실험 물리와 공학 논문에는 거의 똑같은 모양의 한 쪽이 반복해서 나옵니다. “측정한 스펙트럼을 로렌츠 함수로 맞추었고, 공명 진동수는 ω 0 / 2 π = 5.0213 ( 4 ) \omega_0/2\pi = 5.0213(4) ω 0 /2 π = 5.0213 ( 4 )
6.1 선 모양: 로렌츠 함수
감쇠 진동자 x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = ( F 0 / m ) cos ω t \ddot x + \gamma\dot x + \omega_0^2x = (F_0/m)\cos\omega t x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = ( F 0 / m ) cos ω t c / m = γ c/m = \gamma c / m = γ
∣ X ( ω ) ∣ 2 = ( F 0 / m ) 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2 . |X(\omega)|^2 = \frac{(F_0/m)^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}. ∣ X ( ω ) ∣ 2 = ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2 ( F 0 / m ) 2 . 공명 근처(ω ≈ ω 0 \omega \approx \omega_0 ω ≈ ω 0 γ ≪ ω 0 \gamma \ll \omega_0 γ ≪ ω 0 ω 0 2 − ω 2 = ( ω 0 − ω ) ( ω 0 + ω ) ≈ 2 ω 0 ( ω 0 − ω ) \omega_0^2 - \omega^2 = (\omega_0 - \omega)(\omega_0 + \omega) \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega) ω 0 2 − ω 2 = ( ω 0 − ω ) ( ω 0 + ω ) ≈ 2 ω 0 ( ω 0 − ω ) γ ω ≈ γ ω 0 \gamma\omega \approx \gamma\omega_0 γ ω ≈ γ ω 0
∣ X ∣ 2 ≈ ( F 0 / m ) 2 4 ω 0 2 ⋅ 1 ( ω − ω 0 ) 2 + ( γ / 2 ) 2 . |X|^2 \approx \frac{(F_0/m)^2}{4\omega_0^2}\cdot\frac{1}{(\omega - \omega_0)^2 + (\gamma/2)^2}. ∣ X ∣ 2 ≈ 4 ω 0 2 ( F 0 / m ) 2 ⋅ ( ω − ω 0 ) 2 + ( γ /2 ) 2 1 . 정의 6.1. L ( ω ) = A ( ω − ω 0 ) 2 + ( Γ / 2 ) 2 + B L(\omega) = \dfrac{A}{(\omega - \omega_0)^2 + (\Gamma/2)^2} + B L ( ω ) = ( ω − ω 0 ) 2 + ( Γ/2 ) 2 A + B 로렌츠 선 모양 (Lorentzian lineshape)이라 합니다. ω 0 \omega_0 ω 0 Γ \Gamma Γ 반치전폭 (full width at half maximum, FWHM), B B B
질문 4 (특수한 경우). ω = ω 0 ± Γ / 2 \omega = \omega_0 \pm \Gamma/2 ω = ω 0 ± Γ/2 Γ \Gamma Γ Γ = γ \Gamma = \gamma Γ = γ
정리 6.2. Q 인자는 Q = ω 0 / Γ Q = \omega_0/\Gamma Q = ω 0 /Γ Q = m k / c = ω 0 / γ Q = \sqrt{mk}/c = \omega_0/\gamma Q = mk / c = ω 0 / γ
예제 6.3. 중심 5.000 GHz, 반치전폭 2.5 MHz이면 Q = 5000 / 2.5 = 2000 Q = 5000/2.5 = 2000 Q = 5000/2.5 = 2000
로렌츠 함수는 확률과 통계에서 코시 분포이고, 그 푸리에 변환은 e − Γ ∣ t ∣ / 2 e^{-\Gamma|t|/2} e − Γ∣ t ∣/2 주파수 영역의 로렌츠 선폭 = 시간 영역의 지수 감쇠율 : 공명이 좁을수록 오래 울립니다.
6.2 카이제곱 맞춤
측정 ( ω i , y i ) (\omega_i, y_i) ( ω i , y i ) i = 1 , … , N i = 1, \dots, N i = 1 , … , N σ i \sigma_i σ i f ( ω ; θ ) f(\omega; \boldsymbol\theta) f ( ω ; θ ) θ = ( A , ω 0 , Γ , B ) \boldsymbol\theta = (A, \omega_0, \Gamma, B) θ = ( A , ω 0 , Γ , B )
정의 6.4 (카이제곱).
χ 2 ( θ ) = ∑ i = 1 N ( y i − f ( ω i ; θ ) σ i ) 2 . \chi^2(\boldsymbol\theta) = \sum_{i=1}^N\left(\frac{y_i - f(\omega_i; \boldsymbol\theta)}{\sigma_i}\right)^2. χ 2 ( θ ) = i = 1 ∑ N ( σ i y i − f ( ω i ; θ ) ) 2 . 각 잔차를 그 점의 오차로 나눈 뒤 제곱해 더합니다. 오차가 큰 점은 덜 믿습니다(가중 최소제곱).
질문 5 (어디서 왔는가). y i ∼ N ( f ( ω i ; θ ) , σ i 2 ) y_i \sim \mathcal N(f(\omega_i; \boldsymbol\theta), \sigma_i^2) y i ∼ N ( f ( ω i ; θ ) , σ i 2 ) 1 2 χ 2 + 상수 \frac12\chi^2 + \text{상수} 2 1 χ 2 + 상수 카이제곱 최소화 = 최대우도 (확률과 통계 7장 정리 7.11의 가중판)입니다. 로렌츠 함수는 ω 0 \omega_0 ω 0 Γ \Gamma Γ
6.3 맞춤의 좋음: 축약 카이제곱
정의 6.5. 자유도 ν = N − p \nu = N - p ν = N − p p p p χ ν 2 = χ min 2 / ν \chi^2_\nu = \chi^2_{\min}/\nu χ ν 2 = χ m i n 2 / ν 축약 카이제곱 (reduced chi-squared)이라 합니다.
모형이 맞고 오차 σ i \sigma_i σ i χ ν 2 ≈ 1 \chi^2_\nu \approx 1 χ ν 2 ≈ 1
χ ν 2 \chi^2_\nu χ ν 2 해석
≈ 1 \approx 1 ≈ 1 모형과 오차 추정이 데이터와 맞음
≫ 1 \gg 1 ≫ 1 모형이 틀렸거나 오차를 과소평가함
≪ 1 \ll 1 ≪ 1 오차를 과대평가했거나 과적합
예제 6.6. N = 104 N = 104 N = 104 χ min 2 = 108 \chi^2_{\min} = 108 χ m i n 2 = 108 ν = 100 \nu = 100 ν = 100 χ ν 2 = 1.08 \chi^2_\nu = 1.08 χ ν 2 = 1.08
6.4 불확도와 공분산
최솟값 근처에서 χ 2 \chi^2 χ 2
정리 6.7. 매개변수의 공분산 행렬은 근사적으로 C = 2 [ ∇ 2 χ 2 ] − 1 C = 2\left[\nabla^2\chi^2\right]^{-1} C = 2 [ ∇ 2 χ 2 ] − 1 θ j \theta_j θ j σ θ j = C j j \sigma_{\theta_j} = \sqrt{C_{jj}} σ θ j = C j j
일차원으로 보면 χ 2 ( θ ) ≈ χ min 2 + ( θ − θ ^ ) 2 σ θ 2 \chi^2(\theta) \approx \chi^2_{\min} + \frac{(\theta - \hat\theta)^2}{\sigma_\theta^2} χ 2 ( θ ) ≈ χ m i n 2 + σ θ 2 ( θ − θ ^ ) 2 χ 2 \chi^2 χ 2 1 2 χ 2 ′ ′ = 1 / σ 2 \frac12\chi^{2\prime\prime} = 1/\sigma^2 2 1 χ 2′′ = 1/ σ 2
예제 6.8. 매개변수 하나에 대해 χ 2 ( θ ) = 50 + 400 ( θ − 3.2 ) 2 \chi^2(\theta) = 50 + 400(\theta - 3.2)^2 χ 2 ( θ ) = 50 + 400 ( θ − 3.2 ) 2 θ ^ = 3.2 \hat\theta = 3.2 θ ^ = 3.2 σ θ 2 = 1 / 400 \sigma_\theta^2 = 1/400 σ θ 2 = 1/400 σ θ = 0.05 \sigma_\theta = 0.05 σ θ = 0.05 θ = 3.20 ± 0.05 \theta = 3.20 \pm 0.05 θ = 3.20 ± 0.05
공분산 행렬의 비대각 성분은 매개변수끼리의 상관입니다. 예를 들어 진폭 A A A Γ \Gamma Γ Q = ω 0 / Γ Q = \omega_0/\Gamma Q = ω 0 /Γ ( σ Q Q ) 2 ≈ ( σ ω 0 ω 0 ) 2 + ( σ Γ Γ ) 2 \left(\frac{\sigma_Q}{Q}\right)^2 \approx \left(\frac{\sigma_{\omega_0}}{\omega_0}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_\Gamma}{\Gamma}\right)^2 ( Q σ Q ) 2 ≈ ( ω 0 σ ω 0 ) 2 + ( Γ σ Γ ) 2
6.5 결과 보고 형식
5.0213 ( 4 ) 5.0213(4) 5.0213 ( 4 ) 5.0213 ± 0.0004 5.0213 \pm 0.0004 5.0213 ± 0.0004 불확도는 보통 1σ(약 68% 신뢰구간)입니다. 다른 기준이면 본문에 적습니다.
통계적 불확도(측정 잡음)와 계통 불확도 (장비 보정, 모형 근사)를 따로 적기도 합니다: x = 1.23 ± 0.02 stat ± 0.05 sys x = 1.23 \pm 0.02_{\text{stat}} \pm 0.05_{\text{sys}} x = 1.23 ± 0.0 2 stat ± 0.0 5 sys
6.6 이 장의 요약
감쇠 진동자의 공명 근처 = 로렌츠 함수. 반치전폭 Γ = γ \Gamma = \gamma Γ = γ Q = ω 0 / Γ Q = \omega_0/\Gamma Q = ω 0 /Γ
χ 2 \chi^2 χ 2 χ ν 2 ≈ 1 \chi^2_\nu \approx 1 χ ν 2 ≈ 1 χ 2 \chi^2 χ 2 C = 2 ( ∇ 2 χ 2 ) − 1 C = 2(\nabla^2\chi^2)^{-1} C = 2 ( ∇ 2 χ 2 ) − 1
쓰이는 곳. 분광학, 원자·분자 물리, 초전도 큐비트와 광공진기의 특성 측정, MEMS 공진기, 입자물리의 공명 질량 측정(브라이트–위그너 분포는 상대론적 로렌츠 함수), 천문학의 스펙트럼선 분석, 그리고 머신러닝의 스케일링 법칙 맞춤(같은 비선형 최소제곱과 불확도 논의)이 이 장의 방법을 씁니다.
문제
6.1 [계산] · 확인 문제
공명 중심 ω 0 / 2 π = 8.0 \omega_0/2\pi = 8.0 ω 0 /2 π = 8.0 Γ / 2 π = 400 \Gamma/2\pi = 400 Γ/2 π = 400
정답 풀이 Q = 8 × 10 9 / ( 4 × 10 5 ) = 20000 Q = 8\times10^9/(4\times10^5) = 20000 Q = 8 × 1 0 9 / ( 4 × 1 0 5 ) = 20000
6.2 [계산] · 확인 문제
로렌츠 함수 L ( ω ) = 1 ( ω − 10 ) 2 + 0.25 L(\omega) = \dfrac{1}{(\omega - 10)^2 + 0.25} L ( ω ) = ( ω − 10 ) 2 + 0.25 1 ω = 10.5 \omega = 10.5 ω = 10.5
정답 풀이 Γ / 2 = 0.5 \Gamma/2 = 0.5 Γ/2 = 0.5 ω = 10.5 \omega = 10.5 ω = 10.5 1 0.25 + 0.25 = 2 \frac{1}{0.25 + 0.25} = 2 0.25 + 0.25 1 = 2 1 0.25 = 4 \frac{1}{0.25} = 4 0.25 1 = 4 0.5 0.5 0.5
6.3 [계산] · 확인 문제
데이터 50점에 매개변수 5개로 맞춰 χ min 2 = 90 \chi^2_{\min} = 90 χ m i n 2 = 90
정답 풀이 ν = 45 \nu = 45 ν = 45 90 / 45 = 2 90/45 = 2 90/45 = 2
6.4 [계산] · 확인 문제
χ 2 ( θ ) = 30 + 25 ( θ − 1.5 ) 2 \chi^2(\theta) = 30 + 25(\theta - 1.5)^2 χ 2 ( θ ) = 30 + 25 ( θ − 1.5 ) 2 θ \theta θ
정답 풀이 1 / σ 2 = 25 1/\sigma^2 = 25 1/ σ 2 = 25 σ = 0.2 \sigma = 0.2 σ = 0.2 θ = 1.7 \theta = 1.7 θ = 1.7 χ 2 = 31 \chi^2 = 31 χ 2 = 31
6.5 [증명]
y i ∼ N ( f i ( θ ) , σ i 2 ) y_i \sim \mathcal N(f_i(\boldsymbol\theta), \sigma_i^2) y i ∼ N ( f i ( θ ) , σ i 2 ) 1 2 χ 2 + ( θ 와 무관한 상수 ) \frac12\chi^2 + (\boldsymbol\theta\text{와 무관한 상수}) 2 1 χ 2 + ( θ 와 무관한 상수 )
풀이 − ln ∏ i 1 2 π σ i e − ( y i − f i ) 2 / ( 2 σ i 2 ) = ∑ i ln ( 2 π σ i ) + 1 2 ∑ i ( y i − f i ) 2 σ i 2 -\ln\prod_i\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i}e^{-(y_i - f_i)^2/(2\sigma_i^2)} = \sum_i\ln(\sqrt{2\pi}\sigma_i) + \frac12\sum_i\frac{(y_i - f_i)^2}{\sigma_i^2} − ln ∏ i 2 π σ i 1 e − ( y i − f i ) 2 / ( 2 σ i 2 ) = ∑ i ln ( 2 π σ i ) + 2 1 ∑ i σ i 2 ( y i − f i ) 2 θ \boldsymbol\theta θ 1 2 χ 2 \frac12\chi^2 2 1 χ 2