6장. 넓이 배율로서의 행렬식

요약

평행사변형의 넓이와 2×2 행렬식, 부호와 방향, 모든 도형의 넓이 배율, 곱의 행렬식, 행렬식이 0일 때와 2×2 역행렬 공식, 3×3 행렬식과 부피

변환은 도형의 넓이를 몇 배로 바꿀까요? 놀랍게도 모든 도형이 같은 배율로 바뀌고, 그 배율이 행렬식입니다. 이 장에서는 2×2 행렬식을 넓이 배율로 정의하고, 부호가 방향(뒤집힘)을 나타낸다는 것, 행렬식이 0이면 평면이 납작해져 되돌릴 수 없다는 것을 봅니다. 15장에서 같은 생각을 n차원 부피로 넓힙니다.

6.1 변환에 따른 넓이의 배율

질문. 변환 $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 는 단위정사각형을 평행사변형으로 바꿉니다. 그 평행사변형의 넓이는 얼마일까요? 그리고 원래 넓이가 7인 도형은 이 변환 후 넓이가 얼마가 될까요?

4장에서 선형변환은 격자를 평행·등간격으로 유지한다는 것을 보았습니다. 그래서 격자의 모든 칸이 똑같은 평행사변형으로 바뀝니다. 한 칸의 넓이가 몇 배가 되는지만 알면, 어떤 도형이든 넓이가 몇 배가 되는지 압니다. 그 배율이 행렬식입니다.

6.2 평행사변형의 넓이

$가로 a+b, 세로 c+d인 직사각형 안에 꼭짓점이 원점, (a, c), (a+b, c+d), (b, d)인 평행사변형을 칠했습니다. 남은 부분은 넓이 ac/2인 삼각형 둘, bd/2인 삼각형 둘, bc인 직사각형 둘로 나뉩니다.$

그림 6.1. 큰 직사각형에서 삼각형 네 개와 작은 직사각형 두 개를 빼면 평행사변형이 남습니다.

행렬 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 는 $\mathbf{e}_1$ 을 $(a, c)$ 로, $\mathbf{e}_2$ 를 $(b, d)$ 로 보냅니다. 그래서 단위정사각형은 이 두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형이 됩니다. 그림 6.1에서 그 넓이를 구합시다. 바깥 직사각형은 가로 $a + b$ , 세로 $c + d$ 입니다. 여기서

밑변 $a$ , 높이 $c$ 인 직각삼각형 두 개: 합 $ac$ ,
밑변 $b$ , 높이 $d$ 인 직각삼각형 두 개: 합 $bd$ ,
가로 $b$ , 세로 $c$ 인 직사각형 두 개: 합 $2bc$

를 빼면

(a + b)(c + d) - ac - bd - 2bc = ad - bc.

6.1절 질문의 행렬 $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 는 그림의 $a = 3$ , $b = 1$ , $c = 1$ , $d = 2$ 이므로 넓이는 $3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5$ 입니다.

그림은 $a, b, c, d$ 가 모두 양수이고 $(a, c)$ 가 $(b, d)$ 보다 시계 방향 쪽에 있는 경우만 보여 줍니다. 다른 경우에는 결과가 $ad - bc$ 의 부호를 바꾼 값이 됩니다. 그래서 넓이는 정확히는 $\lvert ad - bc \rvert$ 입니다. 부호의 의미는 다음 절에서 봅니다.

6.3 행렬식의 정의와 부호

정의 6.1 (2 × 2 행렬식). $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 행렬식(determinant)을

\det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

로 정의합니다.

$두 그림. (a) T(e₁)이 오른쪽 아래, T(e₂)가 왼쪽 위에 있어 T(e₁)에서 T(e₂)로 반시계 방향으로 돕니다. (b) 두 벡터의 이름이 바뀌어 T(e₁)에서 T(e₂)로 시계 방향으로 돕니다.$

그림 6.2. $\mathbf{e}_1$ 에서 $\mathbf{e}_2$ 로는 반시계 방향으로 돕니다. (a)는 변환 후에도 $T(\mathbf{e}_1)$ 에서 $T(\mathbf{e}_2)$ 로 반시계 방향이고, (b)는 시계 방향입니다.

행렬식의 부호는 방향(orientation)을 알려 줍니다. $\mathbf{e}_1$ 에서 $\mathbf{e}_2$ 로 가려면 반시계 방향으로 $90^\circ$ 돌아야 합니다. 변환 후 $T(\mathbf{e}_1)$ 에서 $T(\mathbf{e}_2)$ 로 가는 짧은 쪽 회전도 반시계 방향이면 $\det > 0$ , 시계 방향이면 $\det < 0$ 입니다(그림 6.2). 종이를 뒤집어야만 얻을 수 있는 변환, 즉 거울상을 만드는 변환이 $\det < 0$ 입니다.

예제 6.2.

회전 $R_\theta$ : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ . 넓이도 방향도 그대로입니다.
반사 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ : $-1$ . 넓이는 그대로, 방향은 뒤집힙니다.
층밀림 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ : $1$ . 모양은 바뀌지만 넓이는 그대로입니다(밑변과 높이가 같은 평행사변형).
늘이기 $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ : $6$ .
사영 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ : $0$ . 정사각형이 선분이 되어 넓이가 사라집니다.

직관. 행렬식은 두 가지 정보를 담은 하나의 수입니다. 절댓값은 넓이 배율, 부호는 뒤집혔는지 여부.

6.3.1 두 열의 교환과 부호

$\begin{vmatrix} b & a \\ d & c \end{vmatrix} = bc - ad = -(ad - bc)$ 입니다. 두 열을 바꾸면 $T(\mathbf{e}_1)$ 과 $T(\mathbf{e}_2)$ 의 역할이 바뀌므로 회전 방향이 반대가 됩니다. 그림 6.2의 (a)와 (b)가 정확히 이 관계입니다.

▶ 문제 6.1–6.4

6.4 모든 도형에 공통인 넓이 배율

$왼쪽은 정사각형 모눈 위에 그린 넓이 S인 둥근 도형, 오른쪽은 A로 옮긴 기울어진 모눈과 그 위의 옮겨진 도형으로, 넓이가 |det A| S다.$

그림 6.3. 모든 칸이 같은 평행사변형으로 바뀌므로, 칸을 세어 구하는 넓이도 같은 배율로 바뀝니다.

넓이가 $S$ 인 도형을 아주 작은 정사각형 칸으로 촘촘히 덮었다고 합시다. 변환 후 각 칸은 넓이가 $\lvert \det A \rvert$ 배인 평행사변형이 되고, 그 평행사변형들이 변환된 도형을 덮습니다. 칸을 작게 할수록 근사가 정확해지므로, 변환된 도형의 넓이는 $\lvert \det A \rvert \cdot S$ 입니다. (칸을 한없이 작게 하는 논증을 정확히 하려면 적분이 필요합니다. 여기서는 그림으로 받아들입니다.)

6.1절 질문의 답: 넓이 7인 도형은 넓이 $5 \times 7 = 35$ 가 됩니다.

6.5 곱의 행렬식

정리 6.3 (곱의 행렬식). $2 \times 2$ 행렬 $A$ , $B$ 에 대하여 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

직관. $AB$ 는 $B$ 다음에 $A$ 를 하는 변환입니다. $B$ 가 넓이를 $\det B$ 배로, $A$ 가 다시 $\det A$ 배로 바꾸므로 전체 배율은 곱입니다. 방향도 마찬가지입니다. 두 번 뒤집으면 원래 방향입니다( $(-1)(-1) = 1$ ).

증명. $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$ 이면 $AB = \begin{bmatrix} ap + br & aq + bs \\ cp + dr & cq + ds \end{bmatrix}$ 입니다.

\begin{aligned} \det(AB) &= (ap + br)(cq + ds) - (aq + bs)(cp + dr) \\ &= apcq + apds + brcq + brds - aqcp - aqdr - bscp - bsdr \\ &= ad(ps - qr) - bc(ps - qr) = (ad - bc)(ps - qr). \end{aligned}

셋째 줄에서 $apcq$ 와 $aqcp$ , $brds$ 와 $bsdr$ 가 지워집니다. ■

계산 증명은 $2 \times 2$ 에서만 손으로 할 만합니다. $n \times n$ 에서는 15장에서 행렬식을 성질로 정의한 뒤 다른 방법으로 증명합니다. 그러나 이유는 언제나 직관 상자에 쓴 그대로입니다.

한 가지 주의할 점: $\det(A + B) \ne \det A + \det B$ 입니다. 예를 들어 $\det I = 1$ 인데 $\det(I + I) = \det(2I) = 4 \ne 2$ 입니다. 행렬식은 곱과는 잘 맞지만 덧셈과는 맞지 않습니다.

▶ 문제 6.5–6.7

6.6 행렬식이 0일 때

행렬식이 0이면 넓이가 0이 됩니다. 즉 평면 전체가 직선이나 점으로 납작해집니다. 이것은 지금까지 본 여러 현상과 같은 이야기입니다.

정리 6.4 (2 × 2 가역성의 판정). $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 에 대하여 다음은 동치입니다.

$\det A \ne 0$ .
$A$ 의 두 열은 같은 직선 위에 있지 않습니다. 즉 $\operatorname{span}\{(a, c), (b, d)\} = \mathbb{R}^2$ .
모든 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^2$ 에 대해 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해가 정확히 하나 있습니다.

이때 해는

\mathbf{x} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\mathbf{b}

입니다.

증명. (1) $\iff$ (2)는 문제 3.11에서 증명했습니다.

(1)⇒(3): 위의 $\mathbf{x}$ 를 직접 넣으면

A \cdot \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} ad - bc & -ab + ba \\ cd - dc & -cb + da \end{bmatrix} = I

이므로 $A\mathbf{x} = I\mathbf{b} = \mathbf{b}$ , 즉 해가 있습니다. 해가 하나뿐임을 보입시다. $A\mathbf{x} = A\mathbf{y} = \mathbf{b}$ 이면 $A(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \mathbf{0}$ 입니다. 양변에 왼쪽부터 $\frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ 를 곱하면(이 행렬을 $A$ 의 왼쪽에 곱해도 $I$ 가 됨을 같은 계산으로 확인할 수 있습니다) $\mathbf{x} - \mathbf{y} = \mathbf{0}$ 입니다.

(3)⇒(2): 모든 $\mathbf{b}$ 에 해가 있다는 것은 모든 $\mathbf{b}$ 가 $A$ 의 열들의 일차결합이라는 것이므로(4.6절), 두 열의 span이 $\mathbb{R}^2$ 입니다. ■

정리에 나온 행렬 $\frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ 는 $A$ 를 곱하면 $I$ 가 되는 행렬, 즉 $A$ 가 한 일을 되돌리는 변환입니다. 이것을 $A$ 의 역행렬이라 부르며 9장의 주제입니다. “대각성분은 자리를 바꾸고, 비대각성분은 부호를 바꾸고, 행렬식으로 나눕니다”로 기억하면 됩니다. 행렬식으로 나누므로, $\det A = 0$ 이면 역행렬이 없습니다. 납작하게 만든 평면을 다시 펴 놓을 방법은 없기 때문입니다.

▶ 문제 6.8–6.9

6.7 3 × 3 행렬식: 부피 배율

$왼쪽은 부피 1인 단위정육면체, 오른쪽은 A로 옮긴 평행육면체로 모서리가 세 열 a₁, a₂, a₃이고 부피가 |det A|다.$

그림 6.4. 단위정육면체는 세 열 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 를 모서리로 하는 평행육면체가 됩니다.

$\mathbb{R}^3$ 에서도 같은 이야기가 성립합니다. $3 \times 3$ 행렬 $A$ 는 단위정육면체를 세 열 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 로 만든 평행육면체로 보냅니다. 그 부피가 $\lvert \det A \rvert$ 이고, 부호는 오른손 좌표계를 유지하는지( $+$ ) 거울상으로 바꾸는지( $-$ )를 나타냅니다. 공식은 다음과 같습니다.

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).

첫째 행의 각 성분에, 그 성분의 행과 열을 지운 $2 \times 2$ 행렬식을 곱하고, 부호를 $+, -, +$ 로 번갈아 붙입니다. 이 공식이 왜 부피인지, 왜 부호가 번갈아 붙는지는 15장에서 증명합니다. 지금은 공식을 계산 도구로 씁니다.

예제 6.5.

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 - 0) - 1(0 - 1) + 0 = 7.

예제 6.6 (삼각행렬).

\begin{vmatrix} 2 & 5 & 7 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 7\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 12 - 0 + 0 = 24 = 2 \cdot 3 \cdot 4.

대각선 아래가 모두 0인 행렬(위삼각행렬)의 행렬식은 대각성분의 곱입니다. 그림으로는 부피가 24인 대각행렬 $\operatorname{diag}(2, 3, 4)$ 에 층밀림을 더한 것이고, 층밀림은 부피를 바꾸지 않습니다. 8장의 가우스 소거는 행렬을 위삼각행렬로 만드는 과정이고, 그 덕분에 큰 행렬의 행렬식을 빠르게 계산할 수 있습니다.

$2 \times 2$ 에서처럼 $\det A = 0$ 이면 공간 전체가 평면 이하로 납작해지고, 세 열이 한 평면 위에 있으며, $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 는 모든 $\mathbf{b}$ 에 대해 풀리지 않습니다. 이 동치는 15장에서 $n \times n$ 전체에 대해 증명합니다.

▶ 문제 6.10–6.11

쓰이는 곳. 확률에서 변수를 바꿀 때 밀도에 곱하는 $|\det J|$ (야코비안), 정규화 흐름(normalizing flow) 모델의 로그 행렬식 항, 물리의 부피 변화가 모두 행렬식입니다.

이 장의 요약

$\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$ . 절댓값은 넓이 배율, 부호는 방향(뒤집힘 여부).
모든 도형의 넓이는 같은 배율 $\lvert \det A \rvert$ 로 변합니다.
두 열을 바꾸면 부호가 바뀝니다.
$\det(AB) = \det A\det B$ (배율은 곱해집니다). $\det(A + B)$ 는 그렇지 않습니다.
$\det A \ne 0$ $\iff$ 열이 납작하지 않다 $\iff$ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 가 항상 유일한 해를 가집니다. 이때 $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ .
$3 \times 3$ 행렬식은 부피 배율이고, 첫째 행 전개로 계산합니다. 삼각행렬은 대각성분의 곱.

문제

6.1 [계산] · 확인 문제

행렬식을 구합니다. (c)의 두 열은 어떤 관계일까요? (d)는 어떤 변환일까요?

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix}

	(a)	(b)	(c)	(d)
행렬식	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

(a) $12 - 2 = 10$ (b) $4 - 6 = -2$ (c) $6 - 6 = 0$ , 둘째 열이 첫째 열의 $-3$ 배라서 평행합니다. (d) $-\cos^2\theta - \sin^2\theta = -1$ . 넓이를 보존하고 방향을 뒤집는 변환, 즉 반사입니다(원점을 지나고 $x$ 축과 $\theta/2$ 를 이루는 직선에 대한 반사).

6.2 [계산] · 확인 문제

(a) 꼭짓점이 $(1, 1), (4, 2), (5, 5), (2, 4)$ 인 평행사변형의 넓이를 구합니다. (b) 꼭짓점이 $(0, 0), (4, 1), (1, 3)$ 인 삼각형의 넓이를 구합니다.

	넓이
(a) 평행사변형	[?]
(b) 삼각형	[?]

정답

8
11/2

풀이

(a) $(1, 1)$ 에서 나가는 두 변 $(3, 1)$ , $(1, 3)$ . 넓이 $\lvert 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \rvert = 8$ .

(b) 평행사변형의 절반: $\frac12\lvert 4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \rvert = \frac{11}{2}$ .

6.3 [계산] · 확인 문제

다음 변환이 방향을 유지하는지 뒤집는지 판정하고, 단위정사각형의 상을 그려 확인합니다. 표에는 “유지” 또는 “뒤집힘”을 적습니다. (a) $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

	방향
(a)	[?]
(b)	[?]
(c)	[?]

정답

뒤집힘
유지
뒤집힘

풀이

(a) $\det = -1$ , 뒤집힘. (b) $\det = 1$ , 유지. (c) $\det = 1 - 6 = -5$ , 뒤집힘.

6.4 [증명]

$2 \times 2$ 행렬 $A$ 와 실수 $c$ 에 대하여 (a) $\det(cA) = c^2\det A$ 임을 보이고, 그림으로 이유를 설명합니다. (b) $\det A^T = \det A$ 임을 보입니다.

풀이

(a) $(ca)(cd) - (cb)(cc) = c^2(ad - bc)$ . 가로와 세로가 모두 $c$ 배가 되므로 넓이는 $c^2$ 배.

(b) $A^T = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ , $\det A^T = ad - cb = \det A$ .

6.5 [계산] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ 에 대해 $\det A$ , $\det B$ , $AB$ , $\det(AB)$ 를 계산하고 정리 6.3이 성립하는지 확인합니다.

값	답
$\det A$	[?]
$\det B$	[?]
$AB$ 의 1행 1열	[?]
$AB$ 의 1행 2열	[?]
$AB$ 의 2행 1열	[?]
$AB$ 의 2행 2열	[?]
$\det(AB)$	[?]

정답

풀이

$\det A = -2$ , $\det B = 6$ , $AB = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$ , $\det(AB) = 48 - 60 = -12 = (-2)(6)$ .

6.6 [계산] · 확인 문제

$\det A = -2$ 인 $2 \times 2$ 행렬 $A$ 가 있습니다. (a) $\det(A^5)$ , $\det(3A)$ , $\det(A^TA)$ 를 구합니다. (b) $AB = I$ 인 행렬 $B$ 가 있다면 $\det B$ 는 얼마일까요?

값	답
$\det(A^5)$	[?]
$\det(3A)$	[?]
$\det(A^TA)$	[?]
$\det B$	[?]

정답

-32
-18
4
-1/2

풀이

(a) $\det(A^5) = (-2)^5 = -32$ , $\det(3A) = 9 \cdot (-2) = -18$ (문제 6.4), $\det(A^TA) = \det A^T\det A = 4$ .

(b) $\det A\det B = \det I = 1$ 이므로 $\det B = -\frac12$ .

6.7 [도전]

$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 인 실수 $2 \times 2$ 행렬 $A$ 는 존재하지 않음을 증명합니다. 그림으로는 무슨 뜻일까요?

풀이

$\det(A^2) = (\det A)^2 \ge 0$ 인데 $\det\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -1 < 0$ 이므로 불가능.

그림: 어떤 변환을 두 번 하면, 한 번에 뒤집혔으면 두 번에 원래 방향으로 돌아오고, 안 뒤집혔으면 두 번 해도 안 뒤집힙니다. 그러니 “두 번 해서 거울상”인 실수 변환은 없습니다.

6.8 [계산] · 확인 문제

(a) 정리 6.4의 공식으로 $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ 을 풀고, 답을 대입해 확인합니다. (b) $\begin{bmatrix} k & 2 \\ 3 & k - 1 \end{bmatrix}$ 이 역행렬을 갖지 않는 $k$ 를 모두 구합니다.

값	답
(a) $x_1$	[?]
(a) $x_2$	[?]
(b) 작은 $k$	[?]
(b) 큰 $k$	[?]

정답

풀이

(a) $\det = 5$ , $\mathbf{x} = \frac15\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac15\begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ . 확인: $3 + 1 = 4$ , $1 + 2 = 3$ .

(b) $k(k - 1) - 6 = k^2 - k - 6 = (k - 3)(k + 2) = 0$ , $k = 3$ 또는 $k = -2$ .

6.9 [증명]

$ad - bc \ne 0$ 이면 연립방정식 $ax + by = 0$ , $cx + dy = 0$ 의 해는 $x = y = 0$ 뿐임을, 역행렬 공식을 쓰지 않고 소거로 보입니다.

힌트. 첫째 식에 $d$ 를, 둘째 식에 $b$ 를 곱해 빼 봅니다.

풀이

$d \times$ (첫째 식) $- b \times$ (둘째 식): $(ad - bc)x = 0$ 이므로 $x = 0$ . 같은 방법으로 $a \times$ (둘째) $- c \times$ (첫째): $(ad - bc)y = 0$ 이므로 $y = 0$ . 이 방법이 8장 가우스 소거의 씨앗입니다.

6.10 [계산] · 확인 문제

행렬식을 구합니다. (a)의 값이 나온 이유를 세 열의 관계로 설명합니다.

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 7 & -2 & 0 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}

	(a)	(b)	(c)	(d)
행렬식	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

0
-15
-10
-30

풀이

(a) $1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = -3 + 12 - 9 = 0$ . 셋째 열 $= 2 \times$ 둘째 열 $-$ 첫째 열이므로 세 열이 한 평면 위에 있어 부피가 0입니다.

(b) $1(0 - 1) - 0 + 2(-1 - 6) = -15$ . (c) $2 \cdot (-1) \cdot 5 = -10$ .

(d) $3\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 3(-10) = -30$ . 아래삼각행렬도 대각성분의 곱입니다.

6.11 [도전] · 확인 문제

(a) $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 0, 1)$ 을 모서리로 하는 평행육면체의 부피를 구합니다. (b) 같은 세 벡터와 원점을 꼭짓점으로 하는 사면체의 부피는 평행육면체의 $\frac16$ 입니다. 사면체의 부피를 구합니다.

	부피
(a) 평행육면체	[?]
(b) 사면체	[?]

정답

2
1/3

풀이

(a)

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - 0 + 1(1 - 0) = 2.

부피 2. (b) $\frac26 = \frac13$ .