7장. 고유벡터 미리보기

요약

방향이 바뀌지 않는 벡터, 고윳값과 고유벡터의 정의, 특성방정식과 대각합·행렬식, 사영·층밀림·회전·반사의 고유벡터, 거듭제곱과 피보나치 수열, 1부 정리

변환을 받아도 방향이 바뀌지 않고 길이만 늘거나 주는 벡터가 있습니다. 이런 특별한 방향(고유벡터)과 그 배율(고윳값)을 알면 복잡해 보이는 변환이 단순한 늘이기로 보입니다. 이 장은 2×2 행렬로 그림을 먼저 보는 미리보기이고, 16장에서 계산 방법을, 24장에서 일반 이론을 다룹니다. 구글의 페이지랭크, 진동의 고유 진동수, 데이터의 주성분이 모두 고유벡터입니다.

7.1 방향이 바뀌지 않는 벡터

질문. 변환 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 를 여러 벡터에 걸어 봅시다. $(1, 0) \mapsto (2, 1)$ , $(0, 1) \mapsto (1, 2)$ , $(1, 2) \mapsto (4, 5)$ . 대부분의 벡터는 방향이 바뀝니다. 그런데 $(1, 1) \mapsto (3, 3)$ 이고 $(1, -1) \mapsto (1, -1)$ 입니다. 이 두 벡터는 길이만 바뀌고 방향은 그대로입니다. 이런 벡터는 왜 특별할까요?

$두 그림. (a) 단위원 위에 같은 간격으로 16개의 벡터를 그렸습니다. 대각선 두 방향의 벡터는 굵게 그렸습니다. (b) A를 건 뒤 단위원은 y = x 방향으로 긴 타원이 되고, 대부분의 벡터는 방향이 바뀌었습니다. 굵은 벡터만 같은 점선 위에 남아 y = x 방향은 3배, y = −x 방향은 1배가 되었습니다.$

그림 7.1. 단위원은 타원으로 바뀝니다. 대부분의 벡터는 방향이 바뀌지만, 점선 위의 벡터들만은 같은 직선 위에 남습니다. 그 직선이 타원의 두 축입니다.

그림 7.1에서 단위원 위의 벡터들은 $A$ 를 건 뒤 대부분 다른 방향을 가리킵니다. 하지만 두 점선 위의 벡터는 같은 직선 위에 머뭅니다. 한쪽 직선 위에서는 3배로 늘어나고, 다른 쪽에서는 그대로입니다. 그 두 직선이 원이 바뀐 타원의 장축과 단축입니다.

이 두 방향을 알면 $A$ 가 하는 일을 한 문장으로 말할 수 있습니다. “ $(1, 1)$ 방향으로 3배 늘이고, $(1, -1)$ 방향은 그대로 둡니다.” 행렬 안의 네 숫자보다 훨씬 알기 쉬운 설명입니다.

정의 7.1 (고윳값과 고유벡터). 정사각행렬 $A$ 에 대하여

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \ne \mathbf{0}

를 만족하는 스칼라 $\lambda$ 를 $A$ 의 고윳값(eigenvalue), 벡터 $\mathbf{v}$ 를 고윳값 $\lambda$ 에 대응하는 고유벡터(eigenvector)라 합니다.

$\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 조건이 중요합니다. $A\mathbf{0} = \lambda\mathbf{0}$ 은 모든 $\lambda$ 에 대해 성립하므로, 영벡터를 허용하면 모든 수가 고윳값이 되어 버립니다.

고유벡터의 0이 아닌 스칼라배도 고유벡터입니다. $A(c\mathbf{v}) = cA\mathbf{v} = c\lambda\mathbf{v} = \lambda(c\mathbf{v})$ 이기 때문입니다. 그래서 고유벡터 하나라기보다 고유한 방향(원점을 지나는 직선) 하나를 찾는 것이라 생각하면 됩니다. 그 직선 위의 모든 점은 $A$ 에 의해 같은 직선 위로 갑니다.

직관. 고윳값 $\lambda$ 는 그 방향의 “늘이는 배율”입니다. $\lambda > 1$ 이면 늘어나고, $0 < \lambda < 1$ 이면 줄어들고, $\lambda < 0$ 이면 반대쪽으로 뒤집히고, $\lambda = 0$ 이면 원점으로 납작해집니다.

7.2 고윳값을 찾는 방법

질문. 행렬만 주어졌을 때, 그림을 그리지 않고 고유한 방향을 찾을 수 있을까요?

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 를 $\lambda\mathbf{v} = \lambda I\mathbf{v}$ 로 바꿔 한쪽으로 모으면

(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}, \qquad \mathbf{v} \ne \mathbf{0}.

즉 행렬 $A - \lambda I$ 가 영이 아닌 벡터를 $\mathbf{0}$ 으로 보내야 합니다. 정리 6.4에 의해 $\det(A - \lambda I) \ne 0$ 이면 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 의 해는 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 하나뿐입니다. 그러므로 영이 아닌 해가 있으려면 $A - \lambda I$ 가 평면을 납작하게 만들어야 하고, 이는 $\det(A - \lambda I) = 0$ 과 같습니다. 거꾸로 $\det(A - \lambda I) = 0$ 이면 두 열이 한 직선 위에 있으므로 영이 아닌 해가 있습니다(문제 7.3).

정리 7.2 (고윳값의 판정). $\lambda$ 가 $A$ 의 고윳값인 것은 $\det(A - \lambda I) = 0$ 인 것과 동치입니다.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 이면

\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc).

$\lambda$ 에 대한 이차방정식입니다. 이 방정식을 특성방정식(characteristic equation)이라 합니다. $a + d$ (대각성분의 합)를 대각합(trace)이라 하고 $\operatorname{tr} A$ 로 씁니다. 그러면

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A = 0.

7.2.1 순서: 고윳값 먼저, 고유벡터 나중

예제 7.3. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ . $\operatorname{tr} A = 4$ , $\det A = 3$ 이므로 $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ , 고윳값은 $\lambda = 3, 1$ .

$\lambda = 3$ : $A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ . $(A - 3I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 은 $-v_1 + v_2 = 0$ 이므로 $\mathbf{v} = (1, 1)$ (또는 그 배수).
$\lambda = 1$ : $A - I = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ . $v_1 + v_2 = 0$ 이므로 $\mathbf{v} = (1, -1)$ .

그림 7.1에서 본 그대로입니다.

$\lambda$ 를 구한 뒤 $A - \lambda I$ 를 만들면, 두 행이 반드시 서로의 배수가 됩니다( $\det = 0$ 이므로). 그래서 식은 사실상 하나이고, 그 식을 만족하는 방향 하나를 읽어 내면 됩니다. 두 행이 서로의 배수가 아니라면 고윳값 계산이 틀린 것입니다. 이것은 좋은 검산법입니다.

7.2.2 대각합과 행렬식

이차방정식 $\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A = 0$ 의 두 근을 $\lambda_1, \lambda_2$ 라 하면 근과 계수의 관계에서

\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr} A, \qquad \lambda_1\lambda_2 = \det A.

위 예에서 $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr} A$ , $3 \times 1 = 3 = \det A$ 입니다.

둘째 식은 6장과 잘 맞습니다. 고유한 두 방향으로 각각 $\lambda_1$ 배, $\lambda_2$ 배 늘이면 넓이는 $\lambda_1\lambda_2$ 배가 됩니다. 행렬식이 넓이 배율이라는 것과 같은 이야기입니다.

▶ 문제 7.1–7.4

7.3 여러 변환의 고유벡터

$네 그림. (a) 사영: x축(실선)과 y축(점선)이 고유한 방향, λ = 1, 0. (b) 층밀림: x축 하나만 고유한 방향, λ = 1. (c) 90도 회전: 고유한 방향이 없습니다. (d) y = x 반사: 직선 y = x(실선)와 y = −x(점선)가 고유한 방향, λ = 1, −1.$

그림 7.2. 굵은 실선과 점선이 고유한 방향입니다. 회전에는 그런 방향이 없습니다.

예제 7.4 (사영). $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ . $x$ 축 위의 벡터는 그대로( $\lambda = 1$ ), $y$ 축 위의 벡터는 $\mathbf{0}$ 으로( $\lambda = 0$ ). 고윳값 0의 고유벡터는 납작하게 사라지는 방향입니다. 고윳값 0이 있다는 것은 $\det P = 0$ 이라는 것과 같습니다( $\lambda_1\lambda_2 = \det$ ).

예제 7.5 (층밀림). $S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2 = 0$ 이므로 $\lambda = 1$ (중근). $S - I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 에서 $v_2 = 0$ 이므로 고유한 방향은 $x$ 축 하나뿐입니다. $2 \times 2$ 행렬인데 고유한 방향이 하나밖에 없습니다. 이런 행렬은 16장에서 “대각화할 수 없는” 행렬로, 27장에서 조르당 형식의 출발점으로 다시 나옵니다.

예제 7.6 (회전). $R_\theta$ 의 특성방정식은 $\lambda^2 - 2\cos\theta\,\lambda + 1 = 0$ 이고, 판별식은 $4\cos^2\theta - 4 \le 0$ 입니다. $\theta$ 가 0이나 $\pi$ 가 아니면 실근이 없습니다. 당연합니다. 회전은 모든 방향을 돌려 버리므로 방향이 유지되는 벡터가 없습니다.

그러나 복소수 범위에서는 근이 있습니다.

\lambda = \cos\theta \pm i\sin\theta.

회전 행렬의 고윳값은 크기가 1이고 각이 $\pm\theta$ 인 복소수입니다. 회전의 “각도” 정보가 고윳값 안에 들어 있습니다. 실수에서 고윳값이 없는 것은 실수가 좁아서 생기는 문제이고, 16장과 24장에서 복소수로 넓혀서 해결합니다.

예제 7.7 (반사). $y = x$ 에 대한 반사 $F = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ . 직선 $y = x$ 위의 벡터는 그대로( $\lambda = 1$ , $\mathbf{v} = (1, 1)$ ), 그 직선에 수직인 벡터는 뒤집힙니다( $\lambda = -1$ , $\mathbf{v} = (1, -1)$ ). $\det F = 1 \cdot (-1) = -1$ 로, 방향을 뒤집는 변환이라는 6장의 결과와 맞습니다.

▶ 문제 7.5–7.7

7.4 왜 고유벡터가 쓸모 있는가: 거듭제곱

질문. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 일 때 $A^{10}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 은 얼마일까요? 행렬을 10번 곱해야 할까요?

고유벡터 위에서는 $A$ 의 작용이 그냥 곱셈입니다. $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 이면 $A^2\mathbf{v} = A(\lambda\mathbf{v}) = \lambda^2\mathbf{v}$ 이고, 일반적으로

A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v}.

그러므로 임의의 벡터를 고유벡터들의 일차결합으로 쓸 수 있으면, 거듭제곱은 각 성분에 $\lambda^k$ 를 곱하는 것으로 끝납니다.

예제 7.8. $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac12\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac12\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 이므로

A^k\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac12 \cdot 3^k\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac12 \cdot 1^k\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac12\begin{bmatrix} 3^k + 1 \\ 3^k - 1 \end{bmatrix}.

$k = 1$ 이면 $(2, 1)$ 로 직접 계산과 같습니다. $k = 10$ 이면 $\frac12(59050, 59048) = (29525, 29524)$ 입니다. 행렬곱을 열 번 할 필요가 없습니다.

$k$ 가 커지면 $3^k$ 항이 압도하므로 $A^k\mathbf{x}$ 는 점점 $(1, 1)$ 방향을 향합니다. 가장 큰 고윳값의 고유벡터가 장기적인 모습을 결정합니다. 이 관찰은 31장의 마르코프 연쇄, 검색 엔진의 페이지랭크, 30장의 거듭제곱법으로 이어집니다.

7.4.1 피보나치 수열

예제 7.9. 피보나치 수열은 $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$ 입니다. 연속한 두 항을 벡터 $\mathbf{u}_k = (F_{k+1}, F_k)$ 로 묶으면

\mathbf{u}_{k+1} = \begin{bmatrix} F_{k+2} \\ F_{k+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{k+1} + F_k \\ F_{k+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} F_{k+1} \\ F_k \end{bmatrix} = A\mathbf{u}_k.

따라서 $\mathbf{u}_k = A^k\mathbf{u}_0$ 입니다. $A$ 의 특성방정식은 $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ 이고 고윳값은

\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1.618, \qquad \psi = \frac{1 - \sqrt5}{2} \approx -0.618.

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix}$ 의 둘째 행에서 $v_1 = \lambda v_2$ 이므로 고유벡터는 $(\lambda, 1)$ 입니다. $\mathbf{u}_0 = (1, 0)$ 을 고유벡터로 쓰면 $\varphi - \psi = \sqrt5$ 이므로

\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{bmatrix} \varphi \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \psi \\ 1 \end{bmatrix}\right).

따라서

\mathbf{u}_k = \frac{1}{\sqrt5}\left(\varphi^k\begin{bmatrix} \varphi \\ 1 \end{bmatrix} - \psi^k\begin{bmatrix} \psi \\ 1 \end{bmatrix}\right), \qquad F_k = \frac{\varphi^k - \psi^k}{\sqrt5}.

$\lvert \psi \rvert < 1$ 이므로 $\psi^k \to 0$ 이고, $F_k$ 는 $\varphi^k/\sqrt5$ 에 가장 가까운 정수가 됩니다. 이웃한 피보나치 수의 비 $F_{k+1}/F_k$ 가 황금비 $\varphi$ 에 가까워지는 이유도 여기 있습니다. 가장 큰 고윳값이 장기적인 모습을 결정합니다.

이 계산의 구조를 정리하면 다음과 같습니다.

고윳값과 고유벡터를 구합니다.
시작 벡터를 고유벡터들의 일차결합으로 씁니다.
각 성분에 $\lambda^k$ 를 곱합니다.

16장에서는 이 과정을 행렬 하나로 묶어 $A = X\Lambda X^{-1}$ (대각화)로 씁니다. 그러면 $A^k = X\Lambda^kX^{-1}$ 이 됩니다.

▶ 문제 7.8–7.10

7.5 1부 정리

1부에서는 수식을 최소로 하고 그림으로 선형대수의 주요 개념을 훑었습니다. 각 개념은 뒤에서 더 정확하게 다시 나옵니다.

1부의 그림	2부 (계산)	3부 (추상)
벡터 = 화살표, 숫자 목록	$\mathbb{R}^n$	벡터공간 (20장)
span, 쓸모없는 벡터	부분공간, 일차독립, 기저 (10–12장)	유한차원 (21장)
연립방정식 = 열 그림	가우스 소거, $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ (8–11장)	선형사상, rank–nullity (22장)
행렬 = 변환	선형변환과 기저변환 (19장)	$\mathcal{L}(V, W)$ (22장)
행렬곱 = 합성	역행렬, LU (9장)	동형사상 (22장)
행렬식 = 넓이 배율	행렬식의 성질과 공식 (15장)	교대 다중선형 형식 (28장)
고유벡터 = 유지되는 방향	대각화, 대칭행렬, SVD (16–18장)	스펙트럴 정리, 조르당 (24–27장)

2부에서 계산이 길어져 길을 잃은 것 같으면 이 표로 돌아와 해당하는 1부의 그림을 다시 봅시다.

▶ 문제 7.11

쓰이는 곳. 구글 페이지랭크는 거대한 행렬의 고윳값 1인 고유벡터이고, 진동하는 다리나 분자의 고유 진동수는 고윳값입니다. 데이터의 주성분 분석(PCA)은 공분산 행렬의 고유벡터를 찾는 것입니다.

이 장의 요약

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ ( $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ ): $\mathbf{v}$ 방향은 $A$ 에 의해 $\lambda$ 배로 늘어날 뿐 방향이 유지됩니다.
$\lambda$ 는 $\det(A - \lambda I) = 0$ 의 근입니다. $2 \times 2$ 에서는 $\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A = 0$ .
고윳값 먼저, 그다음 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 에서 고유벡터.
$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr} A$ , $\lambda_1\lambda_2 = \det A$ .
사영은 1, 0, 반사는 1, $-1$ , 층밀림은 한 방향뿐, 회전은 실수 고윳값이 없습니다(복소수 $\cos\theta \pm i\sin\theta$ ).
$A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v}$ . 시작 벡터를 고유벡터로 쪼개면 거듭제곱이 쉽습니다. 가장 큰 고윳값이 장기적인 모습을 결정합니다.

문제

7.1 [계산] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ 이라 합시다. $(2, 1)$ , $(1, 1)$ , $(1, 0)$ 중 $A$ 의 고유벡터를 모두 고르고, 대응하는 고윳값을 말합니다. 고유벡터이면 O, 아니면 X를 적습니다.

벡터	고유벡터인가	고윳값
$(2, 1)$	[?]	[?]
$(1, 1)$	[?]	[?]
$(1, 0)$	[?]	없음

정답

O
3
O
2
X

풀이

$A(2, 1) = (6, 3) = 3(2, 1)$ : 고윳값 3. $A(1, 1) = (2, 2) = 2(1, 1)$ : 고윳값 2. $A(1, 0) = (4, 1)$ 은 $(1, 0)$ 의 배수가 아니므로 고유벡터가 아닙니다.

7.2 [계산] · 확인 문제

고윳값과 고유벡터를 모두 구합니다. 각 경우 대각합과 행렬식으로 답을 검산합니다. 표에는 고윳값을 큰 것부터 적고(중근이면 같은 값을 두 번), 고유벡터는 풀이에서 확인합니다.

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}

	큰 고윳값	작은 고윳값
(a)	[?]	[?]
(b)	[?]	[?]
(c)	[?]	[?]
(d)	[?]	[?]

정답

풀이

(a) $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ , $\lambda = 3, 2$ . $\lambda = 3$ : $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ 에서 $(2, 1)$ . $\lambda = 2$ : $\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ 에서 $(1, 1)$ . 검산: $3 + 2 = 5$ , $3 \cdot 2 = 6$ .

(b) $\lambda = 3$ : $(1, 0)$ , $\lambda = -1$ : $(0, 1)$ . 대각행렬의 고윳값은 대각성분이고 고유벡터는 좌표축입니다.

(c) $\lambda^2 - 5\lambda = 0$ , $\lambda = 5, 0$ . $\lambda = 5$ : $\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ 에서 $(1, 2)$ . $\lambda = 0$ : $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 에서 $(2, -1)$ . 검산: $5 + 0 = 5$ , $5 \cdot 0 = 0 = \det$ .

(d) $(\lambda - 3)^2 = 0$ , $\lambda = 3$ (중근). $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 에서 $v_2 = 0$ , 고유벡터는 $(1, 0)$ 방향뿐.

7.3 [증명]

$2 \times 2$ 행렬 $B$ 가 $\det B = 0$ 을 만족하면 $B\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 인 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 이 존재함을 보입니다. (정리 7.2의 “⇐” 방향에 필요합니다.)

힌트. $B = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$ 의 첫째 행이 영벡터가 아니면 $\mathbf{v} = (q, -p)$ 를 넣어 봅니다.

풀이

$B = O$ 이면 아무 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 이나 됩니다. 첫째 행 $(p, q) \ne \mathbf{0}$ 이면 $\mathbf{v} = (q, -p) \ne \mathbf{0}$ 이고 $B\mathbf{v} = (pq - qp, rq - sp) = (0, -(ps - qr)) = \mathbf{0}$ . 첫째 행이 $\mathbf{0}$ 이고 둘째 행 $(r, s) \ne \mathbf{0}$ 이면 $\mathbf{v} = (s, -r)$ 로 같은 계산.

7.4 [계산] · 확인 문제

(a) $2 \times 2$ 행렬 $A$ 의 고윳값이 2와 $-3$ 입니다. $\operatorname{tr} A$ 와 $\det A$ 를 구합니다. (b) $A$ 와 $A^T$ 는 같은 고윳값을 가짐을 보입니다. (특성방정식을 비교합니다.) 표에는 (a)를 적습니다.

값	답
$\operatorname{tr} A$	[?]
$\det A$	[?]

정답

-1
-6

풀이

(a) $\operatorname{tr} A = 2 + (-3) = -1$ , $\det A = -6$ .

(b) $\det(A^T - \lambda I) = \det\big((A - \lambda I)^T\big) = \det(A - \lambda I)$ (문제 6.4(b)). 특성방정식이 같으므로 고윳값이 같습니다. (고유벡터는 다를 수 있습니다.)

7.5 [계산]

(a) 직선 $y = x$ 위로의 사영 $\begin{bmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 \end{bmatrix}$ 의 고윳값과 고유벡터를 구하고, 그림으로 설명합니다. (b) $180^\circ$ 회전 $-I$ 의 고윳값은? 고유벡터는 무엇일까요?

풀이

(a) $\operatorname{tr} = 1$ , $\det = 0$ 이므로 $\lambda = 1, 0$ . $\lambda = 1$ : $(1, 1)$ (직선 위의 벡터는 그대로). $\lambda = 0$ : $(1, -1)$ (직선에 수직인 벡터는 원점으로).

(b) $(\lambda + 1)^2 = 0$ , $\lambda = -1$ . 모든 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 이 고유벡터입니다. $-I\mathbf{v} = -\mathbf{v}$ .

7.6 [계산]

$R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ( $90^\circ$ 회전)의 고윳값은 $\pm i$ 입니다. 고윳값 $i$ 에 대응하는 복소 고유벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^2$ 를 하나 구하고, $R\mathbf{v} = i\mathbf{v}$ 를 직접 확인합니다.

풀이

$R - iI = \begin{bmatrix} -i & -1 \\ 1 & -i \end{bmatrix}$ . 첫째 행에서 $-iv_1 - v_2 = 0$ , $\mathbf{v} = (1, -i)$ . 확인: $R\mathbf{v} = (0 \cdot 1 + (-1)(-i),\ 1 \cdot 1 + 0) = (i, 1)$ , $i\mathbf{v} = (i, -i^2) = (i, 1)$ .

7.7 [도전]

$\lambda$ 가 $A$ 의 고윳값이고 $\mathbf{v}$ 가 그 고유벡터라 합시다. (a) $\lambda^2$ 은 $A^2$ 의 고윳값임을 보입니다. (b) $A$ 에 역행렬 $A^{-1}$ 이 있으면 $\lambda \ne 0$ 이고, $\frac1\lambda$ 은 $A^{-1}$ 의 고윳값임을 보입니다. (c) $\lambda + 3$ 은 $A + 3I$ 의 고윳값임을 보입니다.

풀이

(a) $A^2\mathbf{v} = A(\lambda\mathbf{v}) = \lambda^2\mathbf{v}$ .

(b) $\lambda = 0$ 이면 $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 이고 $\mathbf{v} = A^{-1}A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 이 되어 모순. $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 의 양변에 $A^{-1}$ 을 곱하면 $\mathbf{v} = \lambda A^{-1}\mathbf{v}$ , 따라서 $A^{-1}\mathbf{v} = \frac1\lambda\mathbf{v}$ .

7.8 [계산] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 에 대하여 (a) $A^k\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 을 $k$ 로 나타냅니다. (b) $A^5\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ 을 계산합니다. 표에는 (b)를 적습니다.

	첫째	둘째
$A^5(3, 1)$	[?]	[?]

정답

487
485

풀이

(a) $(0, 1) = \frac12(1, 1) - \frac12(1, -1)$ . $A^k(0, 1) = \frac12(3^k - 1,\ 3^k + 1)$ .

(b) $(3, 1) = 2(1, 1) + (1, -1)$ . $A^5(3, 1) = 2 \cdot 243(1, 1) + (1, -1) = (487, 485)$ .

7.9 [계산] · 확인 문제

수열 $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ , $a_{k+2} = a_{k+1} + 2a_k$ 를 생각합시다. (a) $\mathbf{u}_k = (a_{k+1}, a_k)$ 에 대해 $\mathbf{u}_{k+1} = A\mathbf{u}_k$ 인 $A$ 를 구합니다. (b) $A$ 의 고윳값과 고유벡터를 구합니다. (c) $a_k$ 의 일반항을 구하고, $a_2, a_3, a_4$ 로 확인합니다. 표에는 고윳값과, 일반항으로 구한 $a_{10}$ 을 적습니다.

값	답
큰 고윳값	[?]
작은 고윳값	[?]
$a_{10}$	[?]

정답

2
-1
341

풀이

(a) $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ .

(b) $\lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1)$ , $\lambda = 2, -1$ . 고유벡터는 $(\lambda, 1)$ : $(2, 1)$ , $(-1, 1)$ .

(c) $\mathbf{u}_0 = (1, 0) = \frac13\big((2, 1) - (-1, 1)\big)$ 이므로 $\mathbf{u}_k = \frac13\big(2^k(2, 1) - (-1)^k(-1, 1)\big)$ , 둘째 성분에서 $a_k = \dfrac{2^k - (-1)^k}{3}$ . 확인: $a_2 = 1$ , $a_3 = 3$ , $a_4 = 5$ (점화식: $3 + 2 \cdot 1 = 5$ ). $a_{10} = \frac{1024 - 1}{3} = 341$ .

7.10 [도전] · 확인 문제

어느 지역의 인구가 도시와 농촌에 나뉘어 삽니다. 매년 도시 인구의 10%가 농촌으로, 농촌 인구의 20%가 도시로 이동합니다. 올해 도시와 농촌의 인구 비율을 $\mathbf{x}_0 = (c_0, r_0)$ 라 합시다. (a) $\mathbf{x}_{k+1} = M\mathbf{x}_k$ 인 행렬 $M$ 을 구합니다. 각 열의 합은 얼마일까요? (b) $M$ 의 고윳값과 고유벡터를 구합니다. (c) 처음에 모두 도시에 산다면( $\mathbf{x}_0 = (1, 0)$ ), $\mathbf{x}_k$ 를 구하고, 오랜 시간이 지난 뒤의 비율을 구합니다.

값	답
$M$ 의 각 열의 합	[?]
큰 고윳값	[?]
작은 고윳값	[?]
오랜 뒤 도시 비율	[?]
오랜 뒤 농촌 비율	[?]

정답

풀이

(a) $M = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix}$ . 각 열의 합은 1 (사람이 사라지거나 생기지 않습니다).

(b) $\operatorname{tr} = 1.7$ , $\det = 0.72 - 0.02 = 0.7$ . $\lambda^2 - 1.7\lambda + 0.7 = (\lambda - 1)(\lambda - 0.7)$ . $\lambda = 1$ : $\begin{bmatrix} -0.1 & 0.2 \\ 0.1 & -0.2 \end{bmatrix}$ 에서 $(2, 1)$ . $\lambda = 0.7$ : $\begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.1 \end{bmatrix}$ 에서 $(1, -1)$ .

(c) $(1, 0) = \frac13(2, 1) + \frac13(1, -1)$ . $\mathbf{x}_k = \frac13(2, 1) + \frac13(0.7)^k(1, -1) \to \left(\frac23, \frac13\right)$ . 처음 상태와 무관하게 도시 $\frac23$ , 농촌 $\frac13$ 에 가까워집니다.

7.11 [증명]

$2 \times 2$ 행렬 $A$ 가 고윳값 0을 갖는 것과 $\det A = 0$ 인 것은 동치임을 보입니다. 그림으로는 무슨 뜻인지 설명합니다.

풀이

고윳값 0 $\iff$ $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 인 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 이 있다 $\iff$ $\det(A - 0I) = \det A = 0$ (정리 7.2). 그림: 어떤 방향이 통째로 원점으로 사라진다 $\iff$ 넓이가 0이 됩니다.