Linearism › 다변수 미적분 › MV.10

10장. 발산, 회전, 적분 정리

다변수 미적분 · 4부. 벡터 미적분

심화 · 약 15분 · 연습문제 5

요약

발산과 회전, 라플라시안, 곡면적분과 선속, 발산 정리, 스토크스 정리, 맥스웰 방정식으로 읽기

벡터장의 한 점 근처를 보면 두 가지를 물을 수 있습니다. 흐름이 그 점에서 솟아나는가(발산), 그 점을 중심으로 소용돌이치는가(회전). 이 장에서는 두 양을 ∇\nabla를 써서 정의하고, 9장의 그린 정리를 3차원으로 넓힌 두 정리를 다룹니다. 닫힌 곡면을 뚫고 나가는 양은 안쪽의 발산을 모두 더한 것(발산 정리)이고, 곡면의 테두리를 도는 순환은 곡면 위의 회전을 모두 더한 것(스토크스 정리)입니다. 전자기학의 맥스웰 방정식이 바로 이 언어로 쓰입니다.

10.1 발산

정의 10.1 (발산). F=(P,Q,R)\mathbf{F} = (P, Q, R)의 발산(divergence)은

∇⋅F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z.\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.

∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)를 벡터처럼 보고 F\mathbf{F}와 내적한 꼴로 기억합니다. 한 점 둘레의 작은 상자에서 단위 부피당 빠져나가는 양입니다. 양수이면 샘(source), 음수이면 빨려 들어가는 곳(sink)입니다.

예제 10.2. F=(x,y,z)\mathbf{F} = (x, y, z)이면 ∇⋅F=3\nabla\cdot\mathbf{F} = 3(모든 곳에서 퍼져 나감). F=(−y,x,0)\mathbf{F} = (-y, x, 0)이면 00(돌기만 하고 솟아나지 않음).

10.2 회전

정의 10.3 (회전). F\mathbf{F}의 회전(curl)은

∇×F=(∂R∂y−∂Q∂z, ∂P∂z−∂R∂x, ∂Q∂x−∂P∂y).\nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right).

∇\nabla와 F\mathbf{F}의 외적(벡터곱)으로 기억합니다. 작은 바람개비를 그 점에 놓았을 때 도는 축의 방향과 빠르기입니다. 셋째 성분 Qx−PyQ_x - P_y가 9장 그린 정리의 피적분함수입니다.

예제 10.4. F=(−y,x,0)\mathbf{F} = (-y, x, 0)이면 ∇×F=(0,0,2)\nabla\times\mathbf{F} = (0, 0, 2): zz축 둘레로 돎. F=(x,y,z)\mathbf{F} = (x, y, z)이면 0\mathbf{0}.

정리 10.5. 충분히 매끄러운 ff, F\mathbf{F}에 대해

  1. ∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f) = \mathbf{0} (그래디언트장은 소용돌이가 없습니다)
  2. ∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0 (회전장은 샘이 없습니다)

둘 다 혼합 편미분이 같다는 것(클레로 정리)에서 나옵니다. 1번은 9장의 보존장 판정을 3차원으로 넓힌 것입니다.

정의 10.6 (라플라시안). ∇2f=∇⋅∇f=fxx+fyy+fzz\nabla^2f = \nabla\cdot\nabla f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}를 라플라시안(Laplacian)이라 합니다. Δf\Delta f로도 씁니다.

라플라시안은 “한 점의 값이 주변 평균보다 얼마나 작은가”를 잽니다. 열방정식 ut=k∇2uu_t = k\nabla^2u(뜨거운 곳은 주변 평균으로 식음), 파동방정식 utt=c2∇2uu_{tt} = c^2\nabla^2u, 그리고 이산수학의 그래프 라플라시안(선형대수 31장)이 같은 개념입니다.

10.3 곡면적분과 선속

곡면 SS를 뚫고 지나가는 흐름의 양을 선속(flux)이라 합니다. 곡면의 작은 조각 dSdS에서 바깥 방향 단위 법선을 n\mathbf{n}이라 하면, 그 조각을 지나는 양은 F⋅n dS\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS입니다.

정의 10.7 (선속). ∬SF⋅n dS\displaystyle\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.

곡면을 r(u,v)\mathbf{r}(u, v)로 매개화하면 n dS=(ru×rv) du dv\mathbf{n}\,dS = (\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv로 계산합니다. 예를 들어 반지름 aa인 구면에서 n=x/a\mathbf{n} = \mathbf{x}/a, dS=a2sin⁡ϕ dϕ dθdS = a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta입니다(8장의 구면좌표).

10.4 발산 정리

정리 10.8 (발산 정리, 가우스 정리). 닫힌 곡면 SS가 입체 EE를 감싸고 n\mathbf{n}이 바깥 법선이면

∬SF⋅n dS=∭E∇⋅F dV.\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_E\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

경계로 빠져나가는 총량 = 안쪽 모든 점에서 솟아나는 양의 합. 그린 정리의 증명처럼, 입체를 작은 상자로 나누면 이웃 상자 사이의 선속이 상쇄되어 바깥 곡면만 남습니다.

예제 10.9. F=(x,y,z)\mathbf{F} = (x, y, z), SS는 반지름 aa인 구면. 오른쪽: ∭3 dV=3⋅43πa3=4πa3\iiint3\,dV = 3\cdot\frac43\pi a^3 = 4\pi a^3. 왼쪽: 구면에서 F⋅n=∥x∥2/a=a\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \|\mathbf{x}\|^2/a = a이므로 a⋅4πa2=4πa3a\cdot4\pi a^2 = 4\pi a^3. 같습니다.

10.5 스토크스 정리

정리 10.10 (스토크스 정리). 곡면 SS의 테두리가 곡선 CC이고 방향이 오른손 법칙으로 맞으면

∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS.\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.

테두리를 도는 순환 = 곡면 위 소용돌이의 합. 곡면이 평면 영역이면 그린 정리입니다. 놀라운 점은 테두리만 같으면 어떤 곡면을 골라도 오른쪽 값이 같다는 것입니다.

10.6 맥스웰 방정식으로 읽기

전자기학의 네 법칙을 이 장의 언어로 읽으면(E\mathbf{E}: 전기장, B\mathbf{B}: 자기장, ρ\rho: 전하 밀도, J\mathbf{J}: 전류 밀도):

미분형 뜻 적분형으로 바꾸는 정리
∇⋅E=ρ/ε0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0 전하가 전기장의 샘 발산 정리 (가우스 법칙)
∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0 자기 홀극은 없음 발산 정리
∇×E=−∂B/∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t 변하는 자기장이 전기장을 돌림 스토크스 정리 (패러데이 법칙)
∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t 전류와 변하는 전기장이 자기장을 돌림 스토크스 정리 (앙페르–맥스웰 법칙)

예를 들어 점전하 qq를 감싼 구면에 발산 정리를 쓰면 ∬E⋅n dS=q/ε0\iint\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}\,dS = q/\varepsilon_0이고, 대칭성으로 E⋅4πr2=q/ε0E\cdot4\pi r^2 = q/\varepsilon_0, 곧 쿨롱 법칙 E=q4πε0r2E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}이 나옵니다.

10.7 이 장의 요약

  • 발산 ∇⋅F\nabla\cdot\mathbf{F} = 솟아남, 회전 ∇×F\nabla\times\mathbf{F} = 소용돌이, 라플라시안 ∇2f\nabla^2f = 주변 평균과의 차.
  • 발산 정리: 닫힌 곡면의 선속 = 안쪽 발산의 합.
  • 스토크스 정리: 테두리의 순환 = 곡면 위 회전의 합. 둘 다 그린 정리의 3차원 판입니다.

쓰이는 곳. 맥스웰 방정식(전자기학), 나비에–스토크스 방정식(유체역학), 열방정식과 확산방정식, 연속 방정식 ∂tρ+∇⋅(ρv)=0\partial_t\rho + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0(질량 보존)이 모두 발산·회전·라플라시안으로 쓰입니다. 머신러닝의 확산 모델과 정규화 흐름의 연속 판(neural ODE)은 연속 방정식과 포커–플랑크 방정식으로 확률밀도의 흐름을 다룹니다.

문제

10.1 [계산] · 확인 문제

F=(x2y, yz, xz2)\mathbf{F} = (x^2y,\ yz,\ xz^2)의 점 (1,1,1)(1, 1, 1)에서의 값을 씁니다.

값 답
∇⋅F\nabla\cdot\mathbf{F} [?]
(∇×F)(\nabla\times\mathbf{F})의 xx성분 [?]
(∇×F)(\nabla\times\mathbf{F})의 yy성분 [?]
(∇×F)(\nabla\times\mathbf{F})의 zz성분 [?]
정답
5
-1
-1
-1
풀이

∇⋅F=2xy+z+2xz=2+1+2=5\nabla\cdot\mathbf{F} = 2xy + z + 2xz = 2 + 1 + 2 = 5. 회전: (Ry−Qz,Pz−Rx,Qx−Py)=(0−y,0−z2,0−x2)=(−1,−1,−1)(R_y - Q_z, P_z - R_x, Q_x - P_y) = (0 - y, 0 - z^2, 0 - x^2) = (-1, -1, -1).

10.2 [계산] · 확인 문제

발산 정리로, F=(x,2y,3z)\mathbf{F} = (x, 2y, 3z)가 단위정육면체 [0,1]3[0,1]^3의 겉면을 뚫고 나가는 선속을 구합니다.

정답
6
풀이

∇⋅F=1+2+3=6\nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 2 + 3 = 6이고 부피가 1이므로 선속은 6입니다.

10.3 [계산] · 확인 문제

f(x,y,z)=x2+y2−2z2f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2z^2의 라플라시안 ∇2f\nabla^2f는?

정답
0
풀이

2+2−4=02 + 2 - 4 = 0입니다. 라플라시안이 0인 함수를 조화함수라 하며, 전하가 없는 곳의 전위가 조화함수입니다.

10.4 [계산]

F=(x,y,z)\mathbf{F} = (x, y, z)가 반지름 2인 구면을 뚫고 나가는 선속은? (π가 든 식으로 답할 수 있습니다)

정답
32π
풀이

예제 10.9의 4πa34\pi a^3에 a=2a = 2를 넣으면 32π32\pi입니다.

10.5 [증명]

∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0을 성분으로 계산해 보입니다.

풀이

∇×F=(Ry−Qz,Pz−Rx,Qx−Py)\nabla\times\mathbf{F} = (R_y - Q_z, P_z - R_x, Q_x - P_y)이므로 발산은 Ryx−Qzx+Pzy−Rxy+Qxz−PyzR_{yx} - Q_{zx} + P_{zy} - R_{xy} + Q_{xz} - P_{yz}입니다. 혼합 편미분이 같으므로(클레로) Ryx=RxyR_{yx} = R_{xy} 등이 짝지어 상쇄되어 0입니다.