20장. 체와 벡터공간

지금까지는 숫자 목록인 벡터만 다뤘지만, 함수·다항식·행렬도 더하고 수를 곱할 수 있습니다. 이 장에서는 그런 대상 전체를 '벡터공간'이라는 하나의 정의로 묶습니다. 이렇게 추상화하면 1~19장의 결과가 함수와 다항식에도 그대로 쓰이게 됩니다. 3부(추상 선형대수)의 첫 장이며, 여기서부터 난이도가 한 단계 올라갑니다(심화).

20.1 화살표가 아닌 벡터

질문. 두 다항식을 더할 수 있고, 다항식에 수를 곱할 수 있습니다. 함수도, 행렬도, 수열도 그렇습니다. 이들의 덧셈과 스칼라배는 2.6절의 8가지 법칙을 모두 만족합니다. 그렇다면 $\mathbb{R}^n$에 대해 증명한 정리들(span, 일차독립, 기저, 차원, 선형변환, $\cdots$)이 이들에게도 그대로 성립할까요?

성립합니다. 그 정리들의 증명을 다시 보면, 성분 $v_i$를 직접 쓴 곳은 거의 없고 대부분 8가지 법칙만 썼습니다. 그렇다면 처음부터 8가지 법칙을 만족하는 것을 벡터라고 정의하면, 한 번의 증명으로 다항식, 함수, 행렬, 수열에 대한 정리를 모두 얻습니다. 이것이 3부의 출발점입니다.

또 하나 일반화합니다. 지금까지 스칼라는 실수였습니다. 그러나 7장과 16장에서 복소수가 필요했습니다. 컴퓨터과학에서는 0과 1 두 원소만 있는 수 체계가 중요합니다. 그래서 스칼라도 “사칙연산이 되는 수 체계”, 즉 체로 일반화합니다.

표기. 3부에서는 벡터를 굵게 쓰지 않습니다. 벡터가 함수나 다항식일 수 있어서, 굵은 글씨가 오히려 어색하기 때문입니다. 벡터는 $u, v, w$, 스칼라는 $a, b, c, \lambda$로 씁니다. 영벡터도 그냥 $0$으로 씁니다.

20.2 체

정의 20.1 (체). 집합 $\mathbb{F}$에 덧셈 $+$와 곱셈 $\cdot$이 정의되어 있고 다음을 만족하면 $\mathbb{F}$를 체(field)라 합니다. 모든 $a, b, c \in \mathbb{F}$에 대해

1. (교환) $a + b = b + a$, $ab = ba$
2. (결합) $(a + b) + c = a + (b + c)$, $(ab)c = a(bc)$
3. (항등원) $0 \ne 1$인 원소 $0, 1 \in \mathbb{F}$가 있어 $a + 0 = a$, $a1 = a$
4. (덧셈 역원) $a + (-a) = 0$인 $-a \in \mathbb{F}$가 있습니다
5. (곱셈 역원) $a \ne 0$이면 $aa^{-1} = 1$인 $a^{-1} \in \mathbb{F}$가 있습니다
6. (분배) $a(b + c) = ab + ac$

간단히 말해 체는 0이 아닌 수로 나눌 수 있는 수 체계입니다.

예제 20.2.

• $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$는 체입니다.
• $\mathbb{Z}$는 체가 아닙니다. 2의 곱셈 역원 $\frac12$이 $\mathbb{Z}$에 없습니다.
• $\mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$에서 덧셈과 곱셈을 2로 나눈 나머지로 정의하면 체입니다.

$1 + 1 = 0$이므로 $-1 = 1$입니다. 덧셈은 XOR, 곱셈은 AND와 같습니다. 소수 $p$에 대해 $\mathbb{F}_p = \{0, 1, \ldots, p - 1\}$ (나머지 연산)도 체입니다(문제 20.2).

$\mathbb{F}_2$ 위의 선형대수는 오류 정정 부호, 암호, 회로 설계에서 쓰입니다(31장). 신기하게도 소거, 랭크, 기저, 차원은 $\mathbb{F}_2$에서도 그대로 작동합니다. 작동하지 않는 것은 길이와 내적처럼 “크기”를 쓰는 개념들입니다.

여기서의 약속. 3부에서 $\mathbb{F}$는 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$를 뜻합니다. 다만 20–24장과 27–28장의 정의와 정리는 대부분 임의의 체에서 성립합니다. 내적을 쓰는 25–26장은 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$에서만 의미가 있습니다.

20.3 벡터공간

정의 20.3 (벡터공간). 집합 $V$에 덧셈 $V \times V \to V$, $(u, v) \mapsto u + v$와 스칼라배 $\mathbb{F} \times V \to V$, $(a, v) \mapsto av$가 정의되어 있고, 모든 $u, v, w \in V$, $a, b \in \mathbb{F}$에 대해 다음을 만족하면 $V$를 $\mathbb{F}$ 위의 벡터공간(vector space)이라 합니다.

1. $u + v = v + u$
2. $(u + v) + w = u + (v + w)$
3. $v + 0 = v$인 원소 $0 \in V$가 있습니다
4. 각 $v$에 대해 $v + w = 0$인 $w \in V$가 있습니다
5. $a(bv) = (ab)v$
6. $1v = v$
7. $a(u + v) = au + av$
8. $(a + b)v = av + bv$

$V$의 원소를 벡터(vector)라 합니다. $\mathbb{F} = \mathbb{R}$이면 실벡터공간(real vector space), $\mathbb{F} = \mathbb{C}$이면 복소벡터공간(complex vector space)이라 합니다.

정리 2.9의 목록 그대로입니다. 2장에서 “이 목록이 다시 나옵니다”고 한 곳이 여기입니다. 덧셈과 스칼라배가 함수($V \times V \to V$)라는 것은, 더하거나 곱한 결과가 다시 $V$ 안에 있다는 “닫혀 있음”을 포함합니다.

20.4 벡터공간의 예

예제 20.4 ($\mathbb{F}^n$). $\mathbb{F}^n = \{(x_1, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{F}\}$, 성분별 연산. $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}^n$, $\mathbb{F}_2^n$ (길이 $n$의 비트열, 덧셈은 XOR).

예제 20.5 (함수 공간). $S$가 임의의 집합일 때, $S$에서 $\mathbb{F}$로 가는 함수 전체 $\mathbb{F}^S$는 다음 연산으로 벡터공간입니다.

영벡터는 항상 0인 함수, $f$의 덧셈 역원은 $(-f)(x) = -f(x)$입니다. 각 법칙은 $x$마다 $\mathbb{F}$에서 성립하는 법칙으로 확인됩니다.

• $S = \{1, \ldots, n\}$이면 함수 $f$는 $(f(1), \ldots, f(n))$으로 기록되므로 $\mathbb{F}^S$는 사실상 $\mathbb{F}^n$입니다.
• $S = \{1, 2, 3, \ldots\}$이면 $\mathbb{F}^S$는 무한수열 $(x_1, x_2, \ldots)$ 전체로, $\mathbb{F}^\infty$로 씁니다.
• $S = \mathbb{R}$이면 $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$은 실함수 전체입니다. 그래프가 하나의 “벡터”입니다.

예제 20.6 (다항식). 계수가 $\mathbb{F}$에 있는 다항식 전체 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$는 (함수로서의) 덧셈과 스칼라배로 벡터공간입니다. 차수가 $m$ 이하인 다항식 전체 $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$도 벡터공간입니다(차수 $m$ 이하끼리 더해도 $m$ 이하). 반면 차수가 정확히 $m$인 다항식 전체는 벡터공간이 아닙니다. $x^2 + x$와 $-x^2$을 더하면 1차가 됩니다.

예제 20.7 (행렬). $m \times n$ 행렬 전체 $\mathbb{F}^{m \times n}$은 5.4절의 덧셈과 스칼라배로 벡터공간입니다.

예제 20.8 (†, 미분방정식의 해). $y'' + y = 0$을 만족하는 함수 $y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 전체는 벡터공간입니다. 두 해의 합과 해의 상수배도 해이기 때문입니다. 이 공간은 $\cos x$, $\sin x$의 span이며 2차원입니다. 미분방정식의 해가 “벡터공간”을 이룬다는 것이 선형 미분방정식 이론의 출발점입니다.

예제 20.9 (같은 집합, 다른 체). $\mathbb{C}$는 $\mathbb{C}$ 위의 벡터공간(1차원)이면서, 실수배만 허용하면 $\mathbb{R}$ 위의 벡터공간(기저 $1, i$로 2차원)이기도 합니다. 벡터공간은 집합과 체의 쌍입니다.

▶ 문제 20.1–20.4

20.5 공리에서 나오는 기본 성질

정의에는 “영벡터가 있습니다”고만 했지 “하나뿐입니다”라고는 하지 않았습니다. 이런 사실들을 공리만으로 증명합시다. 이 증명들은 앞으로 쓸 증명 방식의 첫 연습입니다.

정리 20.10 (영벡터와 역원의 유일성).

1. 벡터공간의 영벡터는 하나뿐입니다.
2. 각 벡터의 덧셈 역원은 하나뿐입니다.

증명. (1) $0$과 $0'$이 모두 영벡터이면 $0' = 0' + 0 = 0 + 0' = 0$. 첫째 등호는 $0$이 영벡터, 둘째는 교환법칙, 셋째는 $0'$이 영벡터라는 것입니다.

(2) $w$, $w'$이 모두 $v$의 역원이면 $w = w + 0 = w + (v + w') = (w + v) + w' = 0 + w' = w'$. ■

이제 $v$의 역원을 $-v$로, $w + (-v)$를 $w - v$로 쓸 수 있습니다.

정리 20.11 (0과의 곱). 모든 $v \in V$, $a \in \mathbb{F}$에 대해

1. $0v = 0$ (왼쪽 0은 스칼라, 오른쪽 0은 벡터)
2. $a0 = 0$
3. $(-1)v = -v$

증명. (1)과 (3)은 문제 2.8에서 했습니다. (2): $a0 = a(0 + 0) = a0 + a0$. 양변에 $-(a0)$를 더하면 $0 = a0$. ■

이 정리들은 당연해 보이지만, “당연한 것”을 공리에서 증명할 수 있다는 것은 공리가 충분하다는 뜻입니다. 앞으로 벡터공간에 대한 모든 증명은 이 8가지 법칙(과 체의 성질)만 씁니다.

▶ 문제 20.5–20.6

20.6 부분공간

정의 20.12 (부분공간). $V$의 부분집합 $U$가 $V$와 같은 연산으로 벡터공간이 되면 $U$를 $V$의 부분공간(subspace)이라 합니다.

정리 20.13 (부분공간 판정). $U \subseteq V$가 부분공간인 것은 다음 세 조건과 동치입니다.

1. $0 \in U$
2. $u, w \in U \Rightarrow u + w \in U$
3. $a \in \mathbb{F}$, $u \in U \Rightarrow au \in U$

증명. (⇐) (2), (3)에 의해 연산이 $U$ 안에서 닫혀 있습니다. 법칙 1, 2, 5–8은 $V$에서 성립하므로 $U$에서도 성립합니다. 법칙 3은 (1)에서 나옵니다. 법칙 4: $u \in U$이면 (3)과 정리 20.11에 의해 $-u = (-1)u \in U$. (⇒) $U$의 영벡터 $0_U$는 $0_U + 0_U = 0_U$를 만족하고, $V$에서 양변에 $-0_U$를 더하면 $0_U = 0$입니다. 나머지는 닫혀 있음. ■

10장의 정의와 같습니다. 차이는 이제 $V$가 $\mathbb{R}^n$이 아니어도 된다는 것입니다.

예제 20.14.

• $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$는 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$의 부분공간입니다.
• $\{f \in \mathbb{R}^{[0,1]} : f(0) = 0\}$은 부분공간입니다. $\{f : f(0) = 1\}$은 아닙니다.
• $\mathbb{F}^{n \times n}$에서 대칭행렬 전체, 위삼각행렬 전체, 대각합이 0인 행렬 전체는 부분공간입니다.
• (†) 연속함수 전체, 미분가능한 함수 전체는 $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$의 부분공간입니다.
• 0으로 수렴하는 수열 전체는 $\mathbb{R}^\infty$의 부분공간입니다.

▶ 문제 20.7–20.9

20.7 부분공간의 합과 직합

정의 20.15 (부분공간의 합). $V$의 부분공간 $U_1, \ldots, U_m$에 대해

을 이들의 합(sum)이라 합니다.

$U_1 + \cdots + U_m$은 모든 $U_i$를 포함하는 가장 작은 부분공간입니다(문제 20.10). 합집합은 보통 부분공간이 아니었습니다(문제 10.3). 합이 그것을 고친 것입니다.

예제 20.16. $\mathbb{R}^3$에서 $U$ = $xy$ 평면, $W$ = $z$축이면 $U + W = \mathbb{R}^3$. $U$ = $xy$ 평면, $W$ = $yz$ 평면이어도 $U + W = \mathbb{R}^3$입니다. 그러나 두 경우는 다릅니다. 첫째 경우 $(1, 2, 3) = (1, 2, 0) + (0, 0, 3)$으로 쓰는 방법이 하나뿐이지만, 둘째 경우 $(1, 2, 3) = (1, 2, 0) + (0, 0, 3) = (1, 0, 0) + (0, 2, 3)$ 등 여러 가지입니다.

정의 20.17 (직합). $U_1 + \cdots + U_m$의 모든 원소가 $u_1 + \cdots + u_m$ ($u_i \in U_i$)으로 유일하게 쓰이면, 이 합을 직합(direct sum)이라 하고 $U_1 \oplus \cdots \oplus U_m$으로 씁니다.

정리 20.18 (직합의 판정).

1. $U_1 + \cdots + U_m$이 직합인 것은 $0 = u_1 + \cdots + u_m$ ($u_i \in U_i$)이면 모든 $u_i = 0$인 것과 동치입니다.
2. 두 부분공간에 대해서는: $U + W$가 직합 $\iff$ $U \cap W = \{0\}$.

증명. (1) (⇒) $0 = 0 + \cdots + 0$도 한 표현이므로 유일성에서 모든 $u_i = 0$. (⇐) $v = \sum u_i = \sum u_i'$이면 $0 = \sum (u_i - u_i')$이고 $u_i - u_i' \in U_i$이므로 모든 $u_i = u_i'$.

(2) (⇒) $v \in U \cap W$이면 $0 = v + (-v)$이고 $v \in U$, $-v \in W$이므로 (1)에서 $v = 0$. (⇐) $0 = u + w$이면 $u = -w \in U \cap W = \{0\}$이므로 $u = w = 0$. ■

세 개 이상에서는 둘씩 교집합이 $\{0\}$이어도 직합이 아닐 수 있습니다. 예를 들어 $\mathbb{R}^2$의 세 직선 $x$축, $y$축, 직선 $y = x$는 둘씩 교집합이 $\{0\}$이지만 $(1, 1) = (1, 0) + (0, 1) + (0, 0) = (0, 0) + (0, 0) + (1, 1)$입니다(문제 20.12).

예제 20.19. $\mathbb{F}^{n \times n}$ = (대칭행렬) $\oplus$ (반대칭행렬). 모든 정사각행렬은 $A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}$로 쓰이고, 대칭이면서 반대칭인 행렬은 $O$뿐입니다.

13장의 정리 13.5는 $\mathbb{R}^n = C(A^T) \oplus N(A)$라는 직합 분해였습니다. 직합은 공간을 “서로 간섭하지 않는 조각들”로 나누는 언어이며, 24장과 27장에서 연산자를 이해하는 핵심 도구가 됩니다.

▶ 문제 20.10–20.12

쓰이는 곳. 함수의 공간을 벡터공간으로 보는 관점은 커널 방법(재생 핵 힐베르트 공간), 양자역학의 상태 공간, 신호처리에서 기본입니다. 논문이 '함수 공간 $\mathcal{H}$'라고 말하면 이 장의 정의를 떠올리면 됩니다.

이 장의 요약

• 체: 0이 아닌 수로 나눌 수 있는 수 체계. $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{F}_2$, $\mathbb{F}_p$.
• 벡터공간: 덧셈과 스칼라배가 8가지 법칙을 만족하는 집합. $\mathbb{F}^n$, 함수 공간 $\mathbb{F}^S$, 다항식 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$, 행렬 $\mathbb{F}^{m \times n}$.
• 영벡터와 역원은 유일합니다. $0v = 0$, $a0 = 0$, $(-1)v = -v$는 공리에서 증명됩니다.
• 부분공간 판정: 0을 포함하고 덧셈·스칼라배에 닫혀 있습니다.
• 합 $U_1 + \cdots + U_m$; 표현이 유일하면 직합 $\oplus$. 두 개일 때는 교집합이 $\{0\}$인 것과 같습니다.

문제

3부의 문제에서는 벡터를 굵게 쓰지 않습니다. 증명 문제는 본문처럼 공리와 앞의 정리만 써서 증명합니다.

X
O
O
X

1
3
2
4

0
1
1
0
0
0
4

O
O
X
X
O
X

O
O