1.3 극한 법칙

정의로 매번 증명하는 대신, 다음 법칙으로 계산합니다.

정리 1.4 (극한 법칙). $\lim_{x\to a} f(x) = L$ , $\lim_{x\to a} g(x) = M$ 이면

$\lim (f + g) = L + M$ , $\lim (cf) = cL$
$\lim (fg) = LM$
$M \ne 0$ 이면 $\lim (f/g) = L/M$

$\lim_{x\to a} x = a$ 와 $\lim_{x \to a} c = c$ 에 이 법칙을 쓰면, 다항식과 (분모가 0이 아닌) 유리함수의 극한은 값을 대입하면 됩니다.

분모가 0이 되는 $0/0$ 꼴은 먼저 식을 변형합니다.

예제 1.5. $\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \lim_{x\to2}(x - 3) = -1$ (인수분해).

예제 1.6. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x\to0}\frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac14$ (유리화).

1.4 한쪽 극한

정의 1.7. $x$ 를 $a$ 보다 큰 쪽에서만 가깝게 할 때의 극한을 우극한(right-hand limit) $\lim_{x\to a^+}f(x)$ , 작은 쪽에서의 극한을 좌극한(left-hand limit) $\lim_{x\to a^-}f(x)$ 라 합니다.

정리 1.8. $\lim_{x\to a}f(x) = L$ 일 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 $L$ 인 것입니다.

예제 1.9. $f(x) = |x|/x$ 는 $x > 0$ 에서 1, $x < 0$ 에서 $-1$ 이므로 $x \to 0$ 에서 우극한 1, 좌극한 $-1$ 이고 극한은 없습니다.

1.5 조임 정리

정리 1.10 (조임 정리). $a$ 근처에서 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 이고 $\lim g = \lim h = L$ 이면 $\lim f = L$ 입니다.

예제 1.11. $\lim_{x\to0} x^2\sin(1/x) = 0$ . $\sin$ 은 $-1$ 과 $1$ 사이이므로 $-x^2 \le x^2\sin(1/x) \le x^2$ 이고 양쪽이 0으로 갑니다.

정리 1.12. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$ .

증명. $0 < x < \pi/2$ 에서 단위원의 넓이를 비교합니다. 꼭짓점 원점, $(1, 0)$ , $(\cos x, \sin x)$ 인 삼각형 ≤ 중심각 $x$ 인 부채꼴 ≤ 높이 $\tan x$ 인 직각삼각형이므로

\frac{\sin x}{2} \le \frac{x}{2} \le \frac{\tan x}{2}, \qquad \text{곧} \qquad \cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.

$\cos x \to 1$ 이므로 조임 정리로 우극한이 1입니다. $\sin x/x$ 는 우함수이므로 좌극한도 1입니다. □

이 극한은 3장에서 $\sin$ 의 도함수를 구하는 열쇠입니다. 정리 1.12에서 $\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{x} = 0$ 도 나옵니다( $1 - \cos x = \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ ).

1.6 무한대와 관련된 극한

정의 1.13. $\lim_{x\to\infty}f(x) = L$ 은 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 어떤 $N$ 이 있어 $x > N$ 이면 $|f(x) - L| < \varepsilon$ 이라는 뜻입니다. 이때 직선 $y = L$ 을 수평 점근선(horizontal asymptote)이라 합니다.

유리함수의 무한대에서의 극한은 분모의 최고차항으로 나눠 구합니다.

예제 1.14. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + x}{2x^2 - 5} = \lim_{x\to\infty}\frac{3 + 1/x}{2 - 5/x^2} = \frac32$ .

정의 1.15. $\lim_{x\to a}f(x) = \infty$ 는 모든 $M$ 에 대해 어떤 $\delta > 0$ 이 있어 $0 < |x - a| < \delta$ 이면 $f(x) > M$ 이라는 뜻입니다. 이때 직선 $x = a$ 를 수직 점근선(vertical asymptote)이라 합니다. ( $\infty$ 는 수가 아니므로 이 경우 극한은 “존재하지 않지만 무한대로 발산한다”고 말합니다.)

예제 1.16. $\lim_{x\to0} 1/x^2 = \infty$ 이고, $1/x$ 는 우극한 $\infty$ , 좌극한 $-\infty$ 입니다.

쓰이는 곳. 수렴, 연속, 미분, 적분의 정의가 모두 극한입니다. 머신러닝 이론에서 '데이터가 많아지면 오차가 0으로 간다'는 주장이나, 수치해석에서 '격자를 잘게 하면 근사가 참값으로 간다'는 주장은 이 장의 ε–δ나 ε–N 형식으로 쓰입니다.

1.7 이 장의 요약

극한은 $a$ 근처의 값이 어디로 가는가입니다. ε–δ: 모든 오차 $\varepsilon$ 에 대해 범위 $\delta$ 가 있습니다.
극한 법칙으로 대입, $0/0$ 이면 인수분해·유리화.
조임 정리와 $\lim_{x\to0}\sin x/x = 1$ .

문제

1.1 [계산] · 확인 문제

극한값을 씁니다.

극한	값
$\lim_{x\to3}\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$	[?]
$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 5x}{x}$	[?]
$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^3 - x}{5x^3 + 4}$	[?]
$\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$	[?]

힌트 1

둘째 줄은 $\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5$ 로 바꿉니다. 넷째 줄은 분자를 유리화합니다.

정답

풀이

$(x + 3) \to 6$ .
$5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x} \to 5$ .
최고차항의 비 $2/5$ .
$\frac{1}{\sqrt{x+9} + 3} \to \frac16$ .

1.2 [계산] · 확인 문제

$\lim_{x\to0}\dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ 은?

힌트 1

분자와 분모에 $1 + \cos x$ 를 곱하면 $\frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)}$ 가 됩니다.

정답

1/2

풀이

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \cdot \frac12 = \frac12$ 입니다.

1.3 [계산] · 확인 문제

$\lim_{x\to 4}(3x - 2) = 10$ 을 ε–δ로 증명할 때, $\varepsilon = 0.03$ 에 대해 잡을 수 있는 가장 큰 $\delta$ 는?

정답

0.01

풀이

$|(3x - 2) - 10| = 3|x - 4| < 0.03 \iff |x - 4| < 0.01$ 이므로 $\delta = 0.01$ 입니다.

1.4 [개념]

$\lim_{x \to 0}\sin(1/x)$ 에 대해 옳은 것은?

0입니다.
1입니다.
존재하지 않습니다.
$\infty$ 로 발산합니다.

정답

풀이

$x = \frac{1}{\pi/2 + 2n\pi}$ 이면 값이 1, $x = \frac{1}{3\pi/2 + 2n\pi}$ 이면 $-1$ 이고, 두 열 모두 0으로 갑니다. 0 근처에서 값이 $-1$ 과 1 사이를 끝없이 오가므로 어떤 $L$ 에도 가까워지지 않습니다. 유계이므로 무한대로 발산하지도 않습니다.

1.5 [계산]

$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$ 는?

힌트 1

$\infty - \infty$ 꼴은 켤레식을 곱해 분수로 만듭니다.

정답

풀이

$\sqrt{x^2 + 6x} - x = \frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{6}{\sqrt{1 + 6/x} + 1} \to \frac{6}{2} = 3$ 입니다.

1.6 [증명]

ε–δ 정의로 $\lim_{x\to1}(x^2 + x) = 2$ 를 보입니다.

힌트 1

$|x^2 + x - 2| = |x - 1||x + 2|$ 입니다. $\delta \le 1$ 로 제한해 $|x + 2|$ 를 막습니다.

풀이

$\delta \le 1$ 이면 $0 < x < 2$ 이므로 $|x + 2| < 4$ 입니다. $\delta = \min(1, \varepsilon/4)$ 로 잡으면 $0 < |x - 1| < \delta$ 일 때 $|x^2 + x - 2| = |x - 1||x + 2| < \frac{\varepsilon}{4} \cdot 4 = \varepsilon$ 입니다.