2장. 벡터: 화살표이자 숫자 목록

요약

화살표와 숫자 목록으로서의 벡터, 두 점 사이의 벡터, 덧셈과 스칼라배와 뺄셈, 8가지 연산 법칙, 길이와 내적, 내적과 각

벡터는 고등학교 기하에서 '크기와 방향을 가진 화살표'로 배웠습니다. 이 장에서는 같은 벡터를 '숫자를 세로로 늘어놓은 목록'으로도 봅니다. 두 관점을 함께 가지면, 화살표로는 그릴 수 없는 100차원·1000차원 벡터(예: 단어 하나를 나타내는 수 300개)도 같은 규칙으로 다룰 수 있습니다. 덧셈, 스칼라배, 길이, 내적을 두 관점에서 정의하고 서로 같음을 확인합니다.

2.1 이동을 적는 방법

질문. 보물지도에 “우물에서 동쪽으로 3걸음, 북쪽으로 2걸음”이라고 적혀 있습니다. 그런데 출발점이 우물이 아니라 나무라면? 같은 지시를 따르면 다른 곳에 도착하지만, 움직인 방식은 똑같습니다. 이 “움직인 방식”만을 따로 떼어 적을 수 있을까요?

시작점이 서로 다른 화살표 여러 개가 모두 “동쪽 3, 북쪽 2”라는 같은 이동을 나타낼 수 있습니다. 화살표들은 위치가 다르지만 길이도 같고 가리키는 방향도 같습니다. 이동을 기록할 때는 출발점이 아니라 이 두 정보만 있으면 됩니다. 이 정보를 담는 대상이 벡터(vector)다.

벡터를 보는 방법은 두 가지입니다.

화살표: 길이와 방향을 가진 화살표. 그림으로 생각할 때 씁니다.
숫자 목록: $(3, 2)$ 처럼 각 방향으로 얼마나 가는지를 적은 목록. 계산할 때 씁니다.

선형대수를 잘한다는 것은 이 두 관점을 자유롭게 오가는 것입니다. 이 장은 그 연습의 시작입니다.

2.2 화살표로서의 벡터

정의 2.1 (벡터, 화살표 관점). 평면이나 공간에서 길이와 방향으로 결정되는 대상을 벡터(vector)라 합니다. 길이와 방향이 같은 두 화살표는, 그려진 위치가 달라도 같은 벡터를 나타냅니다.

벡터는 굵은 소문자 $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ , $\mathbf{u}$ 로 씁니다. 손으로 쓸 때는 굵게 쓰기 어려우므로 $\vec{v}$ 처럼 위에 화살표를 붙입니다. 화살표의 꼬리를 시점(initial point), 머리를 종점(terminal point)이라 합니다. 점 $P$ 에서 점 $Q$ 로 가는 화살표가 나타내는 벡터는 $\overrightarrow{PQ}$ 로 씁니다.

같은 벡터를 나타내는 화살표는 무수히 많으므로, 그중 하나를 대표로 정해 두면 편합니다. 보통은 시점이 원점인 화살표를 대표로 씁니다. 이렇게 하면 벡터 하나와 점 하나(화살표의 종점)가 정확히 짝지어집니다.

정의 2.2 (영벡터). 길이가 0인 벡터, 즉 “움직이지 않음”을 나타내는 벡터를 영벡터(zero vector)라 하고 $\mathbf{0}$ 으로 씁니다. 영벡터는 방향이 정해지지 않습니다.

2.3 숫자 목록으로서의 벡터

2.3.1 평면의 벡터

시점을 원점에 두면, 화살표는 종점의 좌표로 완전히 결정됩니다. $x$ 방향으로 3, $y$ 방향으로 2만큼 가는 벡터는 이 두 수를 세로로 적습니다.

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}

이렇게 세로로 적은 벡터를 열벡터(column vector)라 합니다. 3과 2를 $\mathbf{v}$ 의 성분(component)이라 하고, 첫째 성분 $v_1 = 3$ , 둘째 성분 $v_2 = 2$ 처럼 씁니다.

본문 안에서는 공간을 아끼려고 $\mathbf{v} = (3, 2)$ 처럼 가로로 쓰기도 합니다. 여기서 $(3, 2)$ 와 $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ 는 같은 벡터를 가리킵니다. 계산할 때는 주로 세로로 씁니다. 이유는 4장에서 행렬을 곱할 때 분명해집니다.

0장에서 실수 두 개의 순서쌍 전체를 $\mathbb{R}^2$ 이라 했습니다. 이제 $\mathbb{R}^2$ 을 “평면의 벡터 전체”로 읽을 수 있습니다. 벡터 $(a, b)$ 와 순서쌍 $(a, b)$ , 그리고 점 $(a, b)$ 는 모두 같은 정보입니다. 순서쌍이므로 순서가 중요합니다. $(3, 2)$ 와 $(2, 3)$ 은 서로 다른 벡터입니다.

2.3.2 공간의 벡터

공간에서는 방향이 세 개( $x$ , $y$ , $z$ )이므로 벡터의 성분도 세 개입니다. 실수 세 개의 순서 있는 목록 전체를 $\mathbb{R}^3$ 이라 합니다.

2.3.3 n차원으로

여기서 관점이 바뀝니다. 화살표를 그릴 수 있는 것은 3차원까지입니다. 그러나 숫자 목록은 몇 개든 늘어놓을 수 있습니다.

정의 2.3 ( $\mathbb{R}^n$ 의 벡터). 실수 $n$ 개를 순서대로 늘어놓은 목록

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \qquad (v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R})

를 $\mathbb{R}^n$ 의 벡터(vector)라 하고, 그 전체를 $\mathbb{R}^n$ 이라 합니다. $v_i$ 를 $\mathbf{v}$ 의 제 $i$ 성분(i-th component)이라 합니다.

예제 2.4. 한 학생의 국어, 영어, 수학, 과학 점수 $(88, 92, 75, 81)$ 은 $\mathbb{R}^4$ 의 벡터입니다. 화살표로 그릴 수는 없지만, 숫자 목록으로서는 2차원 벡터와 똑같이 다룰 수 있습니다.

직관. $\mathbb{R}^n$ 에서 생기는 일은 대부분 $\mathbb{R}^2$ , $\mathbb{R}^3$ 에서 생기는 일과 같습니다. 그래서 그림은 $\mathbb{R}^2$ , $\mathbb{R}^3$ 에서 그리고, 그 그림에서 얻은 생각을 $\mathbb{R}^n$ 의 숫자 계산으로 옮깁니다.

정의 2.5 (벡터의 같음). $\mathbb{R}^n$ 의 두 벡터 $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ 는 모든 성분이 같을 때, 즉 $v_i = w_i$ ( $i = 1, \ldots, n$ )일 때 같다고 하고 $\mathbf{v} = \mathbf{w}$ 로 씁니다.

$\mathbb{R}^n$ 의 영벡터는 성분이 모두 0인 벡터 $\mathbf{0} = (0, 0, \ldots, 0)$ 입니다. 성분 개수가 다른 벡터는 비교하지 않습니다. $(1, 2)$ 와 $(1, 2, 0)$ 은 서로 다른 집합 $\mathbb{R}^2$ , $\mathbb{R}^3$ 에 속하는 다른 대상입니다.

2.3.4 두 점 사이의 벡터

점 $P = (p_1, p_2)$ 에서 점 $Q = (q_1, q_2)$ 로 가는 화살표는 $x$ 방향으로 $q_1 - p_1$ , $y$ 방향으로 $q_2 - p_2$ 만큼 갑니다. 따라서

\overrightarrow{PQ} = \begin{bmatrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \end{bmatrix}

입니다. “종점 빼기 시점”으로 기억하면 됩니다.

예제 2.6. $P = (1, 4)$ , $Q = (5, 1)$ 이면 $\overrightarrow{PQ} = (5 - 1, 1 - 4) = (4, -3)$ 입니다. 우물이 $(0, 0)$ , 나무가 $(5, 1)$ 이면, 두 경우 모두 이동 벡터는 $(3, 2)$ 입니다.

▶ 문제 2.1–2.3

2.4 벡터의 덧셈

질문. 먼저 $\mathbf{v} = (3, 1)$ 만큼 이동하고, 이어서 $\mathbf{w} = (1, 2)$ 만큼 이동하면, 전체적으로 어떤 이동을 한 것일까요?

$세 그림. (a) v의 머리에 w의 꼬리를 붙이고, 처음 꼬리에서 마지막 머리로 가는 굵은 화살표 v + w를 그렸습니다. (b) v와 w를 같은 점에서 그린 평행사변형의 대각선이 v + w다. (c) w의 머리에서 v의 머리로 가는 굵은 화살표가 v − w다.$

그림 2.1. 벡터의 덧셈과 뺄셈. (a) $\mathbf{w}$ 의 꼬리를 $\mathbf{v}$ 의 머리에 붙입니다. (b) 같은 결과를 평행사변형의 대각선으로 볼 수 있습니다. (c) $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 는 $\mathbf{w}$ 의 머리에서 $\mathbf{v}$ 의 머리로 가는 화살표입니다(2.5.2절).

그림 2.1(a)처럼 $\mathbf{w}$ 의 꼬리를 $\mathbf{v}$ 의 머리에 붙이면, 전체 이동은 처음 꼬리에서 마지막 머리로 가는 화살표입니다. 이것을 $\mathbf{v} + \mathbf{w}$ 로 정의합니다.

숫자로 보면 더 간단합니다. $x$ 방향으로 3을 가고 이어서 1을 가면 모두 $3 + 1 = 4$ 를 갑니다. $y$ 방향도 $1 + 2 = 3$ 입니다. 그래서 $\mathbf{v} + \mathbf{w} = (4, 3)$ 입니다. 성분끼리 더하면 됩니다.

정의 2.7 (벡터의 덧셈). $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$ 에 대하여

\mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ \vdots \\ v_n + w_n \end{bmatrix}

입니다.

그림 2.1(b)는 같은 덧셈의 다른 그림입니다. $\mathbf{v}$ 와 $\mathbf{w}$ 를 같은 점에서 그리면 평행사변형의 두 변이 되고, $\mathbf{v} + \mathbf{w}$ 는 그 대각선입니다. $\mathbf{v}$ 먼저 가든 $\mathbf{w}$ 먼저 가든 같은 곳에 도착한다는 것도 이 그림에서 바로 보입니다.

2.5 스칼라배와 뺄셈

2.5.1 스칼라배

$\mathbf{v}$ 만큼 두 번 이동하면 $\mathbf{v} + \mathbf{v}$ 이고, 성분으로는 $(2v_1, 2v_2)$ 입니다. 이것을 $2\mathbf{v}$ 로 쓰는 것은 자연스럽습니다. 같은 방식으로 실수 $c$ 를 곱하는 것을 정의합니다.

정의 2.8 (스칼라배). 실수 $c$ 와 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ 에 대하여

c\mathbf{v} = \begin{bmatrix} cv_1 \\ cv_2 \\ \vdots \\ cv_n \end{bmatrix}

입니다. 벡터와 구별하기 위해 실수를 스칼라(scalar)라 부르고, $c\mathbf{v}$ 를 스칼라배(scalar multiple)라 합니다.

$c > 1$ 이면 같은 방향으로 늘어나고, $0 < c < 1$ 이면 줄어듭니다.
$c < 0$ 이면 방향이 반대가 됩니다. 특히 $(-1)\mathbf{v}$ 를 $-\mathbf{v}$ 로 씁니다.
$c = 0$ 이면 영벡터가 됩니다.

어느 경우든 $c\mathbf{v}$ 는 원점과 $\mathbf{v}$ 를 지나는 직선 위에 있습니다. 이 사실은 다음 장에서 “한 벡터로 만들 수 있는 것은 직선뿐”이라는 결론으로 이어집니다.

2.5.2 뺄셈

$\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 는 $\mathbf{v} + (-\mathbf{w})$ 로 정의합니다. 성분으로는 $(v_1 - w_1, \ldots, v_n - w_n)$ 입니다.

그림에서 $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 를 찾는 방법은 이렇습니다. $\mathbf{w} + (\mathbf{v} - \mathbf{w}) = \mathbf{v}$ 이므로, $\mathbf{w}$ 의 머리에서 출발해 $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 만큼 가면 $\mathbf{v}$ 의 머리에 도착해야 합니다. 즉 $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 는 $\mathbf{w}$ 의 끝에서 $\mathbf{v}$ 의 끝으로 가는 화살표입니다(그림 2.1(c)). 2.3절의 $\overrightarrow{PQ}$ = “종점 빼기 시점”과 같은 이야기입니다.

▶ 문제 2.4–2.6

2.6 연산 법칙

실수의 덧셈과 곱셈에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 있습니다. 벡터의 연산은 성분별 실수 연산이므로, 이 법칙들이 그대로 넘어옵니다.

정리 2.9 (벡터 연산의 8가지 법칙). $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$ , $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$ (덧셈의 교환법칙)
$(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ (덧셈의 결합법칙)
$\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$ (영벡터)
$\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ (덧셈의 역원)
$a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$ (스칼라곱의 결합법칙)
$1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ (1을 곱하기)
$a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$ (분배법칙 1)
$(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$ (분배법칙 2)

입니다.

아이디어. 두 벡터가 같다는 것은 모든 성분이 같다는 것입니다(정의 2.5). 그러니 제 $i$ 성분끼리 비교하면, 벡터의 등식이 실수의 등식으로 바뀝니다.

증명. (1)만 증명합니다. 나머지는 같은 방법으로 증명하며, (7)은 문제 2.7입니다. $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 의 제 $i$ 성분은 정의에 의해 $u_i + v_i$ 이고, $\mathbf{v} + \mathbf{u}$ 의 제 $i$ 성분은 $v_i + u_i$ 입니다. 실수의 덧셈은 교환법칙을 만족하므로 $u_i + v_i = v_i + u_i$ 입니다. 이것이 모든 $i = 1, \ldots, n$ 에 대해 성립하므로 $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$ 입니다. $\blacksquare$

이 여덟 가지 법칙은 그 자체로는 당연해 보입니다. 그런데 20장에서 이것들이 다른 역할을 맡습니다. 거기서는 “벡터”를 숫자 목록이 아니라 이 여덟 가지 법칙을 만족하는 무엇이든으로 정의합니다. 그러면 다항식, 함수, 행렬도 벡터가 됩니다. 지금은 목록을 한 번 읽고 넘어가되, 이 목록이 다시 나온다는 것만 기억해 둡시다.

직관 (예고). 문제 2.8에서는 이 8가지 법칙만 써서 $0\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 을 증명합니다. 성분을 쓰지 않고 증명하는 연습입니다. 20장의 증명이 정확히 이런 식입니다.

▶ 문제 2.7–2.8

2.7 길이와 내적

2.7.1 길이

평면의 벡터 $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ 의 화살표는 가로 $v_1$ , 세로 $v_2$ 인 직각삼각형의 빗변입니다. 따라서 길이는 $\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ 입니다. $\mathbb{R}^3$ 에서는 피타고라스 정리를 두 번 쓰면 $\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ 이 됩니다. 이 패턴을 $\mathbb{R}^n$ 으로 확장합니다.

정의 2.10 (길이). $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ 의 길이(length) 또는 노름(norm)을

\lVert\mathbf{v}\rVert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}

로 정의합니다. 길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라 합니다.

$\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 이면 $\frac{1}{\lVert\mathbf{v}\rVert}\mathbf{v}$ 는 $\mathbf{v}$ 와 방향이 같은 단위벡터입니다(문제 2.12에서 $\lVert c\mathbf{v}\rVert = |c|\lVert\mathbf{v}\rVert$ 를 증명하면 바로 나옵니다). 이렇게 만드는 것을 정규화(normalization)라 합니다.

예제 2.11. $\mathbf{v} = (3, 4)$ 이면 $\lVert\mathbf{v}\rVert = \sqrt{9 + 16} = 5$ 이고, 같은 방향의 단위벡터는 $\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ 입니다.

2.7.2 내적

정의 2.12 (내적). $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$ 의 내적(dot product)을

\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n = \sum_{i=1}^n v_iw_i

로 정의합니다. 결과는 벡터가 아니라 실수입니다.

예제 2.13. $(1, 2, 3) \cdot (4, -5, 6) = 4 - 10 + 18 = 12$ 입니다.

정의에서 바로 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + \cdots + v_n^2 = \lVert\mathbf{v}\rVert^2$ 입니다. 길이는 내적으로 표현됩니다.

정리 2.14 (내적의 성질). $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$ , $c \in \mathbb{R}$ 에 대하여

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \mathbf{w} \cdot \mathbf{v}$
$\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$
$(c\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = c(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 \ge 0$ 이고, 등호는 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 일 때만 성립합니다.

증명. (2)를 보입니다. $\sum$ 의 성질(0장 정리 0.17)을 쓰면

\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \sum_{i=1}^n u_i(v_i + w_i) = \sum_{i=1}^n u_iv_i + \sum_{i=1}^n u_iw_i = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}

입니다. (4)는 $v_i^2 \ge 0$ 이므로 합도 0 이상이고, 합이 0이 되려면 모든 $v_i^2 = 0$ , 즉 모든 $v_i = 0$ 이어야 한다는 데서 나옵니다. (1), (3)도 성분별로 확인하면 됩니다. $\blacksquare$

2.7.3 내적의 기하학적 의미

내적의 정의는 “같은 자리끼리 곱해서 더합니다”일 뿐입니다. 그런데 이 단순한 계산이 두 벡터 사이의 각을 알려 줍니다.

정리 2.15 (내적과 각). $\mathbb{R}^2$ 의 영이 아닌 두 벡터 $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ 사이의 각을 $\theta$ ( $0 \le \theta \le \pi$ )라 하면

\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert\cos\theta

입니다.

증명. $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ , $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 가 만드는 삼각형에 코사인 법칙을 쓰면

\lVert\mathbf{v} - \mathbf{w}\rVert^2 = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 + \lVert\mathbf{w}\rVert^2 - 2\lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert\cos\theta

입니다. 한편 정리 2.14를 써서 좌변을 전개하면

\lVert\mathbf{v} - \mathbf{w}\rVert^2 = (\mathbf{v} - \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} - \mathbf{w}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - 2\,\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 - 2\,\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \lVert\mathbf{w}\rVert^2

입니다. 두 식을 비교하면 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert\cos\theta$ 입니다. $\blacksquare$

$\mathbb{R}^3$ 에서도 같은 증명이 그대로 통합니다(세 벡터가 놓인 평면에서 삼각형을 그리면 됩니다). $\mathbb{R}^n$ ( $n \ge 4$ )에서는 각을 그림으로 잴 수 없으므로, 거꾸로 이 식으로 각을 정의합니다.

\cos\theta = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert}

이 정의가 말이 되려면 우변이 $-1$ 과 1 사이에 있어야 합니다. 그것을 보장하는 것이 코시–슈바르츠 부등식 $|\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}| \le \lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert$ 이고, 13장에서 증명합니다.

정의 2.16 (수직). $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$ 이면 $\mathbf{v}$ 와 $\mathbf{w}$ 가 수직(orthogonal)이라 하고 $\mathbf{v} \perp \mathbf{w}$ 로 씁니다.

영이 아닌 두 벡터에 대해 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$ 은 $\cos\theta = 0$ , 즉 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 와 같습니다. 이 정의에 따르면 영벡터는 모든 벡터와 수직입니다.

직관. 내적의 부호는 두 벡터가 “얼마나 같은 쪽을 보는지”를 알려 줍니다. 양수면 예각(대체로 같은 쪽), 0이면 직각, 음수면 둔각(대체로 반대쪽)입니다.

예제 2.17. $\mathbf{v} = (1, 2)$ , $\mathbf{w} = (-4, 2)$ 이면 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = -4 + 4 = 0$ 이므로 두 벡터는 수직입니다. 모눈종이에 그려서 확인해 봅시다.

▶ 문제 2.9–2.14

쓰이는 곳. 머신러닝에서는 데이터 하나를 특징의 목록인 벡터 $x \in \mathbb{R}^d$ 로 씁니다. 단어 임베딩, 이미지의 픽셀 값, 사용자의 취향이 모두 벡터이고, 두 벡터의 내적이나 코사인 유사도 $\frac{u \cdot v}{\|u\|\|v\|}$ 로 '비슷한 정도'를 잽니다. 물리에서는 힘, 속도, 전기장이 벡터입니다.

이 장의 요약

벡터는 길이와 방향을 가진 화살표이자, 숫자의 순서 있는 목록입니다. $\mathbb{R}^n$ 은 실수 $n$ 개짜리 목록 전체입니다.
$\overrightarrow{PQ}$ = 종점 − 시점.
덧셈과 스칼라배는 성분별로 합니다. 그림으로는 이어 붙이기(평행사변형)와 늘이기·뒤집기입니다.
벡터 연산은 8가지 법칙을 만족합니다. 이 목록은 20장에서 벡터공간의 정의가 됩니다.
$\lVert\mathbf{v}\rVert = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$ , $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum v_iw_i = \lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert\cos\theta$ . 내적이 0이면 수직입니다.

문제

2.1 [계산] · 확인 문제

$\overrightarrow{PQ}$ 와 $\overrightarrow{QP}$ 를 구합니다. (a) $P = (2, -1)$ , $Q = (-3, 4)$ (b) $P = (1, 0, 2)$ , $Q = (4, -1, 5)$

	첫째 성분	둘째 성분	셋째 성분
(a) $\overrightarrow{PQ}$	[?]	[?]	없음
(a) $\overrightarrow{QP}$	[?]	[?]	없음
(b) $\overrightarrow{PQ}$	[?]	[?]	[?]
(b) $\overrightarrow{QP}$	[?]	[?]	[?]

힌트 1

“종점 빼기 시점”입니다.

정답

-5
5
5
-5
3
-1
3
-3
1
-3

풀이

(a) $\overrightarrow{PQ} = (-3 - 2, 4 - (-1)) = (-5, 5)$ , $\overrightarrow{QP} = (5, -5)$ 입니다. (b) $\overrightarrow{PQ} = (3, -1, 3)$ , $\overrightarrow{QP} = (-3, 1, -3)$ 입니다. 항상 $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$ 입니다.

2.2 [계산]

(a) $A = (1, 1)$ , $B = (4, 3)$ , $C = (0, 5)$ 일 때 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ 가 되는 점 $D$ 를 구합니다(풀이에서 확인). (b) 다음 화살표 중 같은 벡터를 나타내는 것을 모두 고릅니다.

$(0, 0) \to (2, 3)$
$(1, -1) \to (3, 2)$
$(2, 0) \to (0, 3)$
$(-1, 4) \to (1, 7)$

정답

1,2,4

풀이

(a) $\overrightarrow{AB} = (3, 2)$ 이므로 $D = C + (3, 2) = (3, 7)$ 입니다. (b) 1번은 $(2, 3)$ , 2번은 $(2, 3)$ , 3번은 $(-2, 3)$ , 4번은 $(2, 3)$ 입니다. 같은 벡터는 1, 2, 4번입니다.

2.3 [계산] · 확인 문제

$\mathbb{R}^4$ 의 두 벡터가 같습니다: $(x + y,\ x - y,\ 3,\ z) = (5,\ 1,\ w,\ -2)$ . $x$ , $y$ , $z$ , $w$ 를 구합니다.

$x$	$y$	$z$	$w$
[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

$x + y = 5$ , $x - y = 1$ 에서 $x = 3$ , $y = 2$ 입니다. 셋째 성분에서 $w = 3$ , 넷째 성분에서 $z = -2$ 입니다.

2.4 [계산]

$\mathbf{v} = (1, -2, 3)$ , $\mathbf{w} = (4, 0, -1)$ 일 때 다음을 구합니다.

	첫째	둘째	셋째
$\mathbf{v} + \mathbf{w}$	[?]	[?]	[?]
$3\mathbf{v}$	[?]	[?]	[?]
$\mathbf{v} - 2\mathbf{w}$	[?]	[?]	[?]
$2\mathbf{v} + 3\mathbf{w}$	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

$\mathbf{v} + \mathbf{w} = (5, -2, 2)$ , $3\mathbf{v} = (3, -6, 9)$ , $\mathbf{v} - 2\mathbf{w} = (1 - 8, -2 - 0, 3 + 2) = (-7, -2, 5)$ , $2\mathbf{v} + 3\mathbf{w} = (2 + 12, -4 + 0, 6 - 3) = (14, -4, 3)$ 입니다.

2.5 [계산]

$\mathbf{v} = (3, 1)$ , $\mathbf{w} = (1, 2)$ 라 합시다. 모눈종이에 $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ , $\mathbf{v} + \mathbf{w}$ , $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ , $\mathbf{w} - \mathbf{v}$ , $2\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 를 모두 원점에서 출발하는 화살표로 그리고, 각 벡터의 성분을 적습니다. $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 와 $\mathbf{w} - \mathbf{v}$ 는 어떤 관계일까요?

풀이

$\mathbf{v} + \mathbf{w} = (4, 3)$ , $\mathbf{v} - \mathbf{w} = (2, -1)$ , $\mathbf{w} - \mathbf{v} = (-2, 1)$ , $2\mathbf{v} - \mathbf{w} = (5, 0)$ 입니다. $\mathbf{w} - \mathbf{v} = -(\mathbf{v} - \mathbf{w})$ 로, 길이가 같고 방향이 반대입니다.

2.6 [계산] · 확인 문제

다음을 만족하는 벡터 $\mathbf{x}$ 를 구합니다. (a) $2\mathbf{x} + \mathbf{v} = \mathbf{w}$ , $\mathbf{v} = (1, 3)$ , $\mathbf{w} = (5, -1)$ (b) $3\mathbf{x} - (1, 2, 0) = \mathbf{x} + (3, 0, 4)$

	첫째	둘째	셋째
(a) $\mathbf{x}$	[?]	[?]	없음
(b) $\mathbf{x}$	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

(a) $\mathbf{x} = \frac{1}{2}(\mathbf{w} - \mathbf{v}) = \frac{1}{2}(4, -4) = (2, -2)$ 입니다. (b) $2\mathbf{x} = (3, 0, 4) + (1, 2, 0) = (4, 2, 4)$ 이므로 $\mathbf{x} = (2, 1, 2)$ 입니다. 벡터 방정식도 실수 방정식처럼 이항해서 풀 수 있습니다. 이것이 가능한 근거가 8가지 법칙입니다.

2.7 [증명]

$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ , $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여 다음을 성분을 써서 증명합니다(정리 2.9의 (7), (8)). (a) $a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$ (b) $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$

풀이

(a) 좌변의 제 $i$ 성분은 $a(u_i + v_i)$ , 우변의 제 $i$ 성분은 $au_i + av_i$ 입니다. 실수의 분배법칙으로 같습니다. (b) 좌변 $(a + b)v_i$ , 우변 $av_i + bv_i$ 입니다. 같은 이유입니다.

2.8 [도전]

정리 2.9의 8가지 법칙만 사용하여 다음을 증명합니다. 성분 $v_i$ 를 쓰면 안 됩니다. 각 등호마다 어떤 법칙을 썼는지 번호를 답니다. (a) $0\mathbf{v} = \mathbf{0}$ (b) $(-1)\mathbf{v} = -\mathbf{v}$ (여기서 $-\mathbf{v}$ 는 법칙 (4)에 나오는, $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ 을 만족하는 벡터입니다.)

풀이

(a) $0\mathbf{v} = (0 + 0)\mathbf{v} = 0\mathbf{v} + 0\mathbf{v}$ 다(법칙 8). 양변에 $-(0\mathbf{v})$ 를 더하면

\mathbf{0} \overset{(4)}{=} 0\mathbf{v} + \big(-(0\mathbf{v})\big) = \big(0\mathbf{v} + 0\mathbf{v}\big) + \big(-(0\mathbf{v})\big) \overset{(2)}{=} 0\mathbf{v} + \Big(0\mathbf{v} + \big(-(0\mathbf{v})\big)\Big) \overset{(4)}{=} 0\mathbf{v} + \mathbf{0} \overset{(3)}{=} 0\mathbf{v}

입니다.

(b) $\mathbf{u} = (-1)\mathbf{v}$ 라 합시다. $\mathbf{v} + \mathbf{u} \overset{(6)}{=} 1\mathbf{v} + (-1)\mathbf{v} \overset{(8)}{=} (1 + (-1))\mathbf{v} = 0\mathbf{v} \overset{(a)}{=} \mathbf{0}$ 입니다. 그러면

\mathbf{u} \overset{(3)}{=} \mathbf{u} + \mathbf{0} \overset{(4)}{=} \mathbf{u} + \big(\mathbf{v} + (-\mathbf{v})\big) \overset{(2)}{=} (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + (-\mathbf{v}) \overset{(1)}{=} (\mathbf{v} + \mathbf{u}) + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} + (-\mathbf{v}) \overset{(1),(3)}{=} -\mathbf{v}

입니다.

2.9 [계산] · 확인 문제

다음 벡터의 길이와, 같은 방향의 단위벡터를 구합니다. 길이를 소수 셋째 자리까지 적습니다.

벡터	길이
$(3, 4)$	[?]
$(1, 1, 1)$	[?]
$(2, -1, 2)$	[?]
$(1, 2, 2, 4)$	[?]

정답

풀이

$\lVert(3, 4)\rVert = 5$ , 단위벡터 $\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ . $\lVert(1, 1, 1)\rVert = \sqrt{3}$ , 단위벡터 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ . $\lVert(2, -1, 2)\rVert = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ , 단위벡터 $\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ . $\lVert(1, 2, 2, 4)\rVert = \sqrt{1 + 4 + 4 + 16} = 5$ , 단위벡터 $\left(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)$ .

2.10 [계산] · 확인 문제

두 벡터의 내적과 사잇각 $\theta$ 를 구합니다. 각은 도 단위로 적습니다.

두 벡터	내적	$\theta$ (도)
(a) $(1, 0)$ , $(1, 1)$	[?]	[?]
(b) $(1, \sqrt{3})$ , $(\sqrt{3}, 1)$	[?]	[?]
(c) $(1, -1, 0)$ , $(1, 0, -1)$	[?]	[?]
(d) $(2, 1)$ , $(-1, -3)$	[?]	[?]

정답

풀이

(a) 내적 1, 길이 $1, \sqrt{2}$ . $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\theta = \frac{\pi}{4}$ . (b) 내적 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \approx 3.464$ , 길이 2, 2. $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\theta = \frac{\pi}{6}$ . (c) 내적 1, 길이 $\sqrt{2}, \sqrt{2}$ . $\cos\theta = \frac{1}{2}$ , $\theta = \frac{\pi}{3}$ . (d) 내적 $-2 - 3 = -5$ , 길이 $\sqrt{5}, \sqrt{10}$ . $\cos\theta = \frac{-5}{\sqrt{50}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\theta = \frac{3\pi}{4}$ . 내적이 음수이므로 둔각입니다.

2.11 [계산] · 확인 문제

(a) $(a, 2) \perp (3, -6)$ 이 되는 $a$ 를 구합니다. (b) $(1, a, 2) \perp (a, 3, -1)$ 이 되는 $a$ 를 구합니다. (c) $(3, 4)$ 에 수직인 단위벡터를 모두 구합니다. (c)는 $x$ 성분이 양수인 것을 적습니다.

값	답
(a) $a$	[?]
(b) $a$	[?]
(c) $x$ 성분	[?]
(c) $y$ 성분	[?]

정답

4
1/2
4/5
-3/5

풀이

(a) $3a - 12 = 0$ , $a = 4$ 입니다. (b) $a + 3a - 2 = 0$ , $a = \frac{1}{2}$ 입니다. (c) $(x, y)$ 에 대해 $3x + 4y = 0$ , $x^2 + y^2 = 1$ 입니다. $y = -\frac{3}{4}x$ 를 넣으면 $\frac{25}{16}x^2 = 1$ , $x = \pm\frac{4}{5}$ 입니다. 답은 $\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$ , $\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$ 입니다.

2.12 [증명]

$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ , $c \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\lVert c\mathbf{v}\rVert = |c|\,\lVert\mathbf{v}\rVert$ 임을 증명합니다. ( $\sqrt{c^2} = |c|$ 를 써도 됩니다.)

풀이

$\lVert c\mathbf{v}\rVert = \sqrt{\sum(cv_i)^2} = \sqrt{c^2\sum v_i^2} = \sqrt{c^2}\sqrt{\sum v_i^2} = |c|\,\lVert\mathbf{v}\rVert$ 입니다.

2.13 [증명]

(a) $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$ 에 대하여 $\lVert\mathbf{v} + \mathbf{w}\rVert^2 = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 + 2\,\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \lVert\mathbf{w}\rVert^2$ 임을 증명합니다. 정리 2.14의 성질만 씁니다. (b) (a)를 써서 다음을 증명합니다: $\mathbf{v} \perp \mathbf{w}$ 인 것과 $\lVert\mathbf{v} + \mathbf{w}\rVert^2 = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 + \lVert\mathbf{w}\rVert^2$ 인 것은 동치입니다. 이것이 $\mathbb{R}^n$ 에서의 피타고라스 정리입니다.

풀이

(a) $\lVert\mathbf{v} + \mathbf{w}\rVert^2 = (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w}$ (성질 (2), (1)) $= \lVert\mathbf{v}\rVert^2 + 2\,\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \lVert\mathbf{w}\rVert^2$ 입니다.

(b) (a)에 의해 $\lVert\mathbf{v} + \mathbf{w}\rVert^2 = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 + \lVert\mathbf{w}\rVert^2 \iff 2\,\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0 \iff \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$ 입니다.

2.14 [도전]

$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$ 에 대하여 $\lVert\mathbf{v} + \mathbf{w}\rVert^2 + \lVert\mathbf{v} - \mathbf{w}\rVert^2 = 2\lVert\mathbf{v}\rVert^2 + 2\lVert\mathbf{w}\rVert^2$ 임을 증명합니다(평행사변형 법칙). 이 식이 평행사변형의 변과 대각선에 대해 무엇을 말하는지 그림을 그려 설명합니다.

풀이

문제 2.13(a)와, 같은 방법으로 얻는 $\lVert\mathbf{v} - \mathbf{w}\rVert^2 = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 - 2\,\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \lVert\mathbf{w}\rVert^2$ 을 더하면 내적 항이 지워집니다. 의미: 평행사변형의 두 대각선 길이의 제곱의 합은 네 변 길이의 제곱의 합과 같습니다( $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ 가 두 변, $\mathbf{v} + \mathbf{w}$ 와 $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 가 두 대각선).