31장. 응용

지금까지의 도구를 실제 문제에 적용합니다. 마르코프 체인과 페이지랭크, 주성분 분석(PCA), 그래프의 연결 구조(라플라시안), 오류 정정 부호, 컴퓨터 그래픽의 좌표 변환, 미분방정식의 행렬 지수함수를 차례로 봅니다. 각 절은 앞 장의 어떤 정리를 쓰는지 밝혀 두었으므로, 관심 있는 응용부터 읽어도 됩니다.

31.1 선형대수가 쓰이는 곳

질문. 지금까지 배운 정리들은 실제 세계의 어떤 문제를 풀까요? 검색 엔진, 자료 분석, 전기 회로, 통신, 컴퓨터 그래픽스, 미분방정식은 겉보기에 전혀 다릅니다. 이것들이 모두 같은 몇 개의 정리로 풀린다면, 그 정리들은 무엇일까요?

이 장은 응용 여덟 가지를 다룹니다. 각 절은 독립적이므로 관심 있는 것부터 읽어도 됩니다. 절마다 “어느 정리가 일을 하는가”를 표시해 두었습니다. 미분방정식 절(†)은 미적분을 씁니다.

31.2 마르코프 연쇄

어떤 도시의 날씨가 맑음 또는 비이고, 오늘 맑으면 내일 맑을 확률이 0.9, 오늘 비가 오면 내일 맑을 확률이 0.5라 합시다. 오늘 맑을 확률과 비 올 확률을 $\mathbf{x}_k = (p_k, q_k)$라 하면

$A$의 $j$열은 “오늘 상태 $j$에서 내일 각 상태로 갈 확률”입니다.

정의 31.1 (마르코프 행렬). 성분이 모두 0 이상이고 각 열의 합이 1인 정사각행렬을 마르코프 행렬(Markov matrix)이라 합니다. $A\mathbf{x} = \mathbf{x}$이고 $\mathbf{x} \ge 0$, 성분의 합이 1인 $\mathbf{x}$를 정상 상태(steady state)라 합니다.

정리 31.2 (마르코프 행렬의 고윳값). $A$가 마르코프 행렬이면

1. 1은 $A$의 고윳값이고, 모든 고윳값은 $\lvert \lambda \rvert \le 1$입니다.
2. 성분이 모두 양수이면, $\lambda \ne 1$인 고윳값은 $\lvert \lambda \rvert < 1$이고 1의 일반화 고유공간은 1차원입니다. 따라서 정상 상태 $\mathbf{x}_\infty$가 유일하고 성분이 모두 양수이며, 성분의 합이 1인 모든 $\mathbf{x}_0 \ge 0$에 대해 $A^k\mathbf{x}_0 \to \mathbf{x}_\infty$입니다.

증명. (1) 열의 합이 1이므로 $A^T(1, \ldots, 1) = (1, \ldots, 1)$, 즉 1은 $A^T$의 고윳값이고 $A$의 고윳값이기도 합니다(특성다항식이 같습니다). 또 $\lVert A \rVert_1 = 1$이므로 $\lvert \lambda \rvert \le \lVert A \rVert_1 = 1$ (문제 30.14).

(2) $A^T\mathbf{y} = \lambda\mathbf{y}$, $\lvert \lambda \rvert = 1$이라 하고 $\lvert y_i \rvert$가 최대인 $i$를 잡읍시다.

등호가 성립하려면 $a_{ji} > 0$이므로 모든 $\lvert y_j \rvert = \lvert y_i \rvert$이고 모든 $y_j$의 방향(복소수의 편각)이 같아야 합니다. 따라서 $\mathbf{y}$는 상수 벡터이고 $\lambda = 1$. 즉 $\lvert \lambda \rvert = 1$인 고윳값은 1뿐이고, 그 고유공간은 1차원입니다. 1에 크기 2 이상의 조르당 블록이 있으면 $A^k$에 $k$에 비례하는 성분이 생기는데(27.7절), $A^k$도 마르코프 행렬이라 $\lVert A^k \rVert_1 = 1$이므로 불가능합니다. 나머지 블록은 $\lvert \lambda \rvert < 1$이므로 0으로 갑니다(정리 30.17). 따라서 $A^k\mathbf{x}_0$는 고윳값 1의 고유벡터 방향 성분으로 수렴합니다. $A^k\mathbf{x}_0 \ge 0$이고 성분의 합이 1로 유지되므로 극한도 그렇습니다. 마지막으로 $\mathbf{x}_\infty = A\mathbf{x}_\infty$의 각 성분은 양수 $a_{ij}$와 0이 아닌 $\mathbf{x}_\infty \ge 0$의 결합이므로 양수입니다. ■

예제 31.3. 위의 날씨에서 $(A - I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$은 $-0.1p + 0.5q = 0$, 정상 상태는 $(5/6, 1/6)$. 둘째 고윳값은 $\operatorname{tr} A - 1 = 0.4$이므로 오늘 날씨의 영향은 하루에 0.4배씩 사라집니다. 일주일 뒤면 $0.4^7 \approx 0.002$입니다.

아래 위젯은 7장의 것을 다시 씁니다. 첫 행렬 $\begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$은 마르코프 행렬입니다(문제 31.1).

31.2.1 페이지랭크

웹 페이지 $n$개가 서로 링크합니다. 무작위로 링크를 따라가는 사람이 각 페이지에 머무는 비율이 그 페이지의 중요도라고 합시다. 페이지 $j$가 $m_j$개의 링크를 가지면 $P$의 $(i, j)$ 성분을 ($j \to i$ 링크가 있으면) $1/m_j$로 둡니다. $P$는 마르코프 행렬이고 중요도는 정상 상태입니다.

예제 31.4. 페이지 1이 2, 3에, 2가 3에, 3이 1에 링크합니다.

페이지 3은 링크를 둘 받고 1은 하나만 받지만 중요도가 같습니다. 1이 받는 링크가 “중요한 페이지 3이 몰아 주는” 링크이기 때문입니다.

$P$에는 0이 많아 정리 31.2(2)를 쓸 수 없습니다. 그래서 확률 $1 - \alpha$로 아무 페이지로나 순간이동한다고 고칩니다.

$G$는 성분이 모두 양수인 마르코프 행렬이므로 정상 상태가 유일합니다. $n$이 수십억이므로 고유벡터는 거듭제곱법으로 구합니다. 둘째 고윳값이 $\alpha$ 이하임이 알려져 있어서 수렴이 빠릅니다.

▶ 문제 31.1–31.3

31.3 주성분 분석과 저랭크 근사

자료 $N$개가 각각 $p$개의 측정값을 가집니다. 각 측정값에서 평균을 빼서, 행이 자료 하나인 $N \times p$ 행렬 $X$를 만듭니다(열의 합이 0). 공분산 행렬(covariance matrix)은

입니다. 대칭이고 양의 준정부호입니다. 단위벡터 $\mathbf{u}$ 방향으로 자료를 사영하면 그 값들의 분산은

정리 31.5 (주성분). $S$의 고윳값을 $\lambda_1 \ge \cdots \ge \lambda_p$, 정규직교 고유벡터를 $\mathbf{q}_1, \ldots, \mathbf{q}_p$라 합시다. 분산 $\mathbf{u}^TS\mathbf{u}$를 최대로 하는 단위벡터는 $\mathbf{q}_1$이고 최댓값은 $\lambda_1$입니다. $\mathbf{q}_1, \ldots, \mathbf{q}_{k-1}$에 수직인 단위벡터 중에서는 $\mathbf{q}_k$가 최대이고 값은 $\lambda_k$입니다.

증명. $\mathbf{u} = \sum c_i\mathbf{q}_i$이면 $\mathbf{u}^TS\mathbf{u} = \sum \lambda_ic_i^2 \le \lambda_1\sum c_i^2 = \lambda_1$이고 등호는 $\mathbf{u} = \mathbf{q}_1$. $\mathbf{q}_1, \ldots, \mathbf{q}_{k-1}$에 수직이면 $c_1 = \cdots = c_{k-1} = 0$이므로 같은 논리로 $\lambda_k$. ■

$\mathbf{q}_k$를 $k$번째 주성분(principal component)이라 합니다. 고윳값들의 합 $\operatorname{tr} S$가 전체 분산이고, 처음 $k$개 주성분이 그중 $(\lambda_1 + \cdots + \lambda_k)/\operatorname{tr} S$를 설명합니다. $S$의 고유벡터는 $X$의 오른쪽 특이벡터이고 $\lambda_i = \sigma_i^2/(N - 1)$이므로, 실제로는 $X$의 SVD로 계산합니다.

예제 31.6. 자료 $(2, 1), (-2, -1), (1, 1), (-1, -1)$ (평균 0). $X^TX = \begin{bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$, 고윳값 $7 \pm \sqrt{45}$, 즉 13.71과 0.29. 첫 주성분은 $(1, 0.618)$ 방향이고 분산의 $13.71/14 \approx 98\%$를 설명합니다. 2차원 자료가 사실상 직선 위에 있습니다.

그림 31.1. 주성분 분석. 첫 주성분 $\mathbf{q}_1$은 점들을 사영했을 때 가장 넓게 퍼지는 방향이고, 동시에 점에서 직선까지의 수직 거리의 제곱합(점선)이 가장 작은 직선입니다. 13장의 최소제곱은 세로 거리를 줄였습니다.

저랭크 근사. 에카르트–영 정리(30.3절)에 의해 $X$의 SVD를 $k$개에서 자른 $X_k$는 랭크 $k$ 이하 행렬 중 $X$에 가장 가깝습니다($\lVert \cdot \rVert_2$로도, $\lVert \cdot \rVert_F$로도). 자료를 $k$개 주성분 좌표로 줄이는 것이 곧 $X_k$입니다. 사진 압축, 추천 시스템(사용자 × 영화 평점 행렬을 저랭크로 근사해 빈칸을 채움), 문서 검색이 모두 이것을 씁니다.

▶ 문제 31.4–31.6

31.4 그래프 라플라시안과 전기 회로

꼭짓점 $n$개, 변 $m$개인 그래프에서 각 변에 방향을 정하고 $m \times n$ 근접행렬(incidence matrix) $A$를 만듭니다. 변 $e$가 $i$에서 $j$로 가면 $e$행은 $i$열에 $-1$, $j$열에 $+1$, 나머지는 0입니다.

$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$을 꼭짓점의 값(전위, 높이)이라 하면 $(A\mathbf{x})_e = x_j - x_i$는 변 양 끝의 차입니다. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$이면 이웃한 꼭짓점의 값이 같으므로, 그래프가 연결되어 있으면 $N(A)$는 상수 벡터들뿐이고 $\operatorname{rank} A = n - 1$입니다. $A$의 4대 부분공간은 모두 그래프의 언어로 읽힙니다(문제 31.7).

정의 31.7 (그래프 라플라시안). $L = A^TA$를 그래프 라플라시안(graph Laplacian)이라 합니다. $L = D - W$입니다. 여기서 $D$는 각 꼭짓점의 차수를 대각에 둔 행렬, $W$는 인접행렬($i, j$가 이웃이면 1)입니다.

정리 31.8 (라플라시안의 성질).

1. $\mathbf{x}^TL\mathbf{x} = \sum_{\text{변 } ij}(x_i - x_j)^2 \ge 0$. $L$은 대칭 양의 준정부호입니다.
2. $L$의 고윳값 0의 중복도는 그래프의 연결 성분의 개수입니다.

증명. (1) $\mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x} = \lVert A\mathbf{x} \rVert^2$. (2) $L\mathbf{x} = \mathbf{0} \iff \lVert A\mathbf{x} \rVert^2 = 0 \iff$ 이웃한 꼭짓점의 값이 모두 같다 $\iff$ 각 연결 성분 위에서 $\mathbf{x}$가 상수. 이런 $\mathbf{x}$의 공간의 차원은 성분의 개수이고, $L$은 대칭이라 대각화 가능하므로 기하적 중복도가 곧 중복도입니다. ■

연결된 그래프에서 둘째로 작은 고윳값 $\lambda_2$의 고유벡터(피들러 벡터(Fiedler vector))의 부호로 꼭짓점을 둘로 나누면 연결이 약한 곳에서 그래프가 잘립니다. 이것이 스펙트럴 군집화(spectral clustering)의 기본 아이디어입니다.

31.4.1 키르히호프 법칙

변이 저항이고 꼭짓점이 회로의 마디라 합시다. 저항 $R_e$의 역수(컨덕턴스(conductance))를 대각에 둔 행렬을 $C$라 하면 세 법칙이 행렬 셋이 됩니다.

1. 전위차: $\mathbf{e} = -A\mathbf{x}$. 변 $i \to j$의 $\mathbf{e}$ 성분은 $x_i - x_j$입니다.
2. 옴의 법칙: $\mathbf{y} = C\mathbf{e}$. 변 $i \to j$를 따라 $i$에서 $j$로 흐르는 전류입니다.
3. 키르히호프 전류 법칙: $-A^T\mathbf{y} = \mathbf{f}$. $A$의 $i$열은 $i$에서 나가는 변에 $-1$, 들어오는 변에 $+1$이므로 $(-A^T\mathbf{y})_i$는 마디 $i$에서 저항들로 흘러 나가는 전류의 합이고, 이것이 외부에서 넣은 전류 $f_i$와 같습니다.

합치면

$K$는 가중 라플라시안이고 상수 벡터를 죽이므로 가역이 아닙니다. 전위는 기준점이 있어야 정해집니다. 한 마디를 접지($x = 0$)하면 그 행과 열을 지운 $K$는 양정치이고(문제 31.9) 해가 유일합니다. $K = (\sqrt{C}A)^T(\sqrt{C}A)$이므로 17장의 판정법 “$S = B^TB$”가 쓰입니다. 같은 $A^TCA$ 구조가 용수철 망(강성 행렬)과 가중 최소제곱에도 나타납니다.

예제 31.9. 마디 1, 2, 3이 저항 $R_{12} = 1\,\Omega$, $R_{23} = 2\,\Omega$, $R_{13} = 2\,\Omega$로 연결되고, 마디 3을 접지하고 마디 1에 1 A를 넣습니다. 컨덕턴스 1, 0.5, 0.5. 마디 1, 2에 대한 축소 행렬과 방정식은

마디 1과 접지 사이의 등가저항은 $x_1/1\,\mathrm{A} = 1.2\,\Omega$. 직렬 $1 + 2 = 3\,\Omega$와 $2\,\Omega$의 병렬 $3 \cdot 2/5 = 1.2\,\Omega$와 같습니다.

그림 31.2. 저항 회로와 그 그래프. 마디 3이 접지(전위 0)입니다.

▶ 문제 31.7–31.9

31.5 오류 정정 부호

통신이나 저장에서 비트가 가끔 뒤집힙니다. 정보 4비트를 7비트로 늘려 보내되, 어느 한 비트가 뒤집혀도 고칠 수 있게 합시다. 모든 계산은 $\mathbb{F}_2$에서 합니다.

정의 31.10 (해밍 부호). 열이 $1, \ldots, 7$의 이진 표현인 $3 \times 7$ 행렬

의 영공간 $C = N(H) \subseteq \mathbb{F}_2^7$을 해밍 부호(Hamming code)라 합니다. $C$의 원소를 부호어라 합니다.

정리 31.11 (해밍 부호의 성질).

1. $\dim C = 4$, 즉 부호어는 $2^4 = 16$개입니다.
2. 서로 다른 두 부호어는 적어도 3개의 자리에서 다릅니다.
3. 부호어 $\mathbf{c}$의 $i$번째 비트가 뒤집혀 $\mathbf{r} = \mathbf{c} + \mathbf{e}_i$를 받으면, $H\mathbf{r}$은 $i$의 이진 표현입니다.

증명. (1) $H$의 4, 2, 1열이 $I_3$의 열이므로 $\operatorname{rank} H = 3$, 랭크–영공간 정리로 $\dim N(H) = 7 - 3 = 4$ (20장에서 본 것처럼 $\mathbb{F}_2$에서도 성립합니다). (2) $\mathbf{c} \ne \mathbf{c}'$이 두 자리 이하에서 다르면 $\mathbf{c} - \mathbf{c}' \in C$는 1이 한두 개인 벡터입니다. 그러면 $H$의 한 열이 0이거나 두 열의 합이 0(두 열이 같음)인데, $H$의 열은 0이 아니고 서로 다릅니다. (3) $H\mathbf{r} = H\mathbf{c} + H\mathbf{e}_i = \mathbf{0} + (H\text{의 } i\text{열})$. ■

예제 31.12. $\mathbf{c} = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)$은 $H\mathbf{c} = (0, 1 + 1, 1 + 1) = \mathbf{0}$이므로 부호어입니다. 5번째 비트가 뒤집혀 $\mathbf{r} = (1, 1, 1, 0, 1, 0, 0)$을 받으면 $H\mathbf{r} = (1, 0, 1)$, 이진수 $101 = 5$. 5번째 비트를 고칩니다.

받는 쪽은 행렬 곱 하나로 오류 위치를 압니다. 부호 설계는 “거리가 먼 부분공간”을 고르는 문제이고, CD, QR 코드, 위성 통신, 메모리(ECC RAM)가 이런 부호를 씁니다.

▶ 문제 31.10–31.11

31.6 컴퓨터 그래픽스

회전, 확대, 반사는 선형변환이지만 평행이동 $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} + \mathbf{b}$는 원점을 옮기므로 선형이 아닙니다. 해결책은 차원을 하나 늘리는 것입니다. 평면의 점 $(x, y)$를 $(x, y, 1)$로 쓰면(동차좌표(homogeneous coordinates))

평행이동이 $3 \times 3$ 행렬의 곱이 됩니다. 선형변환 $M$은 $\begin{bmatrix} M & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}$로 씁니다. 이제 모든 변환이 행렬이므로 변환을 이어 붙이는 것은 행렬의 곱입니다.

예제 31.13. 점 $\mathbf{p} = (1, 0)$을 중심으로 $90^\circ$ 회전: 원점으로 옮기고($T_{-\mathbf{p}}$), 돌리고($R$), 되돌립니다($T_{\mathbf{p}}$).

$(2, 0, 1) \mapsto (1, 1, 1)$: 점 $(2, 0)$이 $(1, 1)$로 갑니다.

3차원 그래픽스는 $4 \times 4$ 행렬을 씁니다. 원근 투영도 $4 \times 4$ 행렬로 쓰고, 마지막에 넷째 좌표 $w$로 나눕니다($(x, y, z, w) \mapsto (x/w, y/w, z/w)$). 멀리 있는 물체일수록 $w$가 커서 작게 보입니다. 그래픽 카드는 이 행렬 곱을 초당 수십억 번 하는 기계입니다.

▶ 문제 31.12

31.7 † 미분방정식

$\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^n$이 $\dfrac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u}$, $\mathbf{u}(0) = \mathbf{u}_0$을 만족한다고 합시다. $n = 1$이면 해는 $u_0e^{at}$입니다. 행렬에서도 같습니다.

정의 31.14 (행렬 지수함수). $e^M = I + M + \dfrac{M^2}{2!} + \dfrac{M^3}{3!} + \cdots$.

이 급수는 모든 $M$에서 수렴합니다($\lVert M^k \rVert/k! \le \lVert M \rVert^k/k!$). 항별로 미분하면 $\dfrac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}$이므로 $\mathbf{u}(t) = e^{At}\mathbf{u}_0$이 해입니다.

정리 31.15 (대각화로 푸는 미분방정식). $A = Q\Lambda Q^{-1}$이면 $e^{At} = Qe^{\Lambda t}Q^{-1}$, $e^{\Lambda t} = \operatorname{diag}(e^{\lambda_1t}, \ldots, e^{\lambda_nt})$이고

모든 고윳값의 실수부가 음수이면 $\mathbf{u}(t) \to \mathbf{0}$입니다.

증명. $(Q\Lambda Q^{-1})^k = Q\Lambda^kQ^{-1}$을 급수에 넣습니다. $\lvert e^{\lambda t} \rvert = e^{(\operatorname{Re}\lambda)t}$. ■

차분방정식 $\mathbf{u}_{k+1} = A\mathbf{u}_k$에서는 $\lvert \lambda \rvert < 1$이 안정 조건이었고, 미분방정식에서는 $\operatorname{Re}\lambda < 0$입니다. 대각화가 안 되면 조르당 블록 $J_s(\lambda)$에서 $e^{Jt} = e^{\lambda t}\big(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2 + \cdots\big)$이므로 $te^{\lambda t}$ 같은 항이 생깁니다.

예제 31.16. 감쇠 진동 $x'' + 3x' + 2x = 0$. $\mathbf{u} = (x, x')$로 두면

고윳값은 $\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0$의 근 $-1, -2$이고 고유벡터는 $(1, -1)$, $(1, -2)$. $x(0) = 1$, $x'(0) = 0$이면 $\mathbf{u}_0 = 2(1, -1) - (1, -2)$이므로 $x(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}$. 저항, 코일, 축전기 회로의 $Lq'' + Rq' + q/C = 0$도 같은 꼴입니다. $R^2 < 4L/C$이면 고윳값이 켤레 복소수가 되어 진동하며 감쇠합니다.

계수행렬은 특성다항식 $\lambda^2 + 3\lambda + 2$의 동반행렬(29장)의 전치입니다. $n$계 상미분방정식은 언제나 이렇게 1계 연립방정식이 됩니다.

▶ 문제 31.13–31.14

31.8 선형 점화식

피보나치 수 $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$. $\mathbf{u}_k = (F_{k+1}, F_k)$로 두면

고윳값은 $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$의 근 $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1.618$, $\psi = \frac{1 - \sqrt5}{2} \approx -0.618$이고 고유벡터는 $(\varphi, 1)$, $(\psi, 1)$. $(1, 0) = \frac{1}{\sqrt5}\big((\varphi, 1) - (\psi, 1)\big)$이므로

$\lvert \psi \rvert < 1$이므로 $F_k$는 $\varphi^k/\sqrt5$에 가장 가까운 정수이고, $F_{k+1}/F_k \to \varphi$입니다. 거듭제곱법(30장)과 같은 현상입니다. 가장 큰 고윳값이 장기적인 모습을 정합니다.

일반적으로 $a_{k+n} = c_{n-1}a_{k+n-1} + \cdots + c_0a_k$는 $n \times n$ 동반행렬의 거듭제곱이고, 특성다항식 $\lambda^n - c_{n-1}\lambda^{n-1} - \cdots - c_0$의 근 $\lambda_i$가 서로 다르면 $a_k = \sum b_i\lambda_i^k$입니다. 중근이 있으면 조르당 블록에서 $k\lambda^k$ 항이 나옵니다.

▶ 문제 31.15–31.16

쓰이는 곳. 이 장의 각 절이 그대로 논문 주제입니다: 페이지랭크(검색), PCA(차원 축소), 스펙트럴 클러스터링(그래프 라플라시안), 오류 정정 부호(통신), 동차좌표(그래픽·로보틱스).

이 장의 요약

• 마르코프 행렬: 고윳값 1, 나머지 $\lvert \lambda \rvert \le 1$. 양수이면 정상 상태가 유일하고 $A^k\mathbf{x}_0$가 수렴합니다. 페이지랭크는 거대한 마르코프 행렬의 정상 상태입니다.
• PCA: 공분산 행렬의 고유벡터가 분산이 가장 큰 방향. SVD로 계산하고, 저랭크 근사는 에카르트–영.
• 그래프 라플라시안 $A^TA$: 영공간이 연결 성분. 회로는 $A^TCA\mathbf{x} = \mathbf{f}$.
• 해밍 부호: $\mathbb{F}_2^7$의 4차원 부분공간. $H\mathbf{r}$이 오류 위치를 알려 줍니다.
• 동차좌표: 평행이동도 행렬 곱이 됩니다.
• $\mathbf{u}' = A\mathbf{u}$의 해는 $e^{At}\mathbf{u}_0$. 안정 조건 $\operatorname{Re}\lambda < 0$. 점화식은 $A^k$, 안정 조건 $\lvert \lambda \rvert < 1$.

문제

0.6
0.4
0.6
0.6
0.4
0.4
0.5

14/39
10/39
15/39

6.667
4
10.667
2.667
0.8

2
2
2
2
2
2

0
0
2
2
0
1
3

O
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-1
2
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