선형대수를 읽는 법

선형대수는 '여러 개의 수를 한꺼번에 다루는' 수학입니다. 사진 한 장, 문장 하나, 실험 데이터 한 줄을 모두 수의 목록(벡터)으로 보고, 그것을 바꾸는 규칙(행렬)을 연구합니다. 머신러닝 논문의 거의 모든 식, 양자역학과 진동 해석, 컴퓨터 그래픽이 이 언어로 쓰입니다. 이 안내는 단원들이 어떤 순서로 이어지는지, 고등학교에서 배운 것 가운데 무엇을 먼저 기억해 두면 좋은지 정리합니다.

단원의 구성

선형대수 단원은 0장부터 32장까지와 부록 둘로 되어 있습니다. 각 단원은 개념의 설명과 그 개념을 손으로 익히는 문제로 이루어집니다. 본문의 절 끝에 있는

▶ 문제 2.4–2.6

같은 표시는 “여기까지 읽었으면 이 단원 끝의 문제 2.4번부터 2.6번까지를 풀라”는 뜻입니다. 단원을 다 읽고 문제를 몰아서 풀지 말고, 표시가 나올 때마다 문제로 넘어갑니다.

세 번 만나는 같은 개념

같은 개념을 서로 다른 깊이로 세 번 다룹니다.

1. 1부, 그림: 수식을 최소로 하고 $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$의 그림으로 봅니다.
2. 2부, 계산: $\mathbb{R}^n$과 행렬로 손 계산을 합니다.
3. 3부, 추상: 공리와 증명으로 다시 세웁니다.

그 위에 4부, 심화가 있습니다. 3부의 도구로 유리 표준형, 수치 계산, 응용, 텐서곱을 다룹니다. 4부의 단원들은 서로 독립적이므로 필요한 것부터 골라 읽어도 됩니다. 뒤에서 같은 개념이 다시 나오면 앞의 그림을 떠올립니다. 그림이 정의를 받치고, 정의가 그림을 정확하게 만듭니다.

본문의 표시

• 질문. 장이나 절을 여는 질문입니다. 이 절이 왜 필요한지를 보여 줍니다.
• 직관. 정확한 정의 전에, 또는 증명 뒤에 그림으로 생각하는 방법입니다.
• 정의. 새로운 용어를 정확하게 정합니다. 굵은 글씨가 정의되는 용어입니다.
• 정리. 증명이 붙는 사실입니다.

공부하는 순서

1. 질문을 읽고, 답을 1–2분 동안 스스로 생각해 봅니다.
2. 그림을 손으로 따라 그립니다. 그림은 연습장에 직접 그려 봅니다.
3. 예제는 풀이를 가리고 먼저 풀어 봅니다.
4. 정리는 증명을 읽기 전에 “아이디어”만 보고 직접 증명해 봅니다. 막히면 그때 증명을 읽습니다.
5. ▶ 표시가 나오면 문제로 갑니다.

문제의 종류

• [계산] 정의를 숫자에 적용해 봅니다. 막히면 본문의 예제를 다시 봅니다. 답이 수 하나나 표로 정해지는 문제는 바로 채점됩니다.
• [증명] 1장 1.7절의 점검 목록대로 씁니다. 먼저 “가정: / 보일 것:”을 적습니다. 풀이를 연 뒤 스스로 채점합니다.
• [도전] 한 번에 안 풀리는 것이 정상입니다. 하루 이틀 묵혀 두고 다시 봅니다. 뒤의 장 내용을 미리 맛보게 하는 경우가 많습니다.

계산 문제의 풀이는 전체를, 증명 문제의 풀이는 핵심 단계와 힌트만 싣습니다. 증명 풀이를 읽은 뒤에는 풀이를 덮고 자기 문장으로 처음부터 끝까지 다시 써 봅니다. 풀이를 읽고 “이해했습니다”는 느낌과, 빈 종이에 증명을 쓸 수 있는 것은 다릅니다.

틀린 문제는 번호 옆에 표시해 두고, 어떤 정의나 정리를 놓쳤는지를 여백에 한 줄로 적습니다. 장이 끝날 때 표시한 문제만 다시 풉니다.

기호

벡터는 굵은 소문자 $\mathbf{v}$, 스칼라(실수)는 보통 소문자 $c$로 씁니다. 손으로 쓸 때는 $\vec{v}$로 쓰면 됩니다. 미적분이 필요한 절에는 †를 붙입니다(31장의 미분방정식 절). 이런 절은 건너뛰어도 뒤의 내용을 읽는 데 지장이 없습니다. 기호는 “부록 B. 기호”에 모아 두었습니다. 복소수가 낯설면 7장 전에 “부록 A. 복소수”를 먼저 읽습니다.

쓰이는 곳. 머신러닝(신경망의 층, 임베딩, 주의 메커니즘), 물리(양자역학의 상태, 진동 모드), 공학(회로, 신호, 제어), 그래픽(좌표 변환)이 모두 이 과목의 개념으로 쓰입니다.